第一章 函数极限连续教案

第一章函数·极限·连续知识点：教学目的要求：（1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。（2）理解数列和函数极限的描述性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及相互关系，理解与掌握无穷小量的性质，了解无穷小量的比较；熟练掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。（3）理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的间断点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；了解闭区间上连续函数的性质。教学重点：1．函数的定义域2．基本初等函数3．复合函数4．极限的运算5．连续的概念教学难点：1．复合函数2．极限的概念3．重要极限4．连续的概念1.1函数【教学内容】函数的定义和函数的定义域，函数的简单性质，基本初等函数，复合函数以及初等函数，简单的经济函数模型。【教学目的】理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。【教学重点】1．函数的定义域；2．基本初等函数的图像与性质；3．复合函数的分解；4．成本函数、收入函数、利润函数。【教学难点】1．复合函数的概念与分解；2．经济函数模型建立。【教学时数】3学时【教学进程】一、函数的概念与性质(一)函数的概念提问：什么叫函数？请你举出1到2个函数的例子。教师可举例：在某商店，可一双皮鞋卖200元，两双多少元？双呢？（）从而归纳出函数的定义。１．定义定义1．1设有两个变量和，当变量在非空数集内取某一数值时，变量按照某种对应法则，有惟一确定的数值与之对应，则称变量为变量的函数，记作其中称为自变量，称为函数或因变量，数集称为函数的定义域．函数的表示方法，一般有解析法、表格法、图像法。2．定义域提问：如何求函数的定义域？当函数用解析法表示时，求函数的定义域的原则是使函数表达式有意义。因此，要求：（1）分式，分母必须不等于零；（2）偶次根式，被开方式必须大于等于0；（3）对数，真数必须大于零，底大于零且不等于1；（4）正切符号下的式子必须不等于（）；（5）余切符号下的式子必须不等于（）；（6）反正弦、反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1．如果表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们的交集．在实际应用问题中，除了要根据解析式子本身来确定自变量的取值范围以外，还要考虑到变量的实际意义例1求下列函数的定义域。（1）；（2）；（3）；（4）解（1）分式的分母不能为0，由解得且，即定义域为．（2）偶次根式被开方式大于等于零，由解得或；即定义域为．（3）对数的真数大于零，由解得；即定义域为．（4）要使式子有意义，必须满足的条件，即，解得；即定义域为．课堂练习：（1）（答案：）（2）（答案：）（3）（答案：）强调定义域必须用区间或集合表示。介绍邻域概念：我们称开区间为点的邻域，简称点的邻域。为正数，称为邻域的半径。如点1的2邻域，即1为中心，2为半径的邻域指的是开区间（-1，3）。3．函数值提问：什么叫函数值？如何求函数值？如果取数值时，则函数在处有定义，与对应的数值称为函数在点的函数值，记作即＝或＝全体函数值的集合，称为函数的值域。例2已知，求，，，。解，，，．提问：什么样的函数是表示同一只函数？函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素。当两个函数的定义域与对应法则一致时，这两个函数表示的是同一个函数。如与，它们的定义域与对应法则一致，只是表示不同而已，实际是同一个函数。４．分段函数提问：我们在产品销售中往往会遇到这样的事，某产品销量在100件以内（包括100件）按每件50元销售，超过100件，超过的部分可打八折，那么销售收入与销售量之间的关系如何表示？显然，销售收入与销售量之间的关系式要用两个式子表示，当时，；当时，．所以可表示成即象这样，两个变量之间的函数关系有的要用两个或多于两个的数学式子来表达，即对一个函数，在其定义域的不同范围内用不同数学式子来表达，称为分段函数．分段函数的定义域为各段自变量取值集合的并集．例3设函数，求：(1)函数的定义域；(2)，，；(3)作出图象．解(1)定义域为；(2)，，；(3)函数的图象如图1-1所示．