数系的扩充和复数全章教案 人教课标版

§3.L1数系的扩充和复数的概念

教学目标：

.知识与技能：理解并掌握虚数单位i：理解复数的基本概念及复数相等的充要条件；

.过程与方法：在问题情境中了解数系的扩充过程及引入复数的必要性；

.情感、态度与价值观：通过数系的扩充过程体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充

过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

教学重点：虚数单位八复数及其相关概念、复数的分类（实数、虚数、纯虚数）、复数相等

的充要条件

教学难点：虚数单位，的引进及复数的概念的理解批注【雨林木风i］：复数的概念是在

引入虚数单位i并同时规定了它的

教学过程：

两条性质之后，自然地得出的.在规定

i的第二条性质时，原有的加、乘运

一、创设情景：方程/+1=0在实数集中无解，联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能

匏律仍然成立•

设想一种方法，使得这个方程有解吗？

（意图：创设问题情境，使学生明确这里要解决什么问题，联系旧知识，了解解决问题的大

致方向）

二、探究新知：

.学生回顾从自然数系到实数系的扩充过程：

（教师可以通过提问的方式帮助学生回顾数系的扩充过程）

（意图：使学生能够通过从自然数系到实数系的扩充过程体会体会实际需求与数学内部

的矛盾在数系扩充过程中的作用）批注［雨林木风2］:分数解决了在整

数集中不能整除的矛盾，负数解决了

.学生探究，引入虚数单位

在正有理数集中不够减的矛盾，无理

数解决了开方开不尽的矛盾。

问题：类比引进血就可以解决方程d-2=0在有理数集中无解的问题，怎么解决方程

x2+1=0在实数集中无解的问题？

（意图：通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数开始，引导学生引入虚数单位i）

.对虚数单位，的理解：批注［雨林木风3］:这•点可以通过

前面虚数单位i的引入说明。

（）虚数单位，的平方等于，即;2=-1；

批注［雨林木风4］:此处放在复数概

（）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.念引入时讲是否更好？

（）i的周期性：产/4n+2=-l,/4"+3=-j,i4"=1（«eZ）批注［雨林木风5］:基础差的学生可

以稍后再讲.

.复数的引入：

问题：把实数和新引入的数i像实数那样进行加法、乘法运算，并希望运算时有关的力II法、批注［雨林木风6］：减法、除法可视为

加法、乘法

乘法算律仍然成立，你能得到怎样的数？

(意图：.使学生感受为什么把集合作为实数集扩充后的新数集)

(方法：由学生自己动手试做，然后讨论，最后统一认识)

()定义：把集合C={a+〃|a,6eR}中的数，即形如R)的数叫复数，其

中i叫做虚数单位，全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

()复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即2="+坑这一表示形式叫

做复数的代数形式。其中a叫复数的实部，力叫复数的虚部。批注［雨林木风7］:注意6不能成为

虚部系数。

例：请说出复数2+3/-3+-z--i,-V3-底的实部和虚部。

23

例：复数-27+3.14的实部和虚部是什么？(易错为：实部是一，虚部是)

.两个复数相等的充要条件：

问题:你认为应该怎样定义两个复数相等？(由学生自己理解，试着给出定义)

()定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.

()充要条件：如果a,/%c,deR,那么a+〃i=c+4f=a=cELb="

(复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据.一般地，两个复数只能

说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5，与4+3i不能比较大小。)批注［雨林木风司：不论怎样定义两

个复数之间的大小关系，都不能使这

现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对.如果两个复数都是实数，

种关系同时满足实数集中大小关系

就可以比较大小.只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.

的条性质：任意实数a,/?,

.复数集C与实数集R的关系：

=三种关系有且

问题：复数z=a+bi(a,6wR)在什么条件下是实数？

只有一种成立；

(意图：引出复数分类，并搞清复数集与实数集关系，)a<b,b<c^>a<c；

()复数分类：对于复数a+〃(a/eR),当且仅当6=0时，复数a+欣R)是实a<b^>a+c<b+c■.

