2024年雅安市高三数学（理）4月模拟联考试卷附答案解析

年雅安市高三数学（理）4月模拟联考试卷考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合，，则中元素的最大值为（

）A．4 B．5 C．7 D．102．若圆与圆外切，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．设，为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若复数的实部为4，则点的轨迹是（

）A．短轴长为4的椭圆 B．实轴长为4的双曲线C．长轴长为4的椭圆 D．虚轴长为4的双曲线5．函数是（

）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数6．在平行四边形中，，且，则四边形的面积为（

）A．4 B． C．8 D．7．若函数的值域为R，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．设的整数部分为，则数列的前项和为（

）A．210 B．211 C．212 D．2139．已知函数，，则（

）A．当有2个零点时，只有1个零点B．当有3个零点时，有2个零点C．当有2个零点时，有2个零点D．当有2个零点时，有4个零点10．的最小值为（

）A． B．5 C． D．611．在四棱锥中，底面为矩形，底面与底面所成的角分别为，且，则（

）A． B． C． D．12．已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．一组样本数据的众数为，中位数为．14．若x，y满足约束条件则的取值范围是.15．对于1个字母串shanhushu，改变这个字母串中的字母位置顺序，可以得到个新的字母串.16．已知定义在上的函数满足，，则.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.(1)完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关；去峨眉山旅游去青城山旅游合计东小组西小组合计(2)在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社区任选3名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为X，求及X的数学期望.参考公式：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.(1)求A；(2)若D为边上一点，且，证明：外接圆的周长为.19．如图，在直三棱柱中，，，为的中点.(1)证明：平面.(2)若以为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.20．双曲线上一点到左､右焦点的距离之差为6，(1)求双曲线的方程，(2)已知，过点的直线与交于（异于）两点，直线与交于点，试问点到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由，21．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，，且，证明：.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在极坐标系中，O为极点，曲线M的方程为，曲线N的方程为，其中m为常数.(1)以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线M与N的直角坐标方程；(2)设，曲线M与N的两个交点为A，B，点C的极坐标为，若的重心G的极角为，求t的值.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知.(1)若，求b的取值范围；(2)求的最大值.1．C【分析】根据B中元素的特征，只需满足即可得解.【详解】由题意，.故选：C2．C【分析】根据两圆外切的条件建立方程求解即可.【详解】由圆与圆知，圆心分别为，半径为1，，因为两圆外切，所以，解得.故选：C3．D【分析】结合图形，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可得出结果.【详解】如图1，当时，与不一定垂直，如图2，当时，m与n不一定垂直，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.4．C【分析】根据复数乘法运算化简，再由实部为4得出轨迹方程，根据方程判断轨迹即可.【详解】因为，所以，即，所以点的轨迹是长轴长为4的椭圆.故选：C5．B【分析】由函数的奇偶性定义判断函数奇偶性，再运用周期定义式进行检验即得.【详解】因为,，所以该函数为奇函数，故C,D项错误；因为,显然在上不能恒成立，故A,C项错误；又，即是的周期，故B项正确.故选：B.6．C【分析】根据向量的加法、减法的几何意义判断平行四边形为矩形，即可得解.【详解】在平行四边形中，，，因为，所以四边形为矩形，又，所以四边形为正方形，所以四边形的面积为.故选：C7．B【分析】利用对数函数的定义，结合二次函数性质求出的范围，再利用对数函数性质求解即得.【详解】依题意，取遍所有正数，则，而，解得，所以.故选：B8．B【分析】由已知，可知当时，，当时，，得数列的通项公式，即可利用等差数列求和公式求解.【详解】因为，所以当时，，所以，当时，，所以为小于的分数，此时，所以，则数列的前项和为.故选：.9．D【分析】作出函数，图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与的图象的公共点的个数，结合图象可得答案.【详解】两个函数的零点个数转化为图象与的图象的公共点的个数，作出，的大致图象，如图所示.由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点；当有3个零点时，只有1个零点；当有2个零点时，有4个零点.故选：D10．B【分析】设，，，根据条件，将问题转化成抛物线上半部分一动点到，距离之和的最小值，再利用抛物线的定义即可求出结果.【详解】设，，，易知点的轨迹是抛物线的上半部分，又，因为为抛物线的焦点，由抛物线的定义知，等于到准线的距离，所以的最小值为，故选：A.11．D【分析】设，利用线面角的定义，结合正切函数的和差公式得到关于的方程，解之即可得解.