课堂练习：根据中华人民共和国主席令2005年第44号，自2006年1月1日起施行新的个人所得税纳税标准，新纳税标准以月收入额1600元为起征点，具体如下：表1－1全月应纳税所得额（月收入额－1600元）税率不超过500元的5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%超过5000元至20000元的部分20%超过20000元至40000元的部分25%超过40000元至60000元的部分30%超过60000元至80000元的部分35%超过80000元至100000元的部分40%超过100000元的部分45%试表示应缴税款和月收入额之间的关系；某人月收入额为3900元应缴税多少元？答案：月收入元应缴税元．二、函数的性质提问：函数的性质有哪些？让学生敍述函数的四大性质。1。函数的单调性定义1．2设函数在区间上有定义，如果、，当时，有，则称函数在上是单调增加的；当时，有，则称函数在上是单调减少的．2．函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称，如果对任意，有，则称函数为奇函数；如果对任意，，则称函数为偶函数．既不是奇函数，又不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.奇偶函数的定义域关于原点对称，且在平面直角坐标系中，偶函数的图形关于轴对称；奇函数的图形关于原点对称。例4判断下列函数的奇偶性：；；解因为，所以为偶函数．因为，所以为奇函数．因为，显然，，所以是非奇非偶函数．课堂练习：判断下列函数的奇偶性。(1)（答案：偶函数）(2)（答案：非奇非偶函数）(3)（答案：奇函数）3．函数的周期性提问：学过的函数中哪些具有周期性？定义1．4设函数的定义域为，如果存在常数，对任意的，有，且使恒成立，则称函数为周期函数，满足上式的最小正数称为函数的周期．4．函数的有界性提问：学过的函数中哪些是有界的？定义1．5设函数的定义域为，如果存在正数，使得对任意的，有则称函数为有界函数；否则称为无界函数．有界函数的图像必介于两条平行于轴的直线和之间。三、初等函数提问：哪些是基本初等函数？1．基本初等函数我们在中学里学过的常数函数（为常数）、幂函数（为任意实数）、指数函数、对数函数、三角函数，，，与反三角函数，，，统称为基本初等函数，关键搞清它们的图像与性质。2．复合函数举例引出复合函数的概念。定义1．6设是的函数，是的函数．如果的值域或其部分是的定义域的子集，则通过构成的函数称为的复合函数，记为通常称为外层函数，简称外函数；称为内层函数，简称内函数；称为中间变量．例如，由函数，构成了复合函数。由函数，构成了复合函数。例6指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成的．(1)；(2)；(3)．解(1)由函数复合而成；(2)由函数，，复合而成的；(3)由函数，，，复合而成．课堂练习：指出下列复合函数是由那些简单函数复合而成的。（1）（答案：）（2）（答案：）（3）（答案：）（4）（答案：）3．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数叫初等函数。如，等都是初等函数。四、经济函数模型举例1．需求函数与供给函数模型在研究市场问题时，常常会涉及两个重要的函数，即需求函数和供给函数。市场对某种商品的需求量，主要受到该商品的价格的影响，通常降低商品的价格会使需求量增加，提高商品的价格会使需求量减少。在假定其它因素不变的条件下，市场需求量可视为该商品价格的函数，称为需求函数，记作供给是与需求相对应的概念，需求是就市场中的消费者而言，供给是就市场中的生产销售者而言的。某种商品的市场供给量也受商品价格的制约，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少。在假定其它因素不变的条件下，供给量也可看成价格的函数，称为供给函数，记作常见的需求函数和供给函数有线性函数，二次函数，指数函数等。一般地，需求函数是价格的单调减函数，供给函数是价格的单调增函数。当市场的需求量与供给量持平时，称为供需平衡。此时的价格称为供需平衡价格或均衡价格，记为；需求量称为均衡量，记为。例7市场调查显示，某商品当售价为每件元时，市场需求量为万件，若该商品每件降低元时，需求量将增加万件，试求该商品的线性需求函数。解设，由题意得，解方程组得，得需求函数为从上式中解出，即得价格函数为例8上例中，当市场售价为每件元时，生产厂商愿向市场提供万件商品，当价格每件增加元时，生产厂商就多提供万件商品，试求该商品的线性供给函数。