数；当时，复数z=a+6(〃力wR)叫做虚数；当。=0且时,a<b,O<c=>ac<he.

叫做纯虚数；当且仅当a=〃=0时，它是实数.

()框图:

.复数集与其它数集之间的关系：N^Z^Q^R^C.

例（课本例）：实数加取什么数值时，复数z=，〃+l+（，〃-l），•是：

0实数？。虚数？（）纯虚数？

例：已知（2x-l）+i=y-（3-y）i,其中x,yeR,求x与y.

三、巩固练习：

.设集合。={复数},A={实数},8={纯虚数},若全集S=C,则下列结论正确的

是（）

.AB=C.CSA=B.ACsB=0.BCSB=C

.复数（2f+5x+2）+（f+x—2）i为虚数，则实数元满足（）

.x=—.x=———.xw—2.xw。-2

22

.已知集合M={1,2,（加2-3/?2-1）+（/-5m—6）i},集合尸={-1,3},MP={3}

则实数相的值为（）

.满足方程％2-2工一3+（9〉2一6〉+1），=0的实数对（占y）表示的点的个数是.

・复数zl=a+\b\i,z2=c+\d\i（a,b,c,deR）,则zx=z2的充要条件是.

.设复数z=log2Q4-36-3）+〃og2（3—m）（加£尺），如果z是纯虚数，求加的值.

.若方程d+（/?7+2i）x+（2+加）=0至少有一个实数根，试求实数机的值.

.已知复数Z=型竺@+（/%2+2加一3",当机为何值时，

Oze/?;（）z是虚数；。2是纯虚数；（）2=』+41

2

四、课后作业：课本第页习题组

§3.1.2复数的几何意义

教学目标：

.知识与技能：了解复数的几何意义，明确复数与复平面内的点及平面向量的一一对应关

系；

.过程与方法：通过类比实数的几何意义和平面向量的几何意义，得出复数的几何意义；

.情感、态度与价值观：通过复数的几何意义，使学生能够转换角度看问题，使数和形得

到有机结合。

教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系.

教学难点：复数的几何意义。

教学设想：复数（、e）与有序实数对（，）是…一对应关系.这是因为对于任何一个复数（、e）,

由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对（，）惟一确定.

教学过程：

一、创设情境：

I可顾实数的儿何意义（实数与数轴上的点-一•对应，因此实数可以用数轴上的点来表示），类

比实数的几何意义，复数的几何意义又是什么呢？

（意图：通过回顾实数的几何意义，是学生可以很自然地想到能否用点来表示复数）

二、探究新知：

.学生回顾复数的概念，探究复数几何意义

（）回顾复数的代数形式z=a+bi（a,beR）及复数相等的定义

（意图：为复数几何意义的探究做好铺垫）

（）探究复数与复平面内点的一一对应关系

根据复数相等的定义,任意一个复数z=a+bi（a,bGR）都可以由一个有序实数对（a,h）

唯一确定。又有序实数对（"力）与平面直角坐标系中的点一一对应，故有复数集与平面直

角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系o

,复平面及其相关概念：

因为复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图，点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi（a,b€R）可用点Z（a,b）表示,

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，批注【雨林木风刃：不用特别强调复

平面与一般坐标平面的区别

()实轴上的点都表示实数。除了原点外虚轴上的点都表示纯虚数批注［雨林木风10］:因为原点对应的

有序实数对为(，),它所确定的复

()复平面内纵坐标轴上的单位长度是，而不是i。

数是z=0+0i=0表示的是实数

复数的几何意义：

O复数集C和复平面内所有点所成的集合是一一对应关系，即

复数z=a+加<对应>复平面内的点Z(a,Z>)

这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应：反

过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

例.(年辽宁卷)若兀)，则复数(cos<9+sin(9)+(sine-cos6)i在复平面内

所对应的点在()

