创新设计直线-平面-简单几何体952市公开课特等奖市赛课微课一等奖课件

掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成角概念/了解直线方向向量、平面法向量、向量在平面内射影等概念

第52课时空间角第1页1．直线与平面所成角(1)一个平面斜线和它在这个平面内射影夹角，叫做斜线和平面所成角(或斜线和平面夹角)．假如直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成角是直角；假如直线和平面平行或在平面内，那么说直线和平面所成角是0°角． (2)已知AO是平面α斜线，A是斜足，OB垂直于α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内射影．设AC是α内任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成角为θ1，AB与AC所成角为θ2，AO与AC所成角为θ，则cosθ＝cosθ1cosθ2.第2页2．三种空间角向量法计算公式(1)异面直线a，b所成角θ：cosθ＝|cos〈a，b〉|；其中a，b分别为直线a，b

．(2)直线a与平面α(法向量n)所成角θ：sinθ＝|cos〈a，n〉|；其中a为直线a

．方向向量方向向量法向量(3)锐二面角θ：cosθ＝|cos〈m，n〉|，其中m，n为两个

．第3页1．如右图所表示，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°二面角，则异面直线AD与BF所成角余弦值是()

答案：Ｂ第4页2．已知AB⊥平面α，垂足为B，BC为AC在α内射影，CD⊂α，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC与平面α所成角为()A．90°B．60°C．45°D．30°答案：C3．如右图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝，则PA与底面ABC所成角为________．答案：第5页4．已知点O在二面角α－AB－β棱上，点P在α内，且∠POB＝45°.若对于β内异于O任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β

大小是________．答案：90°第6页1. 几何法：处理直线与平面所成角问题，关键是找到斜线在平面内射影，将直线与平面所成角转化成线线所成角．2． 向量法：可利用直线方向向量和平面法向量，求直线与平面所成角．第7页【例1】如右图所表示，ABCD是正四面体，E、F分别是BC和AD中点．求：(1)AE与CF所成角；(2)CF与平面BCD所成角．第8页解答：(1)如右图，连结DE，取ED中点K，连结FK、CK，∵F是AD中点，∴AE∥FK，则∠CFK为异面直线AE与CF所成角(或其补角)，设正四面体棱长为a，则可得

在Rt△KEC中，CK＝∴在△CFK中，cos∠CFK＝，∴∠CFK＝arccos， 即异面直线AE和CF所成角为arccos.第9页(2)在正四面体ABCD中，因为各棱长都相等，E是BC中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥面AED(如上图所表示)，∴面ADE⊥面BCD，交线为DE，过A作AO⊥DE于O，则AO⊥面BCD，过F作FH⊥DE于H，则FH⊥面BCD，连结CH，∴∠FCH为CF与面BCD所成角，∵FH＝AO，∴FH＝a，sin∠FCH＝，∴CF与平面BCD所成角为arcsin.第10页变式1.如右图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF所成角大小.第11页解答：解法一：如图，(1)证实：连结EP.∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内，∴PD⊥DE.又CE＝ED，PD＝AD＝BC.∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE＝BE.∵F为PB中点，∴EF⊥PB.由三垂线定理得PA⊥AB.∴在Rt△PAB中PF＝AF，又PE＝BE＝EA.∴△EFP≌△EFA.∴EF⊥FA.∵PB、FA为平面PAB内相交直线．∴EF⊥平面PAB.(2)不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1.AB＝，PA＝，AC＝.∴△PAB为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB.∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF.第12页连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF.∠GAH为AC与平面AEF所成角．由△EGC∽△BGA可知

由△EGH∽△EBF可知GH＝BF＝.∴sin∠GAH＝.∴AC与平面AEF所成角为arcsin.第13页解法二：以D为坐标原点，DA长为单位1，建立如图所表示空间直角坐标系．(1)证实：设E(a,0,0)，其中a>0，则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1)，F(a，，)．

＝(2a,1，－1)，

＝(2a,0,0)，∴EF⊥PB，

，∴EF⊥AB，又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B.∴EF⊥平面PAB.第14页(2)由AB＝BC，得a＝，可得,异面直线AC、PB所成角为arccos，

．∴

.PB⊥AF，又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线，∴PB⊥平面AEF.∴AC与平面AEF所成角为.第15页求二面角关键是找到二面角平面角，找二面角方法主要有以下几个：方法一(棱上一点——定义法)；

在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱射线．如图①所表示，在二面角α—a—β棱a上任取一点O，在平面α内过点O作OA⊥a，在平面β内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角α—a—β平面角．第16页方法二(空间一点——垂面法)；过棱上一点作棱垂直平面，该平面与二面角两个半平面产生交线，这两条射线所成角，即为二面角平面角．如图②所表示，已知二面角α—l—β，过空间一点P作PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，设PA、PB确定平面为γ，设γ∩l于一点O，连结OA、OB.因为PA⊥α，l⊂α，所以PA⊥l，同理PB⊥l，所以l⊥γ，所以l⊥OA，l⊥OB，所以∠AOB为二面角α—l—β平面角． 方法三(面上一点——垂线法)如图③所表示，过二面角α—l—β中α内一点P作PA⊥β，A为垂足，作AO⊥l，垂足为O，连接PO，则由三垂线定理PO⊥l，∠AOP为二面角α—l—β平面角．方法四：射影法：利用面积射影公式S射＝S原cosθ，其中S原为原斜面面积，S射为射影面积，θ为平面角大小，此方法无须在图中画出平面角来．第17页【例2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点，且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN. 求(1)cos〈