解依题意有，解得，．所以供给函数为例9试求出上两例中该商品的市场均衡价格与均衡量。解由供需均衡条件，可得解得即均衡价格为567元．2．成本、收入和利润函数模型在生产和产品的经营活动中，人们总希望尽可能降低成本，提高收入和增加利润。而成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量或销售量密切相关，它们都可以看作的函数，我们分别称为总成本函数，记作；总收入函数，记作；总利润函数，记作总成本由固定成本和可变成本两部分组成：其中固定成本与产量无关，如厂房、设备费等；变动成本随产量的增加而增加，如原材料费等．生产个单位产品时的平均成本为总收入函数与产品的单价和产量或销售量有关．如果产品的单位售价为，销售量为，则总收入函数为总利润等于总收入与总成本的差，于是总利润函数为例10已知某种产品的总成本函数为．求当生产200个该产品时的总成本和平均成本．解由题意，产量为200个时的总成本为产量为200个时的平均成本为例11已知某产品的成本函数为，供给函数为，求该产品的利润函数；并说明该产品的盈亏情况．解因为，由题意得收入函数为所以利润函数为又由可得盈亏平衡点容易看出，当时，，说明亏损；当时，，说明盈利．课堂练习：某旅游公司调查发现，有一种短途往返游览，售出的票数是票价的线性函数．当票价为50元时，有40人买票；当票价为80元时，只能卖出10张票．试写出该种短途游览项目的需求函数，并确定总收益与票数的函数关系．（答案：）某企业生产某种产品的日固定成本为元，生产一个单位产品的变动成本为元，试求该企业日总成本函数。若每件产品的出厂价为元，试问每天生产多少件产品才能达到收支平衡？（答案：）3．库存函数模型*例12某商店半年销售500件小器皿，均匀销售，为节约库存费，分批进货.每批订货费用（订合同手续费、旅差费、运货费等）为80元，每件器皿的库存费为每月0.4元，试列出库存费和进货费之和与批量间的函数关系.解设每一批进货量为件.货进店入库，由于均匀销售，库存货量由件逐渐均匀地减少到零件，所以平均库内存货量为件.半年共有6个月，每件器皿每月的库存费为0.4元，因此半年的库存总费用为（元）每次进货件，半年（6个月）需要进货的次数为次，总的进货费用（元）所以，总费用为（元）课堂练习：某超市常年经销一种日用品，年销售量箱，每箱进货价元，粗略地认为按平均库存量占用资金，此项资金每年应付贷款利息，为了保证供应，要有计划地进货，又假设销售量是均匀的，卖完一批再进一批货，因此每批进货量相同。已知进一批货需手续费元，而库存保管费每箱每年元，试求库存总费用与进货批量（即每批进货的数量）之间的函数关系。（答案：（元））4．金融数理模型（会计、税务、投资专业讲，其余专业不讲）金融数理分析的基础知识包括资金的时间价值和风险概念。利息是资金的时间价值的一种表现形式。利息又分为单利和复利，若本金在上期产生的利息不再加入本期本金计算利息，就叫单利；反之，若本金在上期产生的利息也纳入本期本金计算利息，就叫复利。常见的金融数理模型有：单利模型，复利模型，按揭模型，证券价格的评估模型等。例12（复利模型）设是本金，为年复利率，是计息年数，若每满年计息一次，求本利和与计息年数的函数模型。（答案：）解由题意，每期的复利率为，第一期末的本利和为把作为本金计息，则第二期末的本利和为再把作为本金计息，如此反复，第年（第期）末的本利和为本堂课小结：主要内容：函数的概念，分段函数的概念，函数的性质，基本初等函数与初等函数，复合函数，经济函数模型重点：函数的定义域，基本初等函数的图像与性质，复合函数分解过程。难点：复合函数的概念与分解，经济函数模型的建立作业：P34习题1，2347891011

1.2极限的概念【教学内容】数学极限与函数极限的概念，极限存在的充要条件，无穷小量与无穷大量的概念与性质。【教学目的】理解数列极限与函数极限的描述性定义。理解函数在点处左、右极限的概念，掌握函数在一点处极限存在的充分必要条件，并运用此充分必要条件解决具体问题；理解无穷小量概念，了解无穷大量概念，掌握无穷小量性质．了解无穷小量的阶的概念．【教学重点】1．极限的概念，函数在一点处极限存在的充分必要条件；2．无穷小与无穷大的概念与性质。【教学难点】1．极限的概念的理解及应用，理解函数左极限与右极限；2．理解无穷小与无穷大的关系。