.第一象限.第二象限.第三象限.第四象限

()引导学生回顾平面向量的几何表示和坐标表示得出复数的另一几何意义

复数z=a+加<对应>复平面内的点Z(q,b)<对应>平面向量0Z

复数集C和复平面内的向量所成的集合也是-一对应关系，即

复数z=a+初<对应>平面向量0Z

(注：规定相等的向量表示同一个复数)z=a-Vbi

.复数的模：批注［雨林木风11］：对于复数的模不

要求扩展，只让学生了解即可。但要

向量0Z的模r叫做复数z=a+的模，记作|z|或|。+初|,如果6=0,那么知道复数的模是可以比较大小的。因

为它是一个实数

z=a+bi是一个实数。，它的模等于|。|(就是。的绝对值)，由模的定义可知

|z\=]a+hi\=r=\/a2+/?2(r>0,rG7?)

三、巩固练习：课本第页，，

四、课后作业：课本第页习题.组，，组

复数与平面向量的性质类比批注[雨林木风12]:在讨论复数的运

算、性质和应用时可以在复平而内,

性质

平面向量复数用向量的方法进行

模向量（。,力的模为J1+从复数z=a+Z?i的模为J/+b2

大小比较不能比大小，模可以比大小不能比大小，模可以比大小

几何意义与坐标平面内的点---对应与复平面内的点一一对应

§3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义

教学目标：

.知识与技能：理解并掌握复数的加、减法运算及其几何意义；

,过程与方法：通过类比平面向量的加、减法运算，探究复数的加、减法运算，并进一

步根据向量与复数的联系，探讨复数加、减法运算的几何意义；

.情感、态度与价值观：通过复数加、减法运算的几何意义的探讨，使学生体会数学体

系的建构过程、属性结合思想及人类理性思维在数学发展中的作用。

教学重点：复数加I、减法运算及其几何意义

教学难点：复数减法运算的探究

教学过程：

讲解新课：

一、创设情境：

回顾平面向量的加、减运算及平面向量与复数的联系

（意图：为复数加、减运算探究做好铺垫）

二、探究复数代数形式的加法运算：

问题：复数与平面向量都与有序实数对建立了一一对应关系，你能否类比平面向量坐标形式

的加法运算得出复数代数形式的加法运算？

（意图：通过类比的方法探究复数加法法则）

（若。=（a,6）,。=（。,4）则。+。=（。+。,加4，与a=（a,8）对应的复数为a+bi,与

〃=（c,d）对应的复数为c+山，与。功="短〃泡）对应的复数为a+c+（6+d）i,

进而猜想复数加法运算法则）

.复数代数形式的加法法则：

规定复数加法法则如下：

批注【雨林木风可以类比多项式

设Z1=a+6,Z2=c+才是任意两个复数，那么（a+6i）+（c+d，.）=（a+c）+（6+d）i13]:

加法进行记忆

（注：两个复数的和仍然是一个确定的复数）

.对于复数加法法则的理解：

＜）当〃=0,d=0时与实数加法法则一致；

（）思考：实数加法满足交换律和结合律，那么复数加法满足交换律和结合律吗？

（意图：使学生能够利用复数加法法则自主探讨算律）

易得出：对任意z”Z2，Z3eC,有Zj+z2=z2+Z1,(z,+z2)+z3=z,+(z2+z3)

例：计算：0()()

例：计算:(―)(―)(―)(—)•,,(—)(―)

,复数代数形式的加运算的几何意义：

探究：复数与复平面内的向量有一一对应关系，我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此

出发讨论复数加法的儿何意义吗

(由前面复数加法运算的探究，学生很容易得出复数加法的几何意义)

