2023-2024学年江苏省南通市八年级（上）第一次学情调研数学试卷

2023-2024学年江苏省南通市八年级（上）第一次学情调研数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具（）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③3．（3分）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC＝OD，移动角尺，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．（3分）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等5．（3分）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝7cm，AD平分∠BAC交BC于点D，则EB的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定6．（3分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线，则对应选项中作法错误的是（）A．① B．② C．③ D．④7．（3分）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．如果每块砖的厚度a＝10cm（）A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90度，AC＝3，在直线AC上取一点P，则符合条件的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（3分）如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，BE＝CD，若∠AFD＝145°（）A．45° B．55° C．35° D．65°10．（3分）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题（本大题共8小题，11、12题每题3分，13-18题每题4分，共30分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点P1（a，﹣5）与P2（3，b）关于y轴对称，则a+b＝．12．（3分）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等．13．（4分）如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数度．14．（4分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，AG．若△AEG的周长为10，则线段BC的长．15．（4分）△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°．16．（4分）如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点，则△PMN周长的最小值是．17．（4分）我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的“内角正度值”为45°，那么该等腰三角形的顶角等于．18．（4分）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为．三、解答题（本大题共8小题，共90分）19．（12分）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），D在l的异侧，AB∥DE，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝11m，BF＝3m，求FC的长．20．（8分）如图，△ABC中，∠A＝124°，交BC于E，BD分∠ABC为两部分．若∠ABD：∠DBC＝3：221．（12分）如图所示，已知点D为△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，垂足分别为点E，F．且BF＝CE．求证：（1）∠B＝∠C；（2）AD平分∠BAC．22．（10分）如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）写出点A1，B1，C1的坐标；（3）△A1B1C1的面积为．23．（8分）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，垂足分别为E、F．若AB＝15，AC＝924．（12分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，连接EG，EF．（1）求证：BG＝CF．（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．25．（14分）如图1所示，在边长为6cm的等边△ABC中，动点P以1cm/s的速度从点A出发（s），t＞0．（1）当t＝时，△PAC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，Q均以1cm/s的速度同时出发．那么当t取何值时，△PAQ是直角三角形？请说明理由；（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，Q均以1cm/s的速度同时出发，当点P到达终点B时，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．试问线段DE的长度是否变化？若变化；若不变，请求出DE的长度．26．（14分）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．（1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明．（2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，求证：AM平分∠BME．（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，并说明理由．