【教学时数】3学时【教学进程】1.2.1数列的极限一、概念的引入【截丈问题】“一尺之棰，日截其半，万世不竭”特点：1，无穷项等比数列2，随着项数的增大，数列中项逐渐减少【割圆术】“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”—刘徽二、数列的极限1、数列的定义定义:按自然数编号依次排列的一列数，称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，称为通项(一般项)，记为。例如：【注意】①数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取②数列是整标函数2、数列的极限问题:当n无限增大时，数列是否无限接近于某一确定的数值？如果是，如何确定？【注意】例1例10例2®1例2例例31，－1，1，－1，…，(－1)n+1，…分析：正负交错，n无限增大，数列不趋于任何定数，无极限.四、课堂练习（1）分析：（2）1，3，5，…，2n－1，…分析：随n增大数列的项也无限增大，也不趋于任何定数,无极限.1.2.2函数的极限人类总在不断探索更加遥远的未知领域。科学工作者利用函数去模拟周围不断变化的事物，并通过对函数的研究去认知变化事物的遥远未来。例如，在十八世纪，著名人口学家马尔萨斯提出，如果人口的数量按照等比级数增长，最终地球将无法承受人类的生存。用数学的语言叙述这个论断： (1+α)x=+∞，其中α是大于0的常数。这个问题属于函数极限的范畴。一、当x→∞时，函数f(x)的极限例1例1例2例2已知函数(x<0)，试由函数的图象，判断x趋向负无穷大时函数y的变化趋势。例3例3因为，x→+∞和x→-∞可以写为x→∞定理1讨论讨论已知函数y=arctanx,试讨论当x→∞时，y=arctanx否有极限，为什么？例4分析：例4已知函数y=sinx,判断当x→∞时，y=sinx是否有极限，为什么？分析：由图可见，x→+∞时，y→某一固定常数Ax→-∞时，y→某一固定常数A课堂练习:观察下列极限是否存在，如存在请写出极限：二、当x®x0时，函数f(x)的极限1、当x®x0时，函数f(x)的极限注意：（１）定义中“x®x0”表示x从小于x0和大于x0的两个方向趋近于x0（２）定义中考虑的是x®x0时函数f(x)的变化趋势,并不考虑在x0处f(x)的情况.（3）由极限的定义1．9容易得到以下两个结论：例1例1考察下列函数，写出当时函数的极限，并作图验证。（１）y=c(c为常数)（２）y=x２ 解：例2例2。例3求极限，并作图观察例3解：2.当x®x0时,函数f(x)的左极限和右极限左极限与右极限的关系左极限与右极限的关系例1例1解：讨论讨论解：1.2.3无穷小量和无穷大量一、无穷小量定义若在自变量若在自变量的某一变化过程中，函数的极限为零，则把函数称为在自变量的这一变化过程中的无穷小量，简称无穷小。即：极限为零的变量称为无穷小.例如,注意（1）无穷小是变量，是量的变化状态，不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.（3）无穷小必须指明自变量的变化趋势。例：自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小。（1）（2）（3）（4）定理1定理1其中是当时的无穷小.证：必要性充分性例：当时，将函数写成其极限值与一个无穷小量之和的形式。3、无穷小的运算性质:性质1在同一过程中性质1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.性质2性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小求下列极限解：因为=0，而即sinx有界,由无穷小性质得原式=0解：0∴原式=0二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.定义定义2若在自变量x的某一变化过程中，函数f(x)的绝对值可以任意地大，则称函数当(或)时为无穷大,记作例如：特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.分析：（1）取无界，不是无穷大。三、无穷小与无穷大的关系定理定理在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例1解：由无穷小与无穷大的倒数关系得：原式=例2指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小。