函数逼近与曲线拟合省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

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8.1数据拟合

本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数问题.上章提到插值就是近似代替方法之一,插值近似标准是在插值点处误差为零.但在实际应用中,有时不要求详细一些点误差为零,而要求考虑整体误差限制,这就引出了拟合和迫近概念.

对离散型函数(即数表形式函数)考虑数据较多情况.若将每个点都看成插值节点,则插值函数是一个次数很高多项式,比较复杂.而且因为龙格振荡现象,这个高次插值多项式可能并不靠近原函数.同时因为数表中点普通是由观察测量所得,往往带有随机误差,要求近似函数过全部点既不现实也无须要.第8章函数迫近与曲线拟合1/81

本章讨论函数迫近，是指“对函数类A中给定函数f(x)，记作f(x)∈A，要求在另一类简单便于计算函数类B中求函数p(x)∈B，使p(x)与

f(x)误差在某种度量意义下最小”.函数类A通常是区间[a,b]上连续函数，记作C[a,b]，称为函数迫近空间;而函数B通常为n次多项式,有理函数或分段低次多项式等.为了在数学上描述更准确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识.2/81

数学上常把在各种集合中引入某一些不一样确实定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这么集合称为空间。例1

全部实n维向量集合，按向量加法和数乘组成实数域R上线性空间---Rn,称为n维向量空间.例2

对次数不超出n（n为正整数）实系数多项式全体，按多项式加法和数乘组成数域R上多项式线性空间--Hn,称为多项式空间.例3

全部定义在[a,b]集合上连续函数全体，按函数加法和数乘组成数域R上连续函数线性空间–

C[a,b],称为连续函数空间.类似地记Cp[a,b]为含有p阶连续导数函数空间.3/81则称x1,x2,…,xn

线性相关，不然称x1,x2,…,xn

线性无关，即只有当a1=a2=…=an=0时等式(1.1)才成立.

定义1

设集合S是数域P上线性空间，元素x1,x2,…,xn∈S，假如存在不全为零数a1,a2,…,an∈P，使得4/81则x1,…,xn称为空间S一组基,记为S=span{x1,…,xn},并称空间S为n维空间，系数a1,…,an为x在基x1,…,xn下坐标，记作(a1,…,an)，假如S中有没有限多个线性无关元素x1,…,xn,…，则称S为无限维线性空间.

若线性空间S是由n个线性无关元素x1,…,xn生成，即对任意x∈S，都有5/81它由n+1个系数(a0,a1,…,an)唯一确定.1,x,…,xn线性无关，它是Hn一组基，故集合

Hn=span{1,x,…,xn}，且(a0,a1,…,an)是p(x)坐标向量，Hn是n+1维.

下面考虑次数不超出n实系数多项式集合Hn，其元素p(x)∈Hn表示为6/81其中ε为任意给小正数，即精度要求.这就是下面著名魏尔斯特拉斯（Weierstrass）定理.

对连续函数f(x)∈C[a,b]，它不能用有限个线性无关函数表示，故C[a,b]是无限维，但它任一元素f(x)∈C[a,b]均可用有限维p(x)∈Hn迫近，使误差7/81在[a,b]上一致成立.

定理1

设f(x)∈C[a,b]，则对任何ε>0，总存在一个代数多项式p(x)

，使8/81

由(1.1)式给出Bn(f,x)也是f(x)在[0,1]上一个迫近多项式，但它收敛太慢，实际中极少使用.9/81更普通函数迫近概念：10/81最惯用度量标准：(一)一致迫近以函数f(x)和p(x)最大误差：作为度量误差f(x)－p(x)“大小”标准

在这种意义下函数迫近称为一致迫近或均匀迫近

(二)平方迫近：采取作为度量误差“大小”标准函数迫近称为平方迫近或均方迫近。

11/81

8.2正交多项式

正交多项式是数值计算中主要工具，这里只介绍正交多项式基本概念、一些性质和结构方法。离散情形正交多项式用于下节数据拟合，连续情形正交多项式用于生成最正确平方迫近多项式和下章高斯型求积公式结构。它们在数值分析其它领域中也有不少应用。12/81定义