参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A．不是轴对称图形；B．是轴对称图形；C．不是轴对称图形；D．不是轴对称图形．故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．2．【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，所以，最省事的做法是带③去．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．3．【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推出△COM≌△DOM，根据全等三角形的性质得出∠COM＝∠DOM，根据角平分线的定义得出答案即可．【解答】解：在△COM和△DOM中，所以△COM≌△DOM（SSS），所以∠COM＝∠DOM，即OM是∠AOB的平分线，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL，全等三角形的对应角相等．4．【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【解答】解：A、符合判定HL，不符合题意；B、全等三角形的判定必须有边的参与，符合题意；C、符合判定AAS，不符合题意；D、符合判定SAS，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DC，证明Rt△AED≌Rt△ACD，得到AE＝AC＝4cm，计算即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∴DE＝DC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD，∴AE＝AC＝4cm，∴BE＝AB﹣AE＝3cm，故选：A．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．7．【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明△ACD≌△CBE（AAS），由此即可求解．【解答】解：由题意得：∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝8a+4a＝7a．∵a＝10cm，∴6a＝70cm，∴DE＝70cm．故选：C．【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，此题是与三角形全等有关的应用题，是很好的练习题．8．【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：作AB垂直平分线与AC的交点，可得PA＝PB，以A为圆心，AB为半径画圆，PA＝AB，以B为圆心，AB为半径画圆，PB＝AB，故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答．9．【分析】由∠AFD＝145°知∠DFC＝35°，根据“HL”证Rt△BDE和Rt△CFD得∠BDE＝∠CFD＝35°，从而由∠EDF＝180°﹣∠FDC﹣∠BDE可得答案．【解答】解：∵∠AFD＝145°，∴∠DFC＝35°，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠FDC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CFD中，∵，∴△BDE≌△CFD（HL），∴∠BDE＝∠CFD＝35°，∴∠EDF＝180°﹣∠FDC﹣∠BDE＝55°，故选：B．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．【分析】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B＝30°，则BE'＝2BF，再由BF＝5，BE＝4，可得10＝2CE+4，解得CE＝3，可求BC＝7．【解答】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，连接PE，∴PE＝PE'，∴EP+FP＝PE'+PF≥E'F，此时EP+FP的值最小，∵△ABC是正三角形，∴∠B＝60°，∵E'F⊥AB，∴∠FE'B＝30°，∴BE'＝2BF，∵BF＝5，BE＝6，∴E'B＝10，∵CE＝CE'，∴10＝2CE+BE＝2CE+8，∴CE＝3，∴BC＝7，故选：A．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，11、12题每题3分，13-18题每题4分，共30分）11．【分析】根据题意可知点P1与点P2的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此回答问题即可．【解答】解：∵P1（a，﹣5）与P4（3，b）关于y轴对称，∴a＝﹣3，b＝﹣6，∴a+b＝﹣3+（﹣5）＝﹣5，故答案为：﹣8．【点评】本题考查坐标与图形变化—轴对称，理解关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题关键．12．【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．【解答】解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边3∴x+y＝11．故答案为：11．【点评】本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有2找对对应边是解决本题的关键．13．【分析】据三角形全等知识进行解答，做题时要根据已知条件找准对应角．【解答】解：△ABC中，∠A＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，∵两个三角形全等，又∠A＝∠A′＝65°∴点C的对应点是B′，∴∠B′＝∠C＝60°．故填60．【点评】本题考查的知识点为：全等三角形对应边所对的角是对应角，找准对应角是正确解决本题的关键．14．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵GF是AC的垂直平分线，∴GA＝GC，∵△AEG的周长为10，∴EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝10，即BC＝10，故答案为：10．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．15．【分析】作AB的垂直平分线交AB于D，交直线AC于F，讨论：当点F在AC上，如图1，利用互余可计算出∠BAC＝50°；当点F在AC的延长线上，如图2，先利用互余计算出∠DAF＝50°，然后利用互补计算出∠BAC的度数．【解答】解：作AB的垂直平分线交AB于D，交直线AC于F，当点F在AC上，如图1，∵∠AFD＝40°，∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°；当点F在AC的延长线上，如图2，∵∠AFD＝40°，∴∠DAF＝90°﹣40°＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°＝130°，综上所述，此等腰三角形的顶角为50°或130°．故答案为50°或130°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．也考查了三角形三边的关系．16．