解：因为时，，所以时，是无穷小；因为时，，所以时，是无穷大；解：因为时，，所以时，是无穷小因为时，，所以时，是无穷大解：因为时，，所以时，是正无穷大因为时，，所以时，是无穷小练习指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小四、无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质：性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小性质2：有界函数与无穷小的乘积为无穷小性质3：有限个无穷小的乘积为无穷小例1解：因为时，x为无穷小,为有界函数,由性质2，得到。练习4：利用无穷小的性质,求下列函数的极限五、无穷小的比较定义设a和b是同一变化过程中的两个无穷小，即lima=0和limb=0(１)如果，那么称a是b的高阶无穷小；(２)如果，那么称a是b的低阶无穷小；(３)如果，那么称a是b的同阶无穷小；特别是当c=1时，即当时，则称a与b是等价无穷小,记作：b~a。例1选择题（1）当时，变量是变量的（）[A]高阶无穷小；[B]低阶无穷小；[C]同阶无穷小；[D]等价无穷小解：,（2）当时，变量是变量的（）[A]高阶无穷小；[B]低阶无穷小；[C]同阶无穷小；[D]等价无穷小解：，

第1章函数、极限与连续第1.3节极限的运算【教学目的与要求】1.掌握极限的四则运算法则并熟练运用法则求解极限问题；2.熟悉熟练掌握用两个重要极限求极限的方法；3.了解利用无穷小量的等价替换求极限的方法．【教学重点、难点】1.熟练运用法则求解极限问题；2.两个重要极限的应用。【教学内容】1.3.1极限的四则运算一、极限运算法则定理1证：由无穷小运算法则,得推论1即：常数因子可以提到极限记号外面.推论2定理2（复合函数的极限）二、求极限方法举例常见方法：a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.（一）多项式与分式函数代入法求极限例1解：例2求解：例3求解：例4解：当先变形再求极限.(二)消去零因子法求极限消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法（1）因式分解例1解：练习：求解：原式=（2）有理化法，将分子或分母有理化，约去极限为零的因式。例2解：练习：求解：原式==1（3）变量替换法例5.解：令原式=(三)无穷小因子分出法无穷小因子分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例1解：练习：=0（四）利用无穷小运算性质求极限1、利用有界函数与无穷小乘积是无穷小例1求.解：2、利用无穷小与无穷大的关系（倒数关系）例2解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得（五）两个无穷大量相减的问题，我们首先进行通分运算，设法去掉不定因素，然后运用四则运算法则求其极限。也就是说，要将。具体有通分法、分子有理化。例1求解：原式=例2解：原式=练习：解：（六）利用左右极限与极限的关系例1设问b取何值时,存在,并求其值。.解\由函数的极限与其左、右极限的关系,得b=2,练习：解：左右极限存在且相等，（七）复合函数求极限方法例1解：所以，由复合函数求极限法则注：这类复合函数的极限通常可写成例2解：1.3.2两个重要的极限一、例1解：原式==4例2求解：例3求极限解：.练习：求.解：原式=二、例4解：例5解：例6解：例7解：练习解1解2=e2【补充】等价无穷小代换定理(等价无穷小代换定理)常用等价无穷小:例1解：若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．例2解注意不能滥用等价无穷小代换。切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.例3错解（）解：1.4函数的连续性【教学内容】连续与间断的概念；函数连续性的判断；闭区间上连续函数的性质。【教学目的】使学生理解与掌握连续与连续函数的概念，会求间断点与连续区间，了解闭区间连续函数的性质。【教学重点】1．连续的概念；2．求函数的间断点或连续区间。【教学难点】连续的概念。【教学时数】2学时【教学进程】一、函数的连续性1．函数的改变量提出问题：通过具体图像观察，提出当自变量由一个值变化到另一个值时，自变量改变了多少？同时，函数值变化了吗？函数值的改变用什么来表示？定义1．13设函数在的某邻域内有定义，当自变量由变到，称差-为自变量在处的改变量或增量，通常用表示，即=-．相应地，函数值由变到，称差为函数在处的改变量或增量，记作，即=例1设，在下列变化情况下求和．