2024年中考数学【热点重点难点】专练热点06解直角三角形及应用(江苏专用)(原卷版+解析)

2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（江苏专用）热点06.解直角三角形及应用【考纲解读】1．了解：锐角三角函数；仰角、俯角、坡度、坡角、方向角的概念。2．理解：特殊角的三角函数值。3．会：知道什么是正弦、余弦、正切。4．掌握：解直角三角形的应用步骤。5．能：熟记特殊角的三角函数值，并能准确运算．审题、画图、解直角三角形。【命题形式】1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题的形式考查，属于中低档题，较为简单，个别省市也以解答题形式考查，属于中档题，难度一般。2．从考查内容来看，涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；特殊角的三角函数值；方位角、俯角仰角、坡角（坡度）；解直角三角形的应用。3．从考查热点来看，涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；求网格中的三角函数值；解直角三角形的实际生活应用。【限时检测】A卷（真题过关卷）备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.一、单选题1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）下列选项错误的是（

）A．cos60°=12 B．a2⋅a2．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图，在一块直角三角板ABC中，∠A=30°，则sinA的值是（

A．12 B．22 C．323．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，则△DBCA．3314 B．9314 C．4．（2010·江苏南通·中考真题）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，则tanA．12 B．2 C．52 5．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（）A．25 B．12 C．356．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（

A．21313 B．31313 C．7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，等边ΔABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，①CP与QD可能相等；②ΔAQD与ΔBCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为31316；④四边形PCDQ周长的最小值为3+37A．①④ B．②④ C．①③ D．②③8．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α；（2）量得测角仪的高度CD=a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（

）A．a+btanα B．a+bsinα C．二、填空题9．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高10．（2023·江苏常州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC．若AD=1，CD=3，则sin∠ABD=11．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在ΔABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2=ac12．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA=13．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝13，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD14．（2023·江苏常州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠CBA=30°,AC=1，D是AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是________．15．（2023·江苏常州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=3,BC=4，点D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA=16．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB=32．Rt△BEF中，∠BEF=90°,EF过点D，BE,BF分别交AD,CD于点G，M，连接OE,OM,EM．若BG=DF,tan∠ABG=三、解答题17．（2023·江苏淮安·统考中考真题）（1）计算：−5+（2）化简：aa18．（2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连.为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC=37°，∠ABC=58°，AC=80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，19．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为18020．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；(2)当AE=32时，求CF(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．21．（2023·江苏盐城·统考中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．(1)求A、C两点之间的距离；(2)求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.7522．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．23．（2023·江苏苏州·统考中考真题）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE//AC，交BC于点E．①若DE=1，BD=32，求②试探究ABAD（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE//AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3．若S24．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及AC、BD组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是AC、BD的中点，如图2，他又画出了AC所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC=66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成参考数据：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈25．（2023·江苏淮安·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A'B'ED，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．(1)【观察发现】A'D与B'E的位置关系是______；(2)【思考表达】连接B'C，判断∠DEC与(3)如图（2），延长DC交A'B'于点G，连接EG(4)【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B'C，延长DC交A'B'于点G，连接EG【限时检测】B卷（模拟提升卷）备注：本套试卷所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，是中考命题的中考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上一层楼！ 一、单选题(共0分)1．（2023·江苏无锡·统考一模）已知cosα=32，且α是锐角，则αA．30° B．45° C．60° D．90°2．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在3×3的网格中，A、B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与网格线的交点，则sin∠BAC的值是（

A．12 B．23 C．533．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF＝（

）A．22 B．2315 C．14．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，则tan∠MFG的值是（

A．13 B．12 C．555．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，△ABC∽△DBE，延长AD，交CE于点P，若∠DEB＝45°，AC＝22，DE=2，BE＝1.5，则tan∠DPCA．2 B．2 C．3+22 6．（2023·江苏淮安·统考二模）如图，在△ABC中，点D在AB上，CD⊥AC，垂足为C，若BD=1,AC=2,AD=3，则tan∠BCD的值是（

