第5章 函数的概念、性质及应用（知识清单）-2021-2022学年高一数学上学期期中期末考试满分全攻略（沪教版2020）

第5章函数的概念、性质及应用知识清单知识点一函数的有关概念知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三函数的表示方法函数三种表示法的优缺点知识点四分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．知识点五函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点六函数奇偶性的定义1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．知识点七奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称．知识点八增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是；(2)不能．知识点九函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．知识点十函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标思考函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？答案f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.知识点十一求函数最值的常用方法1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．知识点十二、函数的应用解应用题的策略：特别提醒：解答应用题重点要过三关：(1)事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读能力．如教材中讲的储蓄问题，要清楚什么是复利，各期的本利和如何变化，即变化规律是什么，只有搞清这些问题，才能准确表达本利和y与利率r及存期x的关系．(2)文理关：需把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，以把实际问题抽象为一个函数问题．(3)数理关：构建了数学模型后，要正确解答出数学问题，需要扎实的基础知识和较强的数理能力．二、解决应用题的一般程序：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．三、几种不同增长的函数模型（1）一次函数模型：y=kx+b(k≠0)（2）二次函数模型：y=ax2+bx+c(a≠0)(3)指数函数模型：y＝abx＋c(b>0，b≠1，a≠0)(4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)(5)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)四、函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．思考(1)函数的“零点”是一个点吗？(2)函数y＝x2有零点吗？答案(1)不是；(2)有零点，零点为0.五函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．思考函数f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，这个函数还有其他零点吗？答案f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，即a·12＋1－2＝0，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋x－2，令x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，∴这个函数还有一个零点为－2.六函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．七二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．思考已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，采用什么方法能进一步有效缩小零点所在的区间？答案可采用“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间．八用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．知识