2023-2024学年四川省成都市彭州市高三（上）期中数学试卷（理科）

2023-2024学年四川省成都市彭州市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{3，5} B．{2，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}2．（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，1），则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）已知命题p：∀n∈N，2n﹣2不是素数，则￢p为（）A．∃n∉N，2n﹣2是素数 B．∀n∈N，2n﹣2是素数 C．∀n∉N，2n﹣2是素数 D．∃n∈N，2n﹣2是素数4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，，则数列{an}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知向量＝（1，1），＝（x，﹣1）则“（+）⊥”是“x＝0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）2023年“三月三”期间，广西交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率（同比增长率＝（今年车流量﹣去年同期车流量）÷去年同期车流量×100%））数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（）A．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23 B．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17 C．2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差 D．2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次7．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则＝（）A． B． C．1 D．﹣18．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．10939．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1斜率为的直线与C的右支交于点P，若线段PF1与y轴的交点恰为PF1的中点，则C的离心率为（）A． B． C．2 D．310．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4） B．（3.5，4] C．（3，4] D．[3，4）11．（5分）已知f（x）＝ex+e2﹣x+x2﹣2x，则不等式f（2x+1）＜f（x）的解集为（）A． B． C． D．12．（5分）已知f（x）＝3sinx+2，对任意的x1∈[0，]，都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，则下列选项中，θ可能的值是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在的展开式中，常数项是．（用数字作答）14．（5分）已知数列{an}满足an＝2an﹣1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，则an＝．15．（5分）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点A（5，4）射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则|BC|＝．16．（5分）已知正数a，b满足ea+a＝b+lnb＝2（e为自然对数的底数），有下列四个关系式：①beb＝e2②a+b＝2③eb+lna＞2④ea+lnb＝2其中正确的是（填序号）．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinB+bcosA＝0．（1）求A；（2）若a＝3，sinBsinC＝，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，E，F分别为CD，PA的中点．（1）证明：EF∥平面PBC；（2）求二面角P﹣CD﹣F的余弦值．19．（12分）某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；B学科良好B学科不够良好合计A学科良好A学科不够良好合计（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，点在椭圆C上，且．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1，k2，当k1+k2＝0时，求△MPQ的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝aex﹣x﹣a，其中a＞0．（1）若a＝1，证明：f（x）≥0；（2）设函数g（x）＝xf（x），若x＝0为g（x）的极大值点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]​22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1：x2﹣y2＝2，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点（异于极点O），求|AB|的长度．[选修4-5：不等式选讲]​23．已知f（x）＝2|x+2|﹣|ax|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对任意x∈（﹣1，1），不等式f（x）＞x+1恒成立，求a的取值范围．

2023-2024学年四川省成都市彭州市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】根据集合的并集补集运算求解即可．【解答】解：因为A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，所以A⋃B＝{1，3，4，5}，所以∁U（A∪B）＝{2，6}．故选：B．【点评】本题考查了集合的并集和补集运算问题，是基础题．2．【分析】根据复数的几何意义确定复数z，再根据共轭复数的概念以及复数的运算，即可得答案．【解答】解：由题意知复数z对应的点的坐标是（﹣1，1），故z＝﹣1+i，所以．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3．【分析】根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，命题p：∀n∈N，2n﹣2不是素数，则￢p为∃n∈N，2n﹣2是素数．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．4．