A．12 B．15 C．557．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=25，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则tan∠ECF的值为（A．52 B．255 C．28．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC按如图所示摆放在第一象限，点B的坐标为3m,m，将矩形OABC绕着点O逆时针旋转α（0<α<90°），得到矩形OA'B'C．直线OA'、B①当m=1,α=30°时，矩形OA'B'C②当m=1，且B'落到y轴的正半轴上时，DE的长为10③当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为43④当点D是线段BE的三等分点时，sinα的值为25或其中，说法正确的是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④二、填空题(共0分)9．（2023·江苏扬州·校联考二模）计算π−2270=______________，10．（2023·江苏泰州·统考一模）某坡面的坡度为1∶3，则坡角是_________度．11．（2023·江苏南通·统考二模）如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB=60°，∠ADB=30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD=30米，则河宽AB为______米．（结果保留根号）12．（2023·江苏连云港·统考二模）如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i=1:0.6，现对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i=3:4，则大坝底端增加的长度CF是______米．13．（2023·江苏连云港·统考二模）如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点F，分别以点D、F为圆心，大于12DF长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP交DC于点E，连接EF，若AE=55，且tan14．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，5×6的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则tan∠AEC15．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在作业本一条横线l1上，另两点分别落在另两条横线l2，l3上，若l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，斜边与l3所夹的锐角为a，则tana的值为____________．16．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF:FG=3:1，AB:BC=2:1，，则tan∠AHE三、解答题(共0分)17．（2023·江苏盐城·统考一模）计算：−2022+18．（2023·江苏镇江·统考一模）本学期小明经过一段时间的学习，想利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．如图，先测得居民楼AB与CD之间的距离BD为31m，后站在F点处测得居民楼CD的顶端C的仰角为45°．居民楼AB的顶端A的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.7m，小莹的观测点E距地面1.7m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82,19．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜PQ做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成30°角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了7.5°角，即∠PAP'＝7.5°，使光影落在C点正上方的D点，测得CD=10cm．求平面镜放置点与墙面的距离AB．（参考数据：20．（2023·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我市里运河风光带的国师塔，高大挺拔，古朴雄浑，别具一格．小明想知道国师塔的高度，在附近一高层小区顶楼A处，测得国师塔塔顶D处的俯角∠EAD=9.7°，塔底C处俯角∠EAC=26.6°，小明所在位置高度AB=95m．(1)求两栋建筑物之间的水平距离BC；(2)求国师塔高度CD．（结果精确到1m）（参考数据：sin9.7°≈0.1721．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，小明在大楼45m高（即PH=45m，且PH⊥HC）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1:3（点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，(1)∠PBA的度数等于________度（直接填空）(2)求A，B两点间的距离（结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，22．（2023·江苏连云港·校考三模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子⋅备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，且AB=6米，OA:OB=2:1．当点A位于最高点时，∠AOM=127°．(1)求点A位于最高点时到地面的距离；(2)当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．（考数据：sin37°≈0.623．（2023·江苏常州·校考二模）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：(1)坡顶A到地面PO的距离；(2)网络信号塔BC的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，24．（2023·江苏淮安·统考一模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，腰AB=AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝底边腰＝BC(1)can30°＝，若canB＝1，则∠B＝°．(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，canB＝85，S△ABC＝48，求△ABC25．（2023·江苏镇江·统考模拟预测）如图，AB为半⊙O的直径，P点从B点开始沿着半圆逆时针运动到A点，在运动中，作∠CAP＝∠PAB，且PC⊥AC，已知AB＝10．(1)当P点不与A，B点重合时，求证：CP为⊙O切线；(2)当PB＝6时，AC与⊙O交于D点，求AD的长：(3)P点在运动过程中，当PA与AC的差最大时，直接写出此时PB的弧长．26．（2023·江苏南通·统考二模）如图1，△ABC中，AB=AC，∠ABC>45°，△BCD是以BC为斜边的等腰直角三角形．(1)求∠ADB的度数；(2)将AB绕点A逆时针旋转90°得到AG，连接BG，GD，GC．①若AD=4，tan∠CGD=12②过点C作CF⊥BG，垂足为F，请写出FD，FB，FC之间的数量关系，并证明你的结论．2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（江苏专用）热点06.解直角三角形及应用【考纲解读】1．了解：锐角三角函数；仰角、俯角、坡度、坡角、方向角的概念。2．理解：特殊角的三角函数值。3．会：知道什么是正弦、余弦、正切。4．掌握：解直角三角形的应用步骤。5．能：熟记特殊角的三角函数值，并能准确运算．审题、画图、解直角三角形。【命题形式】1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题的形式考查，属于中低档题，较为简单，个别省市也以解答题形式考查，属于中档题，难度一般。2．从考查内容来看，涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；特殊角的三角函数值；方位角、俯角仰角、坡角（坡度）；解直角三角形的应用。3．从考查热点来看，涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；求网格中的三角函数值；解直角三角形的实际生活应用。【限时检测】A卷（真题过关卷）备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.一、单选题1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）下列选项错误的是（