复数加法的几何意义：

设复数4=〃+从/2=c+di,在复平面上所对应的向量为OZ［、

OZ2,即诬、返的坐标形式为OZ|=(a,6),OZ2=(c,J)o以,

该、运为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是灾，二

OZ=OZt+OZ2=(a,b)+(c,4)=(a+c,b+d)=(a+c)+(6+d)i

两个向量死与返的和就是就是复数(a+c)+(6+d)i对应的向量，因此复数的加法就可

以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义。AY

例：如图的向量OZ对应的复数是z,试做出下列运算结果对应的向量：\

()z+1()z+(-2+i)I

三、探究复数代数形式的减法运算：--------一~丁一

.复数代数形式的减法运算：

思考：实数集中减法与加法具有怎样的关系，你能否类比这种关系，得出复数।减法

的运算法则？

把满足(c+di)+(x+y)=a+Ai的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记

作(。+初)—(c+di),根据复数相等的定义有c+x=a,d+y=/?,因此

x=a-c,y=h-d,故x+yi=(Q—c)+(h-d)i

即：(Q+/?i)_(c+di)={a-c)+(b-d)i批注［雨林木风14］:类比多项式减法

记忆，此处推到使用的待定系数法,

.复数减法的几何意义：也是确定复数的一般方法

问题：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？

复数减法是加法的逆运算，设z=（a-c）+S-d）i,所以一，，由复数加法几何意义，以改

为一条对角线，函为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边所表示的向量

这就与复数z-4的差（a-c）+S-"）i对应。由于OZ2=4Z,所以，两个复数的差z-4

与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。也就是向量减法。

例：已知复数4=2+»*2=1+2，在复平面内对应的点分别为、，求AB对应的复数z,

z在平面内所对应的点在第几象限？

例：复数％=l+2i,Z2=-2+i,Z3=-l-2i,它们在复平

面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方批注［雨林木风15］:根据题意画图得

到的结论，不能代替论证，然而通过

形的第四个顶点对应的复数.

对图形的观察，往往能起到启迪解题

四、巩固练习：思路的作用

.已知复数4=2+i,Z2=I+2i,则复数z=z?-Z|在复平面

内所表示的点位于（）

.第一象限.第二象限.第三象限.第四象限

.在复平面上复数一一，一所对应的点分别是、、，则平行四边形的对角线所对应的复数是

()

.已知复平面上△的顶点所对应的复数为，其重心所对应的复数为,则以、为邻边的平行

四边形的对角线长为（）

V2.2V2.75

.复平面上三点、、分别对应复数，，则由、、所构成的三角形是（）

.直角三角形.等腰三角形.锐角三角形.钝角三角形

一个实数与一个虚数的差（）

.不可能是纯虚数.可能是实数

.不可能是实数无法确定是实数还是虚数

.计算（—6+75，）+（g_声，）_［（6-五）+（6+亚）”.

.计算:（）-（-）（-）-（,s）.

.已知复数一（）一（2a-）（e）分别对应向量、0Z2（为原点），若向量Z/2对应的

复数为纯虚数，求的值.

五、课后作业：课本第页习题

复数与平面向量的性质类比

性质平面向量复数

模向量38）的模为复数z=a+4•的模为J/+从

大小比较不能比大小，模可以比大小不能比大小，模可以比大小

几何意义与坐标平面内的点—对应与复平面内的点—对应

加法运算(〃,Z?)+(c,d)=(a+c,b+d)(〃+6i)+(c+di)=(〃+c)+(b+d)i

减法运算(a,b)—(c,d)=(a—c,b—d)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

教学目标：

.知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解除法运算

是乘法运算的逆运算;

,过程与方法：联系复数减法法则的引入过程，探究复数除法的法则，理解并掌握复数

的除法运算实质是分母实数化问题；

.情感、态度与价值观：通过复数除法运算的探究过程，使学生体会人类理性思维的作

用。

教学重点：复数代数形式的乘、除法运算。

教学难点：复数除法运算法则的探究和运用。

教学过程：

一、复数乘法运算法则：

.类比多项式乘法，探究复数代数形式的乘法法则

问题：我们已经学习了复数代数形式的加、减法运算，也清楚地知道它与多项式加、减法有

着相似之处，你能否类比多项式乘法运算，猜想复数代数形式的乘法运算呢？

(意图：通过类比使学生能够自己得出复数乘法的运算法则，并加强记忆)

()乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设Z1=。+从/2=c+力是任意两个复数，那么它们的积

(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdv=(ac—bd)+(ad+bc)i

可以看出两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把『换成一，并且把实

部与虚部分别合并；两个复数的积仍然是一个复数.