【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，结合等差数列前n项和公式分析可得关于d的方程，解可得答案．【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，若，即（4a1+6d）﹣（2a1+d）＝d＝2，即d＝2．故选：B．【点评】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．5．【分析】根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：向量＝（1，1），＝（x，﹣1）则，（+）⊥，则x（1+x）+0＝0，解得x＝0或x＝﹣1，故“（+）⊥”是“x＝0”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．6．【分析】通过计算得到选项AB正确；观察数据的波动情况，得到选项C错误；设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则，解得x＝20，故D正确．【解答】解：对于A：由题图知，2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为25﹣2＝23，故A正确；对于B：易知2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17，故B正确；对于C：2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量波动更大，故C错误；对于D：2023年4月23日的高速公路车流量为22万车次，同比增长率为10%，设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则，解得x＝20，故D正确．故选：C．【点评】本题主要考查统计图获取信息，属于基础题．7．【分析】根据图象求得f（x）的解析式，再求的值．【解答】解：由图可知T＝﹣＝，解得T＝π，即＝π，解得ω＝2，由f（）＝2sin（2×+φ）＝2，所以sin（+φ）＝1，所以+φ＝+2kπ，k∈Z；解得φ＝+2kπ，k∈Z，又因为|φ|＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+），f（﹣）＝2sin（﹣+）＝2sin（﹣）＝2sin（﹣）＝﹣2sin＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．8．【分析】根据对数的性质：T＝，可得：3＝10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈＝1093，故选：D．【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T＝，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．9．【分析】求得P点坐标，根据直线PF1的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率．【解答】解：由于线段PF1与y轴的交点恰为PF1的中点，且O是F1F2的中点，由三角形的中位线定理，可得PF2⊥F1F2，由解得，则，而F1（﹣c，0），所以，即8ac＝3c2﹣3a2，即3c2﹣8ac﹣3a2＝0，由离心率e＝，两边除以a2得3e2﹣8e﹣3＝0，解得e＝3或（舍去）．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10．【分析】由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，其图象如图所示：在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），故选：A．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．11．【分析】探讨函数f（x）的对称性及在（1，+∞）的单调性，再借助函数性质求解不等式即得．【解答】解：函数f（x）＝ex+e2﹣x+x2﹣2x的定义域为R，显然f（2﹣x）＝e2﹣x+ex+（2﹣x）2﹣2（2﹣x）＝ex+e2﹣x+x2﹣2x＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x＞1时，f′（x）＝ex﹣e2﹣x+2x﹣2，显然x＞2﹣x，ex＞e2﹣x，于是f′（x）＞0，即函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，则不等式f（2x+1）＜f（x）等价于|2x+1﹣1|＜|x﹣1|，整理得3x2+2x﹣1＜0，解得，所以不等式的解集为．故选：B．【点评】本题主要考查函数性质的应用，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．12．【分析】由题意可知，x1∈[0，]，即sinx1∈[0，1]，可得f（x1）∈[2，5]，将存在任意的x1∈[0，]，都存在x2∈[0，]，使得f（x）＝2f（x+θ）+2成立，转化为f（x2+θ）min≤0，，又由f（x）＝3sinx+2，可得，，再将选项中的值，依次代入验证，即可求解．【解答】解：∵x1∈[0，]，∴sinx1∈[0，1]，∴f（x1）∈[2，5]，∵都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，∴f（x2+θ）min≤0，，∵f（x）＝3sinx+2，∴，，y＝sinx在x∈上单调递减，当时，，∴，故A选项错误，当时，，∴，，故B选项正确，当时，x2+θ，sin（x2+θ）max＝，故C选项错误，当时，，sin（x2+θ）max＝，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．【解答】解：在的展开式中，通项公式为Tr+1＝•（﹣2）r•x4﹣2r，令4﹣2r＝0，求得r＝2，可得常数项为•（﹣2）2＝24，故答案为：24．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14．【分析】由等比数列的定义和通项公式，可得所求．【解答】解：数列{an}满足an＝2an﹣1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，可得数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则an＝1×2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．故答案为：2n﹣1，n∈N*．【点评】本题考查等比数列的定义与通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15．【分析】由抛物线的方程可知焦点F的坐标，由题意可得过A点的入射光线与抛物线的交点B的坐标，进而求出反射光线BF的方程，与抛物线的方程联立可得C点的坐标，再求出|BC|的值．【解答】解：因为抛物线的方程为y2＝4x，可知焦点F（1，0），过A（5，4）平行于对称轴的入射光线为：y＝4，代入抛物线的方程可得B（4，4），由题意可知反射光线为BF，可得kBF＝＝，所以直线BF的方程为x＝y+1，联立，整理可得：y2﹣3y﹣4＝0，可得y＝4或y＝﹣1，将y＝﹣1代入抛物线的方程可得x＝，即B（4，4），C（，﹣1），可得|BC|＝＝．