【详解】如图，设，因为在矩形中，，所以，因为底面，所以分别是与底面所成的角，即，所以.因为，所以，解得(负根舍去)，所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将看作一个整体，结合题设条件得到关于的方程，从而得解.12．A【分析】求出函数导数，利用导函数的导数，结合分类讨论，判断其正负，得出的增减性，再结合，判断的符号，得出增减性，验证函数的极小值点为0即可.【详解】，令的导函数为.若，，在上单调递增，且，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，符合题意.若，当时，，在上单调递增，因为，，所以当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.若，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，不符合题意.若，当时，，，可得时，，时，，所以在递增，在上单调递减，不符合题意.综上，的取值范围是.故选：A【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，需要对再次求导，利用的导函数，分类讨论判断正负，得出的增减性，再结合，得出的正负，据此得出函数的单调性，验证0是否为函数极小值点,解题的关键要具备清晰的逻辑关系，把握，，三者关系.13．【分析】将数据从小到大重新排成一列，根据众数及中位数的定义，即可求出结果.【详解】将样本数据，从小排到大得到，由众数及中位数的定义知：众数为，中位数为，故答案为：，.14．【分析】作出可行域，利用截距式数形结合计算即可.【详解】作出约束条件表示的可行域，设，即，联立，解得，当直线经过点时，纵截距取得最大值3，所以的取值范围是.故答案为：.15．15119【分析】该字母串中有2个s，3个h，1个a，1个n，2个u，可以得到的所有字母串数为，注意题目问的是新字母串的数量，因此可以得到共个新的字母串.【详解】因为字母串shanhushu有2个s，3个h，1个a，1个n，2个u，所以改变这个字母串中的字母位置顺序，在共9个位置中，选择3个位置安排字母h，再分别选择2个位置安排字母s和u，再将剩余两个位置安排字母a和n，可以得到的所有字母串数为.由于题目问的是新字母串的数量，因此可以得到共个新的字母串.故答案为：1511916．【分析】令得出函数关系式，据此类比得出数列递推关系式，构造等比数列求出通项公式，即可得解.【详解】令，得.设数列满足，，则，，所以数列是首项为2，公比也为2的等比数列，则，即，所以.故答案为：17．(1)列联表见解析，有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关.(2)，【分析】（1）根据已知列出2×2列联表，求出，从而可得结果；（2）依题意，根据二项分布概率及数学期望可得结果.【详解】（1）依题意，2×2列联表如下.去峨眉山旅游去青城山旅游合计东小组402060西小组253560合计6555120又，所以有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关.（2）在东小组的游客中，他们去青城山旅游的频率为，所以乙社区游客去青城山旅游的概率为，依题意，则，.所以，X的数学期望为1.18．(1)(2)【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理，即可求解；（2）首先根据正弦定理求，再根据角的关系，以及三角形的半径公式，即可求解.【详解】（1）因为，所以，即，又，所以.因为，所以.（2）证明：在中，由正弦定理，得，则，则.设外接圆的半径为，则，所以外接圆的周长为.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，则为的中点，连接，则，根据线面平行的判定定理证明即可.（2）建系，利用二面角的向量求法求解即可.【详解】（1）连接交于点，则为的中点，连接，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为，为的中点，所以，且，因为以为直径的球的表面积为，所以，解得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，竖直向上为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，，设平面的法向量为，则，令，得，因为，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20．(1)(2)是定值，定值为【分析】（1）利用双曲线的定义与点在双曲线上得到关于的方程，解之即可得解；（2）假设直线方程，联立双曲线方程得到，再由题设条件得到直线与的方程，推得两者的交点在定直线上，从而得解.【详解】（1）依题意可得，解得，故双曲线的方程为.（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立，消去，得，则，，设，则，又，直线，直线，联立，两式相除，得，即，解得，所以点在定直线上，因为直线与直线之间的距离为，所以点到直线的距离为定值，且定值为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，利用到数的几何意义，即可求得答案；（2）设，，，原不等式即为，利用的单调性，继而转化为，继而再构造函数，利用函数的单调性证明结论.【详解】（1）由，得，则，，.故曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：由，，且，不妨设，，，则证明等价于证明，，即证，从而构造函数，利用其调性证明结论.令，则，当时，，在单调递减，故，，即，，则，要证，只需证.令，则，令，得.令，，则，令，，则在上恒成立，则，则在上恒成立，则在上单调递增.当时，，则，则，在单调递减，当时，，则，则，在单调递增.因为，所以，即在上恒成立，从而.【点睛】难点点睛：本题查了导数的几何意义的应用以及利用导数证明不等式，难点就在于不等式的证明，解答时要将原不等式转化为，继而构造函数，利用单调性证明成立.22．(1)，(2)2【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式求解即可；（2）利用重心坐标公式求出重心坐标，再根