【分析】作点P关于OB的对称点P'，作点P关于OA的对称点P''，连接P'P''，则P'P''的长就是△PMN周长的最小值；通过对称性可知△P'OP''是等边三角形．【解答】解作点P关于OB的对称点P'，作点P关于OA的对称点P''，则P'P''的长就是△PMN周长的最小值；在△OP'P''中，OP'＝OP''，∠AOB＝30°，∴∠P'OP''＝60°，∵OP＝3，∴P'P''＝3；故答案为6．【点评】本题考查最短路径问题；将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键17．【分析】根据新定理，设最小角为x，则最大角为x+45°，再分类讨论求出顶角的度数．【解答】解：设最小角为x，则最大角为x+45°，当最小角是顶角时，则x+x+45°+x+45°＝180°，解得x＝30°，当最大角为顶角时，x+x+45°+x＝180°，解得x＝45°，即等腰三角形的顶角为30°或90°，故答案为90°或30°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解新定义以及分类讨论解题思想，此题难度一般．18．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【解答】解：∵△A1B1A5是等边三角形，∴A1B1＝A8B1，∠3＝∠5＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠6＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA4＝A1B1＝6，∴A2B1＝3，∵△A2B2A2、△A3B3A6是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B5∥A2B2∥A4B3，B1A8∥B2A3，∴∠3＝∠6＝∠7＝30°，∠6＝∠8＝90°，∴A2B3＝2B1A3，B3A3＝3B2A3，∴A6B3＝4B8A2＝4，A6B4＝8B5A2＝8，A7B5＝16B1A7＝16，以此类推：△AnBnAn+1的边长为2n﹣4．故答案为：2n﹣1．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分）19．【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）；（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝11m，BF＝3m，∴FC＝11﹣3﹣6＝5（m），即FC的长是5m．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．20．【分析】设∠ABD为3x，∠DBC为2x，利用线段垂直平分线得出∠C为2x，再利用三角形内角和解答即可．【解答】解：∵BC的垂直平分线交AC于点D，且∠ABD：∠DBC＝3：2，∴DC＝BD，∴∠C＝∠DBC，设∠ABD为6x，∠DBC为2x，可得：124°+3x+5x+2x＝180°，解得：x＝8，∴∠C＝14°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．21．【分析】（1）由中点的定义得出BD＝CD，由HL证明Rt△BDF≌Rt△CDE，得出对应角相等即可．（2）根据等腰三角形的三线合一即可解决问题；【解答】证明：（1）∵点D是△ABC的边BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴∠B＝∠C．（2）∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵BD＝DC，∴AD平分∠BAC．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）根据图形即可写出点A1，B1的坐标；（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．【解答】解：（1）如图所示；（2）由图形可得A1（0，﹣7），B1（﹣2，﹣4），C1（3，5）；（3）△A1B1C3的面积为4×5﹣×2×4﹣×4×4＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．23．【分析】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE＝CF，继而求得答案．【解答】解：如图，连接CD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，∵AB＝15，AC＝9，∴BE＝6．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．24．【分析】（1）求出∠C＝∠GBD，BD＝DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可．（2）根据全等得出BG＝CF，根据三角形三边关系定理求出即可．【解答】（1）证明：∵BG∥AC，∴∠C＝∠GBD，∵D是BC的中点，∴BD＝DC，在△CFD和△BGD中，∴△CFD≌△BGD（ASA），∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF，理由如下：∵△CFD≌△BGD，∴CF＝BG，在△BGE中，BG+BE＞EG，∵△CFD≌△BGD，∴GD＝DF，ED⊥GF，∴EF＝EG，∴BE+CF＞EF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．25．【分析】（1）先由等边三角形的性质得AB＝BC＝AC＝6，∠A＝60°，再由题意得∠APC＝90°，则∠ACP＝30°，然后由直角三角形的性质得AP＝AC＝3，即可得出答案；（2）分两种情况：①当∠APQ＝90°时，则∠AQP＝30°，由直角三角形的性质得AQ＝2AP，由题意得出方程，解方程即可；②当∠AQP＝90°时，则∠APQ＝30°，由直角三角形的性质得AP＝2AQ，由题意得出方程，解方程即可；（3）过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，先证△APE≌△CQF（AAS），得AE＝CF，PE＝QF，再证△PDE≌△QDF（AAS），得DE＝DF＝EF，进而得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，若△PAC是直角三角形，则∠APC＝90°，∴∠ACP＝30°，∴AP＝AC＝3，∴t＝3÷3＝3（s），故答案为：3s；（2）分两种情况：①当∠APQ＝90°时，如图7﹣1所示：则∠AQP＝90°﹣∠A＝30°，∴AQ＝2AP，由题意可得：AP＝BQ＝t，则AQ＝6﹣t，∴6﹣t＝2t，解得：t＝7；②当∠AQP＝90°时，如图2﹣2所示：则∠APQ＝90°﹣∠A＝30°，∴AP＝5AQ，∴t＝2（6﹣t），解得：t＝5；综上，当t为2s或4s时；（3）线段DE的长度不变化，理由如下：过点Q