〉； (2)直线AD与平面ANM所成角正切； (3)平面ANM与平面ABCD所成角(锐角)余弦值．解答：(1)以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴，y轴，z轴．则D(0,8,0)，A1(0,0,4)，M(5,2,4)，∴

＝(0,8，－4)，

＝(5,2,4)．∵

·

＝0，cos〈

，

〉＝0.第18页(2)由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，∴A1D⊥平面AMN，垂足为N.所以AD与平面ANM所成角即是∠DAN.∴tan∠DAN＝tan∠AA1D＝2.(3)∵AA1⊥平面ABCD，A1N⊥平面AMN，∴

和

分别成为平面ABCD和平面AMN法向量．设平面AMN与平面ABCD所成角(锐角)为θ，则cosθ＝cos〈

，

〉＝cos∠AA1N＝cos∠AA1D＝.第19页变式2.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上射影E恰好落在AB上，求这时二面角B－AC－D大小．解答：如图，过E点作EF⊥AC，垂足为F，连结DF，由三垂线定理知DF⊥AC，则∠DFE为二面角D－AC－B平面角．在Rt△ADC中，DF＝，在Rt△AFD中，AF＝，由△ADF∽△AEF，∴EF＝，在Rt△DEF中，cos∠DFE＝，∴∠DFE＝arccos.第20页1.利用平面法向量可证实直线与平面平行，平面与平面平行等问题；2．利用平面法向量，可计算直线与平面所成角，如例1变式．3．求二面角大小(1)若AB、CD分别是二面角α—l—β两个面内与棱l垂直异面直线，则二面角大小就是向量

夹角(如图①)．(2)设n1，n2分别是二面角α—l—β两个面α，β法向量，则在图②中二面角大小为π－<n1，n2>，在图③中二面角大小为<n1，n2>.第21页【例3】如右图，ABC－A1B1C1是正棱柱，D是AC中点． (1)求证：AB1∥平面DBC1； (2)若AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面二面角α度数．解答：(1)证实：∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．连结B1C交BC1于E，则B1E＝EC，连结DE.在△AB1C中，∵AD＝DC，∴DE∥AB1，又∵AB1⊄平面DBC1，DE⊂平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.(2)如右图，在面ABC内，过D作DF⊥BC于F，则DF⊥平面B1BCC1，连结EF，则EF是ED在平面B1BCC1内射影．第22页解法一：∵AB1⊥BC1，∴由(1)知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，由三垂线定理逆定理可知BC1⊥EF，∴∠DEF是二面角α平面角，设为θ，设AC＝a，则CD＝a，∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，DF＝DC·sin∠DCF＝a，CF＝DC·cos∠DCF＝a.取BC中点G，∵EB＝EC，∴GE⊥BC.在Rt△BEF中，EF2＝BF·GF，又BF＝BC－FC＝a，GF＝a，∴

∴tan∠DEF＝＝1，∴∠DEF＝45°，故二面角α为45°.第23页解法二：∵BD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，则BD⊥DC1，又DE⊥BC1，BE＝EC1，∴△BDC1为等腰直角三角形．设BC＝a，则BD＝BC·sin∠ACB＝a，在等腰Rt△BDC1中，DE＝BD·sin∠DBE＝a，又DF＝a，∴在Rt△DFE中，sin∠DEF＝，∴∠DEF＝45°，故所求二面角为45°.第24页解法三：取B1C1中点O，如右图，建立直角坐标系O－xyz，设正三棱锥底面边长AB＝a，高AA1＝h，则A(0，h，a)，B1(，0,0)，C1(－，0,0)，B(，h,0)，C(－，h,0，)，D(－，h，a)，

，由AB1⊥BC1得，－h2＝0，即h＝，设平面BDC1法向量为n1＝(1，y，z)，由n1·

＝0，n1·

＝0，得解得∴n1＝(1，－，)，又平面BCC1法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝，则〈n1，n2〉＝45°，所以所求二面角为45°.第25页1．求直线和平面所成角与利用三垂线定理或三垂线定理逆定理，都要经过选点，过该点作出一个平面垂线，如例3.2．经过上述例题解法可看出求二面角：(1)可利用二面角定义作二面角平面角；(2)可利用垂直于棱平面去截二面角，得到二面角平面角；(3)可利用三垂线定理作出二面角平面角； (4)可利用面积射影公式；(5)还可利用空间向量进行计算等等．3．在处理折叠相关问题时：(1)要明确在折痕同侧半平面内点，直线和平面位置关系是不变；(2)折前与折痕垂直直线而折后恰是所折二面角平面角．4．在处理直线与平面所成角或二面角时要重视平面法向量应用.

【方法规律】

第26页(·全国Ⅰ)(本题满分12分)如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2，点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°.(1)证实：M是侧棱SC中点；(2)求二面角S－AM－B大小.第27页【考卷实录】

第28页解答：(1)证实：由SD⊥底面ABCD知：平面SDC⊥底面ABCD，过M作MH⊥CD，垂足为H，则MH⊥底面ABCD，故SD∥MH.设MH＝x，则HC＝x，HD＝2－x