考向37 直线与方程-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向37直线与方程1．（2021·山东高考真题）如下图，直线的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率，所以直线与轴的交点为，所以直线的点斜式方程可得：，即．故选：D2．（2021·全国高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．【答案】【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.【详解】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．一、直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.二、直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).三、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用四、两条直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.(2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.2．两条直线垂直(1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.五、两条直线的交点坐标已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．【知识拓展】三种距离公式1．两点间的距离公式(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(2)结论：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).2．点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).1．（2021·江苏高二专题练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（）A． B．C． D．2．（2021·全国高三）已知直线：（），：，若，则与间的距离为（）A． B． C．2 D．3．（2021·全国高二课时练习）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．4．（2022·全国）设，是正数，若两直线和恒过同一定点，则的最小值为__________．1．（2021·全国高二专题练习）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（）A． B． C． D．2．（2021·江苏高二专题练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（）A． B．C． D．3．（2021·全国）已知直线，.则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2021·全国高二专题练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（）A． B． C． D．5．（2021·全国（文））“直线与直线平行”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2021·全国高二专题练习）已知直线与直线垂直，则a＝（）A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣17．（2021·全国高三专题练习（理））已知，，直线，，且，则的最小值为（）A．2 B．4 C． D．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知点P与点的距离不大于1，则点P到直线的距离最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．（2021·江苏高二专题练习）已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．10．（2021·全国高二单元测试）若直线和互相垂直，则实数_____________.11．（2021·全国高二专题练习）已知直线：，：，，若，则___________.12．（2021·江苏高二专题练习）点到直线距离的最大值为___________.1．（2020·山东高考真题）直线关于点对称的直线方程是（）A． B．C． D．2．（2020·山东高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．（2020·全国高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（）A．1 B． C． D．24．（2008·全国高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为A．3 B．2 C． D．5．（2007·浙江高考真题（理））直线关于直线对称的直线方程是（）A． B．C． D．6．（2008·福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2008·四川高考真题（理））直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为(A． B．C． D．8．（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为A． B．C． D．9．（2016·北京高考真题（文））已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x−y的最大值为A．−1 B．3 C．7 D．810．（2014·四川高考真题（文））设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是A． B． C． D．11．（2021·湖南高考真题）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________12．（2008·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．13．（2016·上海高考真题（文））已知平行直线，则的距离是_______________.1．【答案】B【分析】把方程中换成，整理即得．【详解】直线关于轴对称的直线的方程为，即．故选：B．2．【答案】B【分析】由直线平行的结论列方程求，再由平行直线的距离公式求两直线的距离.【详解】由得，解得，所以直线：，即，所以与间的距离为，故选B．3．【答案】和.【分析】根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为，得到，得出对角线所在直线的斜率为，结合两角和的正切公式，求得，再结合两直线的位置关系，即可求解.【详解】设正方形一边所在直线的倾斜角为，其斜率，则其中一条对角线所在直线的倾斜角为，其斜率为，根据题意值，可得，解得，即正方形其中一边所在直线的斜率为，又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为.故答案为：和.4．【答案】【分析】根据直线方程求出所过定点坐标，将定点坐标代入的方程可得，将展开利用基本不等式即可求解.【详解】直线的方程可化为，显然该直线恒过两直线和的交点，由可得，所以直线恒过点，所以点也在直线上，故，即．因为，是正数，所以，当且仅当，即，时等号成立，故答案为：.1．【答案】D【分析】先由两直线垂直利用直线的一般式解出的值，再代入交点坐标联立方程组求出未知数即可.【详解】由两直线垂直得，解得，所以原直线一可写为，又因为垂足为同时满足两直线方程，所以代入得，解得，所以，故选:D2．【答案】D【分析】根据线段AB的中点坐标和直线AB的斜率求出线段AB的垂直平分线，结合欧拉线的定义即可得出结果.【详解】线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．∵AC=BC，∴的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：D．3．【答案】B【分析】由，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，直线，直线，因为，可得，解得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．【答案】A【分析】根据直线的垂直关系可求得直线的斜率为，所以，即可求得.【详解】由垂直知两直线的斜率之积为，而直线的斜率为，得直线的斜率为，即，得为钝角，所以.故选：A5．【答案】C【分析】根据两直线平行得到或，再利用充分必要条件的定义判断即可.【详解】当直线与直线平行,，解得或，当，直线和直线重合，舍去，所以.根据充分条件、必要条件的定义可得，“直线与直线平行”是“”的充分必要条件故选：C6．【答案】D【分析】根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.【详解】直线与直线垂直，所以，解得或.故选：D.7．【答案】D【分析】根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为，所以，即，因为，，所以，，所以，当且仅当，时，等号成立．故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8．【答案】B【分析】依题意知点P的轨迹为以为圆心半径为1的圆面，则点P到直线的距离最小值为圆心到直线的距离减去半径．【详解】设点，则，圆心到的距离为则点P到直线的距离最小值为故选：B9．【答案】【分析】将代入直线得，由即可得结果.【详解】由已知得，代入直线得，即，由，解得，直线必过定点，故答案为:.10．【答案】6【分析】根据两直线垂直的条件求解．【详解】因为直线和互相垂直，所以，所以．故答案为：6．11．【答案】或【分析】根据直线一般式时的平行关系求解并检验即可得答案.【详解】∵，∴，解得：或，检验，当时，：，：满足题意；当时，：，：满足题意故答案为：或【点睛】两直线位置关系的判断：和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：；平行：，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验.12．【答案】【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为.【详解】解：直线恒过点，则点到直线的距离的最大值为点到点的距离，∴点到直线距离的最大值为：.故答案为：.1．【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，因为点在直线上，所以即.故选：D.2．【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.【详解】结合图像易知，，，则角是第四象限角，故选：D.3．【答案】B【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.【详解】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.4．【答案】A【详解】，，设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A．5．【答案】D【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．【详解】设所求直线上任一点（），则它关于对称点为在直线上，∴化简得故选答案D．故选D．【点睛】本题考查了相关点法：求轨迹方程法属于基础题．6．【答案】C【详解】直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选C7．【答案】A【详解】∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（Ｃ），（D）又∵将向右平移１个单位得，即故选A；【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；8．【答案】C【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.【详解】为单位圆上一点，而直线过点，所以的最大值为，选C.【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值