广东省广州市第四中学高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省广州市第四中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合的元素个数是(

)A.

B.

C.

D.无数个参考答案：B

解析：2.设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略3.函数f（x）=ex+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）A． B． C． D．2参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据函数f（x）和g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0，则利用导数求出函数f（x）到直线的距离的最小值即可．【解答】解：∵f（x）=ex+x2+x+1，∴f′（x）=ex+2x+1，∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0对称，∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．直线2x﹣y﹣3=0的斜率k=2，由f′（x）=ex+2x+1=2，即ex+2x﹣1=0，解得x=0，此时对于的切点坐标为（0，2），∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=2x﹣3，两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x﹣y﹣3=0的最小距离，此时d=，由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2．故选：D．4.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.设若函数有大于零的极值点，则的范围

▲

参考答案：略6.下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是

（

）

参考答案：答案：C7.sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：C【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】首先利用诱导公式，化为同角的三角函数，然后逆用两角和与差的正弦函数公式求值．【解答】解：原式=sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=；故选C．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及两角和与差的三角函数公式的运用；熟悉公式的特点，熟练运用．8.已知集合则为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：∵∴=,选C.9.设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，拓a=2，b=，B=，则△ABC的面积为（） A． B． C． 1 D． 参考答案：B略10.在复平面内，复数对应的点的坐标为(－3,1)，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B设，∴，∴在复平面内对应的点位于第二象限．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，，的面积为，则__________。参考答案：12.已知在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则

．参考答案：4．试题分析：由题意可建立如图所示的坐标系，可得，，或，所以可得或，，，所以，所以或．故应填4．考点：平面向量的数量积的运算．13.已知变量x,y满足的最大值是

。

参考答案：

914.已知全集，集合，则=

▲

.参考答案：{1}15.已知向量，，若，则的最小值为

参考答案：9【知识点】基本不等式E6由得=0，，（）.（）=5++5=9【思路点拨】由得=0，，后利用重要不等式求出。16.已知集合,从集合中任选三个不同的元素组成集合，则能够满足的集合的概率为=

；参考答案：答案：

17.过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数g（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间上有最大值1和最小值﹣2．设f（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈上有解，求实数k的取值范围．参考答案：考点： 二次函数的性质；其他不等式的解法．专题： 函数的性质及应用．分析： （Ⅰ）根据函数的单调性得到方程组从而求出a，b的值；（Ⅱ）将问题转化为k≤1+﹣4?（），令t=，则1+﹣4?=t2﹣4t+1，令h（t）=t2﹣4t+1，t∈，从而得到答案．解答： 解：（Ⅰ）由题知g（x）=a（x﹣2）2﹣4a+b，∵a＞0，∴g（x）在上是减函数，∴，解得；（Ⅱ）由于f（2x）﹣k?2x≥0，则有2x+﹣4﹣k?2x≥0，整理得k≤1+﹣4?（），令t=，则1+﹣4?=t2﹣4t+1，∵x∈，∴t∈，令h（t）=t2﹣4t+1，t∈，则h（t）∈．∵k≤h（t）有解∴k≤1故符合条件的实数k的取值范围为（﹣∞，1]．点评： 本题考查了二次函数的性质，考查了转化思想，考查了求函数的最值问题，是一道中档题．19.已知函数f（x）=x3+|ax﹣3|﹣2，a＞0．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）当a∈（0，5）时，对于任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）+f（x2）=0，求实数a的值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）讨论当x≥时，去掉绝对值，求出导数；当x＜时，去掉绝对值，求出导数，讨论当0＜a≤1时，当1＜a≤3时，当a＞3时，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间；（2）由题意可得f（0）+f（1）=0，求得a的值，去掉绝对值，画出f（x）在[0，1]的图象，即可得到结论．【解答】解：（1）当x≥时，f（x）=x3+ax﹣5，由a＞0，f′（x）=3x2+a＞0，可得f（x）在[，+∞）递增；当x＜时，f（x）=x3﹣ax+1，由a＞0，f′（x）=3x2﹣a，由f′（x）＞0，可得x＞或x＜﹣；由f′（x）＜0，可得﹣＜x＜．当0＜a≤1时，≤，f（x）在（，），（﹣∞，﹣）递增；在（﹣，）递减；当a＞1时，＞，f（x）在（﹣∞，﹣）递增；在（﹣，）递减；综上可得，当0＜a≤1时，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），减区间为（﹣，）；当1＜a≤3时，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣），[，+∞），减区间为（﹣，）；当a＞3时，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣），[，+∞），减区间为（﹣，）；（2）当a∈（0，5）时，对于任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）+f（x2）=0，由f（0）=1，结合图象可得f（1）=1+|a﹣3|﹣2=﹣1，解得a=3．当a=3时，f（x）=x3+|3x﹣3|﹣2，当x∈[0，1]时，f（x）=x3﹣3x+1，f′（x）=3x2﹣3≤0，f（x）递减，则f（x）∈[﹣1，0]，且与x轴有一个交点，故a=3成立．20.(本小题满分14分)

如图，已知椭圆C：的左、右顶点为A、B，离心率为，直线x-y+l=0经过椭圆C的上顶点，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)求线段MN长度的最小值；

(Ⅲ)当线段MN长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点P，使得△PAS的面积为l?若存在，确定点P的个数；若不存在，请说明理由．参考答案：略21.（14分）（2012?包头三模）设函数f（x）=xex，g（x）=ax2+x（I）若f（x）与g（x）具有完全相同的单调区间，求a的值；（Ⅱ）若当x≥0时恒有f（x）≥g（x），求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（I）求f（x）的导数，可得单调区间，由极值点可得a值，可验证符合题意；（Ⅱ）可转化为f（x）﹣g（x）=x（ex﹣ax﹣1）≥0恒成立，令F（x）=ex﹣ax﹣1，可得导数F′（x）=ex﹣a，对a进行分类讨论可得结论．解答：（I）∵f（x）=xex，∴f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，…（2分）当x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）内单调递减；当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）内单调递增…（4分）又g′（x）=2ax+1，由g′（﹣1）=﹣2a+1=0，得a=，此时g（x）=x2+x=，显然g（x）在（﹣∞，﹣1）内单调递减，在（﹣1，+∞）内单调递增，故a=．…（6分）（II）当x≥0时恒有f（x）≥g（x），即f（x）﹣g（x）=x（ex﹣ax﹣1）≥0恒成立．…（7分）故只需F（x）=ex﹣ax﹣1≥0恒成立，对F（x）求导数可得F′（x）=ex﹣a．…（8分）∵x≥0，∴F′（x）=ex﹣a，若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，从而当x≥0时，F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x）；…（10分）若a＞1，则当x∈（0，lna）时，F′（x）＜0，F（x）为减函数，从而当x∈（0，lna）时，F（x）＜F（0）=0，即f（x）＜g（x），故f（x）≥g（x）不恒成立．故a的取值范围为：a≤1﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查函数和导数的综合应用，涉及恒成立问题和分类讨论的思想，属中档题．22.已知集合，集合，集合.（1）求；（2）若，试