）A．cos60°=12 B．a2⋅a【答案】D【分析】分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．【详解】解：A．cos60°=B．a2C．12D．2（x−2y）＝2x−4y，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法，二次根式的除法以及去括号与添括号，熟记相关运算法则是解答本题的关键．2．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图，在一块直角三角板ABC中，∠A=30°，则sinA的值是（

A．12 B．22 C．32【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：∵∠A=30°，∴sinA=故选：A．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．3．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，则△DBCA．3314 B．9314 C．【答案】A【分析】过点C作CE⊥AB的延长线于点E，由等高三角形的面积性质得到S△DBC:S△ABC=3:7，再证明△ADB∼△ACE，解得ABAE=【详解】解：过点C作CE⊥AB的延长线于点E，∵△DBC与△ADB是等高三角形，S∴∵BD⊥AB∴△ADB∼△ACE∴∴∵AB=2∴AE=∴BE=∵∠ABC=150°,∴∠CBE=180°−150°=30°∴CE=设S∴∴∴∴x=∴3x=3故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2010·江苏南通·中考真题）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，则tanA．12 B．2 C．52 【答案】B【分析】在直角三角形ADE中，cosA=【详解】设菱形ABCD边长为t．∵BE＝2，∴AE＝t−2．∴cosA=∴35∴t＝5．∴AE＝5−2＝3．∴DE＝AD2−AE∴tan∠DBE＝DEBE故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系．5．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（）A．25 B．12 C．35【答案】D【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．【详解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，∴BC＝CD＝12BD＝72，AC⊥∴cosB＝BCAB＝725故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．6．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（

A．21313 B．31313 C．【答案】A【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝∠ADC，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．【详解】∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是AC，∴根据圆周角定理知，∠ABC＝∠ADC，∴在Rt△ACB中，AB=A根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝ACAB∴sin∠ADC=2故选A．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，等边ΔABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，①CP与QD可能相等；②ΔAQD与ΔBCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为31316；④四边形PCDQ周长的最小值为3+37A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【答案】D【分析】①通过分析图形，由线段PQ在边BA上运动，可得出QD＜AP≤CP，即可判断出CP与QD不可能相等；②假设ΔAQD与ΔBCP相似，设AQ=x，利用相似三角形的性质得出AQ=x的值，再与AQ的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；③过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，利用函数求四边形PCDQ面积的最大值，设AQ=x，可表示出PE=323−12−x，DF=12×32④作点D关于直线AB的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形P′CDQ′的周长为：CP'+DQ'+CD+P'Q'=CD2+CD+PQ，其值最小，再由D【详解】解：①∵线段PQ在边BA上运动，PQ=1∴QD＜AP≤CP,∴CP与QD不可能相等，则①错误；②设AQ=x，∵PQ=12，∴0≤AQ≤3-12假设ΔAQD与ΔBCP相似，∵∠A=∠B=60°，∴ADBP=AQ从而得到2x2−5x+3=0，解得x=1又0≤x≤2.5∴解得的x=1或x=1.5符合题意，即ΔAQD与ΔBCP可能相似，则②正确；③如图，过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥AB于F，设AQ=x，由PQ=12，AB=3，得0≤AQ≤3-∴PB=3−1∵∠B=60°，∴PE=3∵AD=1∴DF=1则S△PBCS△DAQ∴四边形PCDQ面积为：S△ABC又∵0≤x≤2.5∴当x=2.5时，四边形PCDQ面积最大，最大值为：33即四边形PCDQ面积最大值为313则③正确；④如图，作点D关于直线AB的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形P′CDQ′的周长为：CP∴D1Q′=DQ′=D2P′，AD且∠AD1D2=180°−∠D1AB=180°−∠DAB=120°，∴∠D1AD2=∠D2AD1=180°−120°2=30°，∠D2在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，AD∴AD在Rt△AD2C中，由勾股定理可得，CD∴四边形P′CDQ′的周长为：C==3+39则④错误，所以可得②③正确，故选：D．【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解．8．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α；（2）量得测角仪的高度CD=a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（

