湖南省衡阳市青海大学附属中学高三数学理下学期摸底试题含解析

湖南省衡阳市青海大学附属中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的矩形ABCD，沿对角形BD将折起得到三棱锥C—ABD，且三棱锥的体积为则异面直线BC与AD所成角的余弦值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A2.函数与(且)在同一直角坐标系下的图象可能是参考答案：D3.设函数，则不等式的解集是（

）A．

B．C．

D．参考答案：4.如图，已知等腰梯形ABCD中，是DC的中点，P是线段BC上的动点，则的最小值是（

）A. B.0 C. D.1参考答案：A【分析】计算，设，把代入得出关于的函数，根据的范围得出最小值．【详解】由等腰梯形的知识可知，设，则，，，当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．5.在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，，BC边上的高为h，则h的最大值为（

）A. B.1 C. D.2参考答案：C【分析】先化简已知得，再求出，再利用三角函数求h最大值得解.【详解】因为，所以所以.所以所以,所以当B=时，h取最大值.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.设为虚数单位，则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.已知，，且成等比数列，则有(

)

A、最小值

B、最小值

C、最大值

D、最大值参考答案：A略8.以下说法错误的是（）A．命题“若“x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=2”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若命题p：存在x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0，则￢p：对任意x∈R，都有x2﹣x+1≥0D．若p且q为假命题，则p，q均为假命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；转化思想；简易逻辑．【分析】A．利用逆否命题的定义即可判断出正误；B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，即可判断出关系；C．利用￢p的定义即可判断出；D．由p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，即可判断出正误．【解答】解：A．“若“x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=2”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要，正确；C．命题p：存在x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0，则￢p：对任意x∈R，都有x2﹣x+1≥0，正确；D．由p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，因此不正确．故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9.设函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A考点：函数的周期性、奇偶性.10.（5分）集合P={1，2}，Q={x||x|＜2}，则集合P∩Q为（）A．{1，2}B．{1}C．{2}D．{0，1}参考答案：B因为Q={x||x|＜2}，所以Q={x|﹣2＜x＜2}，又集合P={1，2，3，4}，则P∩Q={1}；故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为__________．参考答案：16π【分析】设，由三棱锥的体积为可得．然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值．【详解】如图，在中，设，则．分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心．连，则为外接球的半径，设半径为．∵三棱锥的体积为，即，∴．在中，可得，∴，当且仅当时等号成立，∴球表面积的最小值为．故答案为：．【点睛】解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大．12.给定双曲线，若直线过的中心，且与交于两点，为曲线上任意一点，若直线的斜率均存在且分别记为，则

.参考答案：试题分析：设直线的方程为，，，则由得，,所以有，

，故应填.考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.斜率公式.13.一枚骰子连续投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为

．参考答案：

14.设x，y满足约束条件，则的取值范围为

.参考答案：(－1,6)结合不等式组,绘制可行域,得到转化目标函数,得到,，从虚线平移,运动到A点,z取到最小值，为-1，运动到C点，z取最大值，为-6，故z的范围为

15.定义在R上的奇函数，当时,则函数的所有零点之和为_____．参考答案：【分析】函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y＝f（x），y＝a的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【详解】∵当x≥0时，f（x）＝即x∈[0，1）时，f（x）＝（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y＝a，与y＝f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a＝0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）＝（﹣x+1），又f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣（﹣x+1）＝（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a，解得x＝1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故答案为：1﹣2a．【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．

16.已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是．参考答案：17.设,则的最小值为

。参考答案：9本题考查基本不等式的应用，难度中等。因为当且仅当即时取等号。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（其中）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求的取值范围.参考答案：（1）见证明；（2）【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得，由正弦定理，二倍角公式可得，可证A=2B；（2）由两角和的正弦函数公式可得（B），由由(1)及可得，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【详解】（1）由已知，两边同时除以，得化简，得由正弦定理和余弦定理，得解得，所以A=2B或所以A=2B或B=C又因为，所以A=2B．（2）由．得由，解得,所以，所以．【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.(本题10分)(文)已知函数的最小正周期为4π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间．参考答案：(文)(1)f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx－＝sin2ωx＋cos2ωx＋－＝sin∵T＝＝4π，∴ω＝.(2)∵f(x)＝sin∵－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z∴－π＋4kπ≤x≤π＋4kπ，k∈Z∴f(x)的单调递增区间为[－＋4kπ，＋4kπ](k∈Z)．20.(本小题满分12分)选修4—4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,,曲线的参数方程为.点是曲线上两点，点的极坐标分别为.（1）写出曲线的普通方程和极坐标方程;（2）求的值.参考答案：(1)参数方程普通方程………3分普通方程

……6分方法1：可知,为直径，方法2直角坐标两点间距离……10分21.辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校文科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表；中位数精确到0.01）（2）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：分组区间[100,110）[110,120）[120,130）[130,140）x：y1:31:13:410:1

从数学成绩在[130,150]的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率．参考答案：（1）中位数是；平均数是123；（2）.【分析】（1）利用中位数左边矩形面积之和为0.5可求出中位数，将每个矩形底边中点值乘以相应矩形的面积，再相加可得出这100名学生语文成绩的平均数；（2）计算出数学成绩在、的学生人数，列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】（1），，这100名学生语文成绩的中位数是.这100名学生语文成绩的平均数是：；（2）数学成绩在之内的人数为，数学成绩在的人数为人，设为、、，而数学成绩在的人数为人，设为、，从数学成绩在的学生中随机选取2人基本事件为：、、、、、、、、、，共个，选出的2人中恰好有1人数学成绩在的基本事件为：、、、、、，共个，选出的2人中恰好有1人数学成绩在的概率是．【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算平均数与中位数，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于中等题.

22.（本小题满分12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一