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．16．【分析】构造f（x）＝x+lnx，由函数单调性得到ea＝b，通过变换可得到①②③④正确．【解答】解：由ea+a＝b+lnb＝2，得ea+lnea＝b+lnb＝2，令f（x）＝x+lnx，x＞0，则恒成立，∴f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增，故ea＝b，∴beb＝ea⋅eb＝ea+b＝e2，故①正确，ea+a＝b+a＝2，故②正确，ea+lnb＝b+lnb＝2，故④正确，由f（x）＝x+lnx可得：，，又f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增，且f（b）＝2，故，从而eb+lna＝eb+ln（2﹣b），设，，又g′（x）＞0恒成立，∴g（x）在上单调递增，从而，故③正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查对数的运算性质，训练了利用放缩法与导数证明函数不等式，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，得到，即可求解；（2）由正弦定理得到，，结合题意，求得bc＝3，进而求得△ABC的面积．【解答】解：（1）因为asinB+bcosA＝0，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA＝0，因为sinB＞0，所以sinA+cosA＝0，即tanA＝﹣，由A为三角形内角，得A＝；（2）由正弦定理，所以，所以，，因为a＝3，，所以，所以△ABC的面积为．【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题．18．【分析】（1）先构造并证明面面平行，继而利用面面平行的性质定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面CDP和平面CDF的法向量，利用空间角的向量求法即可求得答案．【解答】解：（1）证明：取AB的中点M，连结ME，MF，由E，F分别为CD，PA的中点，得ME∥BC，MF∥PB，∵BC，PB⊂平面PBC，FM，EM⊄平面PBC，∴ME∥平面PBC，MF∥平面PBC，又ME∩MF＝M，ME，MF⊂平面EFM，∴平面EFM∥平面PBC，∵EF⊂平面EFM，∴EF∥平面PBC；（2）以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，由PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，得A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），F（0，0，2），∴，设平面CDP的一个法向量为，由，取a＝1，得；设平面CDF的一个法向量为，由，取x＝1，得，∴cos＜＞＝＝，由几何体的空间结构知，二面角P﹣CD﹣F为锐角，故二面角P﹣CD﹣F的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19．【分析】（1）由题意，根据频率分布直方图计算可得出A学科良好的人数，补全2×2列联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；（2）先得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得A学科良好的人数为100×（0.040+0.025+0.005）×10＝70，所以2×2列联表如下：B学科良好B学科不够良好合计A学科良好403070A学科不够良好102030合计5050100假设H0：A学科良好与B学科良好无关，此时K2＝＞3.841，所以我们有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关；（2）已知AB学科均良好的概率P＝＝，易知X的所有可能取值为0，1，2，3，此时P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，，P（X＝3）＝＝，则X的分布列为：X0123P所以E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．【点评】本题考查离散型随机变量分布列的期望以及独立性检验，考查了逻辑推理和运算能力．20．【分析】（1）由题意，利用点在椭圆上及数量积的坐标运算列方程求解即可；（2）设出直线l的方程，将直线l与椭圆方程联立，韦达定理，求出弦长及三角形的高，进而可得三角形面积．【解答】解：（1）易知A1（﹣a，0），A2（a，0），又，所以，则，因为a＞0，解得a＝2，因为在椭圆C上且a＝2，所以，解得b2＝3，则椭圆C的方程为；（2）由（1）知，右焦点为F（1，0），不妨设直线l的方程为x＝my+1（m≠0），P（my1+1，y1），Q（my2+1，y2），易得，因为k1+k2＝0，所以，整理得4y1y2＝3（y1+y2），联立，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，此时Δ＝（6m）2+36（3m2+4）＝144（m2+1）＞0，由韦达定理得，又4y1y2＝3（y1+y2），所以，解得m＝2，则直线l的方程为x﹣2y﹣1＝0，此时，易知，不妨设点M到直线l的距离为d，则，所以．【点评】本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．21．【分析】（1）求导，确定函数的单调性，即可得最值，从而证得结论；（2）求导，分类讨论确定函数的单调性，从而验证极值，即可得a的取值范围．【解答】解：（1）证明：若a＝1，则f（x）＝ex﹣x﹣1，且x∈R，则f′（x）＝ex﹣1，令f′（x）＝0，得x＝0，在（﹣∞，0）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）＞f（x）min＝f（0）＝0；（2）由题意，g（x）＝axex﹣x2﹣ax，则g′（x）＝a（x+1）ex﹣2x﹣a＝a[（x+1）ex﹣1]﹣2x，当x＞0时，易得（x+1）ex﹣1＞0，所以由（1）可得，若a≥1，则g′（x）＝a[（x+1）ex﹣1]﹣2x≥（x+1）ex﹣2x﹣1＞（x+1）2﹣2x﹣1＝x2＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，这与x＝0为函数g（x）的极大值点相矛盾；若0＜a＜1，令h（x）＝a[（x+1）ex﹣1]﹣2x，则h′（x）＝a（x+2）ex﹣2，又令m（x）＝a（x+2）ex﹣2，则m′（x）＝a（x+3）ex＞0对x＞﹣3恒成立，所以h′（x）在（﹣3，+∞）上单调递增，又h′（0）＝2a﹣2＜0，h'（﹣2）＞a（﹣2+2）﹣2＝0，因为0＜a＜1，所以，因此存在唯一x0∈（0，），使得h'（x0）＝0，所以在（﹣3，x0）上，h′（x）＜0，即g′（x）单调递减，又g′（0）＝0，所以在（﹣3，0）上，g′（x）＞0，故g（x）单调递增，在（0，x0）上，g′（x）＜0，故g（x）单调递减，所以x＝0为函数f