()探究复数乘法算律：

探究：实数中的乘法算律在复数乘法中是否还成立呢？你能够验证码？

(意图：使学生在探究算律的同时，体会数系犷充的合理性)

对任意Z1,Z2，Z3eC,有①Z|-Z2=Z2;(g)(z(-z2)-z3=^1"(z2•z3);

③Z「(Z2+Z3)=Z|-Z2+Z|-Z3)

批注【雨林木风16]:此题既为熟悉复

数乘法运算法则，又为提出共地复数

例：计算(l-2i)(3+4i)(—2+i)做好铺垫，同时还可以引入一些相关

例：计算：()(3+4z)(3-40；()(l+i)2公式，()题可再扩展到(1±ip"的

形式，有余力的还可以引入的三次方

.共匏复数：

173.

()共复数定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为根〃>=----1---------1

22

共枕复数，虚部不等于的两个共枕复数也叫做共枕虚数。

通常记复数Z的共腕复数为2。

()共规复数的性质：批注[雨林木风17]:有余力的学生还

可以进一步探讨共躯复数的其余性

思考：若Z1,Z2是共规复数①在复平面内，它们所对应的点有怎样的关系？②Z『2有什质

么特征？

(①它们所对应的点关于实轴对称；②4•z2是一个实数且有zz=lzl2)

二、复数除法运算法则：

.探究复数除法运算法则：

问题：类比实数除法是乘法的逆运算，你能否探究复数除法的运算法则？

(意图：使学生能够运用类比的思想解决问题)

设复数。+砥。,》£R)除以c+di(c,dGR)的商为eR),

V(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi

cx-dy=a,

由复数相等定义可知

dx+cy=b.

ac+bd

x=~27F，

解这个方程组，得〈c+d~

bc-ad

y二~万■

c"+d~

下日士//•、/八ac+bdbc-ad.

于是有：(〃+〃)+(c+4)=—~^+~1—

c+dc+大

.复数除法运算法则:

()复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=a+bi的复数x+M(x,ywR)叫复数。+万除以复

数c+di的商，记为：(a+bi)+(c+di)或者空包

c+di

()复数除法运算规则：

/7・、/」,、ac+bdbe-ad八、

(。+6)+(。+由)----r+-----亍i(c+di工0)

d+dc'+d"

思考：对于上述法则很难记忆，推导起来又很复杂，类比分母有理化的方法，我们能否

将丝包的分母变成实数，进而用复数乘法来解决呢？

c+di

....,、a-\-bi(a+bi)(c—di)[ac+bi•(-di)]+(be-ad)i

(a+bti)-r(c+ai)=------=-----------------=-------------；----；-----------

c+di(c+di)(c-di)c2+d2

(ac+M)4-(be-ad)iac+bdbe-ad.

=-------------------------=----------1----------/

c2+d2c2+d2c2+d2

点评：上述方法是利用初中我们学习的化简无理分式时，采用的分母有理化思想方法，而

复数C+di与复数C-力，相当于我们初中学习的6+J5与6—J2,它们之积

为有理数，而(。+力)(。-小)=。2+『是正实数.所以可以分母实数化.把这种方

法叫做分母实数化法批注[雨林木风18]：复数问题实数化

思想是我们解决复数问题常用的方

例：计算(l+2i)+(3-4i).法

(1-4/)(1+0+2+4/

例M：计算------------------•

3+4i

1z—1

例：已知2是虚数，且Z+一是实数，求证：——是纯虚数.

zZ+1

三、巩固练