设有点集{xi}i=0,1,…,m，函数f(x)和g(x)在离散意义下内积定义为(1)其中

i>0为给定权数。在离散意义下，函数f(x)2-范数定义为(2)有了内积，就能够定义正交性。若函数f(x)和g(x)内积(f,g)=0，则称二者正交。离散点集上正交多项式13/81若多项式组{

k(x)}k=0,…n

在离散意义下内积满足(3)则称多项式组{

k(x)}k=0,…n为在离散点集{xi}i=0,1,…,m上带权{

i}i=0,…m正交多项式序列.下面给出离散点上正交多项式结构方法

.14/81

给定点集{xi}i=0,1,…,m和权数{

i}i=0,…m

，而且点集{xi}i=0,1,…,m中最少有n+1个互异，则由以下三项递推公式（4）给出多项式序列是正交多项式序列，其中（5）

三项递推公式（4）是结构正交多项式简单公式，另外，还有其它特殊情形，这里，不深入讨论。15/81

例

已知点集{xi}i=0,1,…,4={0,0.25,0.5,0.75,1}和权数{

i}i=0,…4={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关于该点集正交多项式解先令P0(x)=1，由此得16/81由此得从而有17/81连续区间上正交多项式

连续区间上正交多项式概念与离散点集上正交多项式概念相同，只要将内积定义作对应改变。定义2.10函数f(x)和g(x)在连续意义下内积定义为

（6）其中

(x)0为给定权函数。按连续意义下内积，若多项式组{

k(x)}k=0,…n

满足条件(6),则称它为在区间[a,b]上带权

(x)正交多项式序列。18/811．权函数定义1设

(x)定义在有限或无限区间[a,b]上，假如有以下性质：(1)

(x)≥0，对任意x

[a,b]，(2)积分存在，(n=0,1,2,…)，(3)对非负连续函数g(x)若

则在(a,b)上g(x)

0称

(x)为[a,b]上权函数

连续区间上正交多项式

连续区间上正交多项式概念与离散点集上正交多项式概念相同，只要将内积定义作对应改变。19/812．内积定义2设f(x)，g(x)

C[a,b]，

(x)是[a,b]上权函数，则称

为f(x)与g(x)在[a,b]上以

(x)为权函数内积。

内积性质：(1)(f,f)≥0，且(f,f)=0

f=0；(2)(f,g)=(g,f)；

(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；

(4)对任意实数k，(kf,g)=k(f,g)。20/813．正交定义3设f(x)，g(x)

C[a,b]若则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权

(x)正交。

定义4设在[a,b]上给定函数系{

k(x)}，若满足条件则称函数系{

k(x)}是[a,b]上带权

(x)正交函数系。21/81若定义

4中函数系为多项式函数系，则称为以

(x)为权在[a,b]上正交多项式系。并称pn(x)是[a,b]上带权

(x)n次正交多项式。尤其地，当Ak

1时，则称该函数系为标准正交函数系。22/81实际上，例

三角函数组内权函数为1正交组。23/81正交多项式三项递推公式:

是首项系数为1i次多项式，则满足递推公式:

完全类似于离散情况下正交多项式结构方法,连续区间上正交多项式序列一样能够由递推公式(4)和(5)结构,其中内积按(6)式定义.24/81下面给出几个惯用正交多项式.

(1)勒让德（Legendre）多项式.正交多项式记为，由三项递推公式得(7)给出.它们是在区间[-1,1]上带权

(x)=1正交多项式.25/81它们根都是在开区间(-1,1)上单根,而且与原点对称.前几个Legendre多项式以下:26/81勒让德多项式图形：

P0(x),P1(x),P2(x),P3(x)27/81

(2)第一类Chebyshev多项式.

第一类Chebyshev多项式可由三项递推公式给出.它们是在区间[-1,1]上带权正交多项式.(8)28/81它们根都在开区间（-1，1）上单根，而且与原点对称。前几个第一类Chebyshev多项式以下:29/81切比雪夫多项式图形：

T0(x),T1(x),T2(x),T3(x)30/81（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。

Laguerre多项式可由三项递推公式给出。它们是在区间[0,+∞)上带权正交多项式。前几个Laguerre多项式以下:

31/81它们根都是在区间（0，+∞）上单根。32/81

设是[a,b]上线性无关连续函数,a0,a1,…,an是任意实数，则并称是生成集合一个基底。全体是C[a,b]一个子集，记为8.3最正确平方迫近33/81定义对于给定函数假如存在使