）A．a+btanα B．a+bsinα C．【答案】A【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长．【详解】延长CE交AB于F，如图，根据题意得，四边形CDBF为矩形，∴CF=DB=b，FB=CD=a，在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，tan∠ACF=AFCF∴AF=CFtanAB=AF+BF=a+btan故选：A．【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．二、填空题9．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高【答案】103+1【分析】在Rt△ADE中，利用tan∠ADE=AEDE=AE【详解】解：过点D作DE⊥AC交于点E，如图：则四边形BCED是矩形，∴BC=DE，BD=CE，由题意可知：∠ADE=60°，DE=BC=10m在Rt△ADE中，tan∠ADE=∴AE=103∴AE+EC=10故答案为：10【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．10．（2023·江苏常州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC．若AD=1，CD=3，则sin∠ABD=【答案】6【分析】过点D作BC的垂线交于E，证明出四边形ABED为矩形，△BCD为等腰三角形，由勾股定理算出DE=5，BD=【详解】解：过点D作BC的垂线交于E，∴∠DEB=90°∵∠A=∠ABC=90°，∴四边形ABED为矩形，∴DE//AB,AD=BE=1，∴∠ABD=∠BDE，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∵AD//BE，∴∠ADB=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD∴CD=CB=3，∵AD=BE=1，∴CE=2，∴DE=D∴BD=∴sin∴sin故答案为：66【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．11．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在ΔABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2=ac【答案】−1+【详解】解：如图所示：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：a2∵ac=b∴a∵a>0，b>0，c>0，∴a2+ac求出ac=−1+∴在Rt△ABC中：sinA=故答案为：−1+5【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在Rt△ABC中，sinA=∠A的对边斜边，12．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA=【答案】45【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，由题意得CE=4，∴AC=A∴sinA故答案为：45【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．13．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝13，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD【答案】93【分析】由旋转知△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可求得BD＝3BP，当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，求出AB的长即可解决问题．【详解】解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∴∠PBD＝30°，过点P作PH⊥BD于点H，∴BH＝DH，∵cos30°＝BHBP＝3∴BH＝32BP∴BD＝3BP，∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝12BC∵cos∠ABC＝13∴BGAB∴AB＝9，∴BD最大值为：3BP＝93．故答案为：93．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出BD=3BP是解题的关键．14．（2023·江苏常州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠CBA=30°,AC=1，D是AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是________．【答案】43＜AD【分析】以AD为直径，作⊙O与BC相切于点M，连接OM，求出此时AD的长；以AD为直径，作⊙O，当点D与点B重合时，求出AD的长，进入即可得到答案．【详解】解：以AD为直径，作⊙O与BC相切于点M，连接OM，则OM⊥BC，此时，在Rt△ABC的直角边上存在3个不同的点分别和点A、D成为直角三角形，如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠CBA=30°,AC=1，∴AB=2，∵OM⊥BC，∴sin30°=设OM=x，则AO=x，∴x2−x=1∴AD=2×23=4以AD为直径，作⊙O，当点D与点B重合时，如图，此时AD=AB=2，∴在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是：43＜AD故答案是：43＜AD【点睛】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理的推论，解直角三角形，画出图形，分类讨论，是解题的关键．15．（2023·江苏常州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=3,BC=4，点D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA=【答案】10【分析】连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，由S△ABC=S【详解】解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，∵四边形CDFE是边长为1的正方形，∴∠C=90°，∴AB=32∵S△ABC∴12∴FM=1，∵BF=4−12∴sin∠FBA=1故答案是：1010【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法“是解题的关键．16．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB=32．