(1)由2变到2．01（答案：0.02）(2)由2变到1．98（答案：－0.04）说明：和可以是正值，也可以是负值，也可以为零。2．连续的概念1）定义提问：什么样的函数是连续的？（让学生观察下列图像，分析两个图像的不同处，提出用什么式子来衡量。）O图1-26观察图1-26和图1-27中两条曲线在处的情况．O图1-26图1-27图1-27归纳结论：由图1-26中可以看出，函数在处是连续的，且显然当时，有．由图1-27中可以看出，函数在处是断开的，且显然当时，有（不趋近于零）．定义1．14设函数在点的某个邻域内有定义，如果在处，当自变量的增量无限趋近于0时，函数的增量也无限趋近于0，即则称函数在点处连续，称点为函数的连续点；否则就称函数在点处间断，点为函数的间断点．例2用定义证明在处连续．再提问：函数在某点处连续，那么这点处的极限如何？与这点的函数值有何关系？（让学生观察图像，分析两个图像的不同处，提出用什么式子来衡量。）定义设函数在点的某个邻域内有定义，如果那么函数在点处连续．称点为函数的连续点．否则称函数在点处间断，称为函数的间断点。提问：如何来判断函数在某点连续呢？（让学生先归纳出判断某点连续的方法，然后由老师进行总结。）2）判断连续的方法一般地，函数在点处连续必须满足下面三个条件：函数在点处有定义；存在；，即函数在点处的极限值等于这一点的函数值。如果，则称函数在点处右连续；如果，则称函数在点处左连续。图1－15中的函数曲线是左连续的。例3讨论函数在点处的连续性。（答案：连续）例4试说明函数在处是连续的．（答案：连续）例5已知函数在处连续，求与的值．（答案：）3）课堂练习：1．讨论函数在处的连续性．（答案：连续）2．试说明函数在处间断。提问：两个函数在某点连续，进行四则运算后是否在此点仍连续？（让学生先思考，然后由老师进行总结。）4）连续的运算如果函数和在点处连续，则它们的和、差、积、商（）在点处均连续。如果函数在点连续，且，函数在连续，则它们的复合函数在点必连续，且例6求（答案：1）5）极限与连续的关系定理1·6如果函数在点处连续，则点处的极限一定存在；反之，不一定成立。例如，函数在处的极限存在，但在处不连续。3．连续函数的概念1）连续函数的定义定义1．15如果函数在区间内每一点都连续，则称函数在区间内连续；如果函数在开区间内连续，又在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称函数在闭区间上连续．2）重要结论连续函数的和、差、积、商及复合的函数都是连续函数。由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算及复合构成的，基本初等函数在其定义域内都是连续的，所以初等函数在其定义域内均连续。二、间断点与连续区间的求法1）方法（可由老师提问，让学生先思考，）一般地，如果函数是初等函数，则求它的连续区间只需考虑它有定义；如果函数是分段函数，则它的连续性着重应考虑它的分段点。2）举例例7判断下列函数在指定点处的连续性。（1）在处（答案：不连续）（2）在处（答案：不连续）例8说明函数在什么区间连续。（答案：）例9求下列函数的间断点。（1）（答案：，）（2）（答案：）3）课堂练习：求下列函数的间断点与连续区间1．（答案：间断点：，；连续区间）2．（答案：间断点：；连续区间）例10求下列极限：(1)（答案：）(2)（答案：）四、闭区间上连续函数的性质O图1-28mbcMa定理1．8（最值定理）如果函数在闭区间上连续，则函数O图1-28mbcMa如图1-28所示，函数在闭区间上连续，在点处取得最小值，在点处取得最大值．定理1．9（介值定理）如果函数在闭区间上连续，和分别为函数在闭区间上的最小值与最大值，则对介于和之间的任一实数，至少存在一点使得．如图1-28所示，对于，直线与连续曲线有两个交点，使得．o图1-29推论（零点定理）如果函数在闭区间上连续，且，则至少存在一点使得．o图1-29推论表明：连续函数满足，则方程在区间内至少有一个根（如图1-29所示）．例11证明方程在与之间有实根。本节小结：主要内容：连续的概念，连续函数的概念，间断点与连续区间的求法，闭区间上连续函数的性质，第一章知识小结重点：连续的定义，间断点与连续区间的求法，极限求法与连续判断难点：连续的定义，闭区间上连续函数性质的理解

第一章“函数、极限、连续”总结【教学内容】函数、极限与连续的定义、极限及其相关计算【教学目的】综合理解并掌握函数、极限与连续的概念、性质及其有关计算方法，掌握函数在经济问题中的应用【教学重点】极限的计算【教