则称S*(x)为f(x)在区间[a,b]上最正确平方迫近函数。函数最正确平方迫近即34/81求最正确平方迫近函数问题可归结为求它系数使多元函数取得极小值。

I(a0,a1,…，an)是关于a0,a1,…，an二次函数，利用多元函数取得极值必要条件，35/81(k=0,1,2,…,n)得方程组36/81如采取函数内积记号方程组能够简写为

37/81写成矩阵形式为为法方程组！

38/81

因为

0,

1,…,

n线性无关，故Gn

0，于是上述方程组存在唯一解

从而必定了函数f(x)在

中假如存在最佳平方迫近函数，则必是记称之为最正确平方迫近误差！注：最正确平方迫近误差越小，说明函数空间Hn对f(x)迫近效果越好。39/812024/5/140例定义内积

，试在函数空间，寻求对于函数最正确平方迫近函数。解简单计算可得法方程为#所以40/81

例2设，求[0，1]上一次最正确

平方迫近多项式。解由方程组，解出41/81平方误差

最大误差

42/81一、问题提法已知一个函数数值表xx1x2…xmyy1y2…ym求一个简单易算近似函数

S(x)

f(x)

。8.4曲线拟合最小二乘法43/81不过(1)m通常很大；(2)yi本身是测量值，不准确，即yi

f(xi)。这时没必要使S(xi)=yi,而只要S(xi)

yi

总体上尽可能小。常见做法：

使最小太复杂

使最小不可导，求解困难

使最小最小二乘法44/81定义

对于给定函数假如存在使

到达最小。则把

称为f(x)最小二乘拟合曲线45/81求问题可归结为求它系数a0,a1,…,am

使多元函数取得极小值。Q(a0,a1,…，am)是关于a0,a1,…，am二次函数，利用多元函数取得极值必要条件，46/81(k=0,1,2,…,m)得方程组47/81如采取函数内积记号方程组能够简写为

48/81写成矩阵形式为

法方程组！

49/81

因为

0,

1,…,

n线性无关，故Gn

0，于是上述方程组存在唯一解

从而必定了函数f(x)在

中存在50/812024/5/151若函数组，是两两正交，则法方程为从而可得求解相当方便！51/81利用Schmidt正交化过程，变为正交基就能够将多项式基函数52/81

例：给定函数值表，求f(x)最小二乘拟合函数s*(x)

xi0.240.650.951.241.73yi0.23-0.26-1.10-0.450.27解：在坐标平面上描出上表中数据点，依据点分布情况，选取xi2.012.232.522.772.99yi0.10-0.290.240.561.0053/81可得法方程解得所以设54/81注：最小二乘问题中，怎样选择数学模型很主要，即怎样选取函数空间，通常需要依据物理意义，或所给数据分布情况来选取适当数学模型。55/81

选择直线来拟合数据称为直线拟合。假设直线为则拟合误差使拟合误差最小应满足线性拟合56/81这个方程组称为直线拟合法方程组，解此方程组就能够确定，从而得到拟合直线57/81例及均方误差58/8159/81例设数据以下：试用直线拟合这组数据，计算过程保留4位小数

解：法方程组为：所求直线为：kxkykxk2xkyk1110110236918344161645225105613661923876060/81多项式拟合

对给定数据组，用一个m次多项式拟合这组数据，则此多项式可假设为依据最小二乘原理令61/81法方程组为：共能够得到m+1个方程，每一个方程左边有m+1项。请大家找一找，这m+1个方程左右两边各有什么规律？怎样来帮助记忆。62/81所以，求

a0,a1,…,an,就是求解法方程：

ATAa=ATy。

63/81例用给定数据，求经验公式f(x)=a+bx3。

x=-3-2-124

y=14.38.34.78.322.7解约定直接计算得法方程64/81于是法方程为：所求经验公式为：f(x)=10.675+0.137x3。65/81解法方程为ATAx=ATy.直接计算得例66/81此时

称为数据拟合多项式，上述拟合称为多项式拟合。对称矩阵67/81比如，二次多项式拟合为：法方程组为：三次拟合多项式为：法方程组为：

68/81例：用来拟合

解：

0(x)=1，1(x)=x，2(x)=x269/8170/812024/5/171x-3-2-124y14.38.34.78.322.7例已知数表，求其最小二乘拟合函数(1)求形如拟合函数；(2)求形如拟合函数；解(1)法方程为71/812024/5/172(2)x-3-2-124y14.38.34.78.322.7lny2.66032.11631.54