湖南省长沙市洞井中学 高三数学文上学期期末试卷含解析

湖南省长沙市洞井中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是周期为2的奇函数，当时，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A【知识点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．B1B3B4∵是周期为2的奇函数，当时，，∴，故选A．【思路点拨】由题意得，代入已知条件进行运算即可．2.角的终边经过点A，且点A在抛物线的准线上，则（

）A． B．

C．

D．参考答案：B略3.已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.若集合，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B【知识点】充分、必要条件A2解析：若，则，所以充分性不满足，必要性满足,则选B.【思路点拨】判断充分必要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.5.集合，，则A∩B=（）A.{0,5,6} B.{5,6} C.{4,6} D.参考答案：B试题分析：由及，则，故选项为B.考点：（1）绝对值不等式的解法；（2）集合的运算.6.已知函数,若，则

A.

B.

C.

D.无法判断与的大小参考答案：C7.若条件：，条件：，则是的（

）A、充分不必要条件

B、必要不充分条件C、充要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：B略8.是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据（单位：毫克／每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是

A．甲

B．乙

C．甲乙相等

D．无法确定参考答案：A9.若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A∪B的真子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16参考答案：A【考点】子集与真子集．【分析】由根据集合的定义得到：集合A∪B={1，2，3}，由此能求出集合A∪B的真子集个数．【解答】解：∵A={1，2}，B={1，3}，∴集合A∪B={1，2，3}，∴集合A∪B的真子集个数为23﹣1=7．故选：A．【点评】本题考查并集的运算和求集合的真子集的个数．若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．10.复数(为虚数单位）在复平面内对应的点位于

（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象过点（1,1）,那的反函数的图象一定经过点_____参考答案：（1，3）12.在矩形中，为边的中点，若在该矩形内随机取一点，则取到的点与点的距离大于概率为

．参考答案：试题分析：由题设所求质点应在矩形内且在以为圆心半径为的半圆外.由于矩形的面积为,以为圆心半径为的半圆的面积为,所以满足条件的概率为.考点：几何概型的计算公式及运用．13.设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：①设是平面上的线性变换，则

②对设，则是平面上的线性变换；

③若是平面上的单位向量，对设，则是平面上的线性变换；④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。其中真命题是

（写出所有真命题的序号）参考答案：①②④解析：令，由题有，故①正确；由题，，即，故②正确；由题，，即，故③不正确；由题，，即也共线，故④正确；14.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线，且这条直线与双曲线的一个交点为，已知，则双曲线的渐近线方程为____

__

.参考答案：15.数列{an}满足，，则______.参考答案：【分析】由已知得设，则是公比为的等比数列，求出其通项，再用累加法求出，即可得结果.【详解】设，若则与矛盾，是公比为的等比数列，，.故答案为:【点睛】本题考查等比数列的通项，以及累加法求通项，合理引进辅助数列是解题的关键，属于中档题.16.如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为________参考答案：517.已知角的终边经过点,且,则

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求a的取值范围.参考答案：解：（1）当a=1时，.当时，；当时，.所以，不等式的解集为.（2）因为，所以.当，时，.所以，a的取值范围是.

19.（本题满分12分）已知函数，，,令.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值.参考答案：解：（1）定义域为(0,+∞)，①当时恒成立，在上是增函数.②当时令令增区间：，减区间：(,+∞)

……6分（2）法一：令.所以.当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为.所以关于的不等式不能恒成立.当时，.令得，所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，，又因为在上是减函数，所以当时，.所以整数的最小值为2.

……12分法二：由恒成立知恒成立，令，则，令，因为，，则为增函数.故存在，使，即，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以，而，所以，所以整数的最小值为2.

……12分

20.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

在长方体中，，分别是所在棱的中点，点是棱上的动点，联结．如图所示．(1)求异面直线所成角的大小(用反三角函数值表示)；(2)(理科)求以为顶点的三棱锥的体积．(文科)求以为顶点的三棱锥的体积．参考答案：(1)联结，在长方体中，有.

又是直角三角形的一个锐角，∴就是异面直线所成的角.

由，可算得.

∴，即异面直线所成角的大小为.

(理)(2)由题意可知，点到底面的距离与棱的长相等．

∴．

∵，∴．

(文)(2)由题意可知，点到底面的距离与棱的长相等．

∴．

∵，∴．

21.设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到x=，求出f（）=ln﹣，代入直线y=3x﹣1求得a值；（2）求出原函数的导函数，然后对a分类得到函数在[1，e2]上的单调性，并进一步求出函数在[1，e2]上的最大值，由最大值等于1﹣ae求得a值；（3）把ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）转化为ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），构造函数g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，得到，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣ax，得f′（x）==3，∴x=，则f（）=ln﹣，∴ln﹣=，得ln=0，即a=﹣2；（2）f′（x）=，当a≤时，f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上为增函数，故f（x）的最大值为f（e2）=2﹣ae2=1﹣ae，得（舍）；当＜a＜1时，若x∈[1，]，f′（x）＞0，x∈[]，f′（x）＜0，故f（x）在[1，e2]上先增后减，故由﹣lna﹣1=1﹣ae，a无解；当时，f（x）max=﹣a=1﹣ae，得a=；当a≥1时，故当x∈[1，e2]时，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的减函数，故f（x）max=f（1）=﹣a=1﹣ae，得a=（舍）；综上，a=；（3）ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）?ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），令g（x）=ln