高考数学复习专题四数列推理与证明第3讲数列的综合问题文市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

第3讲数列综合问题专题四数列、推理与证实1/49热点分类突破真题押题精练2/49Ⅰ热点分类突破3/49热点一利用Sn，an关系式求an1.数列{an}中，an与Sn关系2.求数列通项惯用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列通项an.(3)在已知数列{an}中，满足

＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).4/49例1

(·运城模拟)正项数列{an}前n项和为Sn，满足a＋3an＝6Sn＋4.(1)求{an}通项公式；解答5/49即(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0，∵an>0，∴an＋1＋an>0，∴an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3.6/49∴{an}是以4为首项，以3为公差等差数列，∴an＝4＋3(n－1)＝3n＋1.7/49解答思维升华(2)设bn＝2nan，求数列{bn}前n项和Tn.8/49解bn＝2nan＝(3n＋1)·2n，故Tn＝4·21＋7·22＋10·23＋…＋(3n＋1)·2n，2Tn＝4·22＋7·23＋10·24＋…＋(3n＋1)·2n＋1，∴－Tn＝4·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n－(3n＋1)·2n＋1＝21＋3(2＋22＋23＋…＋2n)－(3n＋1)·2n＋1＝－(3n－2)·2n＋1－4，∴Tn＝(3n－2)·2n＋1＋4.9/49思维升华给出Sn与an递推关系，求an，惯用思绪：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn递推关系，先求出Sn与n之间关系，再求an.10/49解答解当n＝1时，a1＝S1＝2，由Sn＝2n＋1－2，得Sn－1＝2n－2(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n(n≥2)，又a1也符合，∴an＝2n(n∈N*).11/49(2)求数列{bn}前n项和Tn.解答12/49热点二数列与函数、不等式综合问题数列与函数综合问题普通是利用函数作为背景，给出数列所满足条件，通常利用点在曲线上给出Sn表示式，还有以曲线上切点为背景问题，处理这类问题关键在于利用数列与函数对应关系，将条件进行准确转化.数列与不等式综合问题普通以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题.13/49例2

设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；解答14/49解方法一由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1，所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，

①则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，

②由①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1.15/49＝(n－1)2n＋1.16/49证实思维升华17/49证实因为fn(0)＝－1＜0，又f′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，18/4919/49思维升华处理数列与函数、不等式综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要尤其重视.(2)解题时准确结构函数，利用函数性质时注意限制条件.(3)不等关系证实中进行适当放缩.20/49证实跟踪演练2

(届浙江省宁波市期末)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)，令bn＝an＋1.(1)求证：{bn}是等比数列；证实a1＝2，a2＝2(2＋2)＝8，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)an＝2(Sn－1＋n)(n≥2)，两式相减，得an＋1＝3an＋2(n≥2).经检验，当n＝1时上式也成立，即an＋1＝3an＋2(n≥1).所以an＋1＋1＝3(an＋1)，即bn＋1＝3bn，且b1＝3.故{bn}是等比数列.21/49(2)记数列{nbn}前n项和为Tn，求Tn；解答解由(1)得bn＝3n.Tn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，3Tn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，两式相减，得－2Tn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋122/49证实23/4924/4925/49热点三数列实际应用用数列知识解相关实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，搞清所结构数列是等差模型还是等比模型，它首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题结果.26/49例3

自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设置了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户能够享受“绿色通道”申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元蔬菜加工厂M，M价值在使用过程中逐年降低，从第二年到第六年，每年年初M价值比上年年初降低10万元，从第七年开始，每年年初M价值为上年年初75%.(1)求第n年年初M价值an表示式；解答27/49解当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10等差数列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n，当n≥7时，数列{an}从a6开始项组成一个以a6＝130－60＝70为首项，以

为公比等比数列，28/49(2)设An＝

，若An大于80万元，则M继续使用，不然须在第n年年初对M更新，证实：必须在第九年年初对M更新.证实思维升华29/49证实设Sn表示数列{an}前n项和，由等差数列和等比数列求和公式，得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，当n≥7时，因为S6＝570，30/49因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列.所以必须在第九年年初对M更新.31/49思维升华常见数列应用题模型求解方法(1)产值模型：原来产值基础数为N，平均增加率为p，对于时间n总产值y＝N(1＋p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息一个储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋nr).(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b＝ .32/49跟踪演练3

一弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度

再落下，设它第n次着地时，共经过了Sn，则当n≥2时，有A.Sn最小值为100 B.Sn最大值为400C.Sn<500 D.Sn≤500√答案解析33/49解析第一次着地时，经过了100m；34/4935/49Ⅱ真题押题精练36/49真题体验1.(·浙江)设数列{an}前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝___，S5＝_____.1答案解析1212137/4912当n≥2时，由已知可得an＋1＝2Sn＋1，

①an＝2Sn－1＋1，

②由①－②，得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，∴{an}是以a1＝1为首项，以q＝3为公比等比数列.38/492.(·山东)已知{xn}是各项均为正数等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(1)求数列{xn}通项公式；解设数列{xn}公比为q.12所以3q2－5q－2＝0，由已知得q＞0，所以q＝2，x1＝1.所以数列{xn}通项公式为xn＝2n－1.解答39/49(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成区域面积Tn.12解答40/49解过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn面积为bn，12所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，

①则2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1，

②由①－②，得41/49－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－11242/49押题预测解答押题依据本题综合考查数列知识，考查反证法数学方法及逻辑推理能力.已知数列{an}前n项和Sn满足关系式Sn＝kan＋1，k为不等于0常数.(1)试判断数列{an}是否为等比数列；押题依据43/49解若数