Rt△BEF中，∠BEF=90°,EF过点D，BE,BF分别交AD,CD于点G，M，连接OE,OM,EM．若BG=DF,tan∠ABG=【答案】3+3【分析】连接BD，则BD过正方形ABCD的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝25，AG＝13AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝13AB＝13CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝13CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝25，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形ABCD的中心点O，作FH⊥CD于点H，∵AB=32，tan∴tan∴AG＝13AB＝2∴BG＝AG∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，∴∠EGD＝∠HDF∵∠AGB＝∠EGD，∴∠AGB＝∠HDF，在△ABG和△HFD中，∠A=∠DHF=90°∠AGB=∠HDF∴△ABG≌△HFD（AAS），∴AG＝DH，AB＝HF，∵在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，∴DH＝AG＝13AB＝13CD，BC＝在△BCM和△FHM中，∠C=∠FHM=90°∠BMC=∠FMH∴△BCM≌△FHM（AAS），∴MH＝MC＝13CD，BM＝FM∴DH＝MH，∵FH⊥CD，∴DF＝FM，∴BG＝DF＝FM＝BM＝25∴BF＝45∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形，∴OM＝12DF=5，EM∵BD＝2AB=6，△BED∴EO＝12∴△OEM的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋5＋25故答案为：3+35【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．三、解答题17．（2023·江苏淮安·统考中考真题）（1）计算：−5+（2）化简：aa【答案】（1）4；（2）1【分析】（1）根据绝对值，零指数幂和特殊角三角形函数值的计算法则求解即可；（2）根据分式的混合计算法则求解即可．【详解】解：（1）原式=5+1−2×1=5+1−2=4；（2）原式===1【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值等等，熟知相关计算法则是解题的关键．18．（2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连.为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC=37°，∠ABC=58°，AC=80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，【答案】A、B两点之间的距离约为94米【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，分别解Rt△ACD，Rt△BCD，求得AD,BD的长，进而根据【详解】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ACD∵∠DAC=37°，AC=80米，∴sin∠DAC=CDAC∴CD=AC⋅sinAD=AC⋅cos在Rt△BCD∵∠CBD=58°，CD=48米，∴tan∠CBD=∴BD=CD∴AB=AD+BD=64+30=94（米）.答：A、B两点之间的距离约为94米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．19．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180【答案】(170+603)cm【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，则DF=12CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180×32=90由题意得：DFEF=6090，即90EF解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+903+135=(255+903)cm，则AB255+903=解得：AB=170+603，答：立柱AB的高度为(170+603)cm．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．20．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；(2)当AE=32时，求CF(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．【答案】(1)见详解(2)3或13(3)3【分析】（1）证明△ABE≅△AMF即可得证．（2）分情况讨论，当点E在BC上时，借助△ABE≅△AMF，在Rt△CMF中求解；当点E在CD上时，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，借助△AGE≅△AHF并利用勾股定理求解即可．（3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可．（1）如图所示，由题意可知，∠AMF=∠B=90∘，∴∠BAE=∠MAF，由旋转性质知：AE=AF，在△ABE和△AMF中，{∠B=∠AMF∴△ABE≅△AMF，∴AM=AB．（2）当点E在BC上时，在Rt△ABE中，AB=4，AE=32则BE=A在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，则AC=A由（1）可得，MF=BE=2在Rt△CMF中，MF=2，CM=AC−AM=5−4=1则CF=M当点E在CD上时，如图，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，同（1）可得△AGE≅△AHF，∴FH=EG=BC=3,AH=AG=3,HC=2，由勾股定理得CF=3故CF的长为3或13．（3）如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作DH⊥FM于点H，由（1）知，∠AMF=90故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小．在△CMJ与△CDA中，{∠CMJ=∠ADC∴Rt△CMJ~Rt△CDA，∴CM即∴1∴MJ=34，DJ=CD−CJ=4−5在△CMJ与△DHJ中，{∠CMJ=∠DHJ∴Rt△CMJ~Rt△DHJ，∴CM即1DHDH=11故DF的最小值115如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转∠BAC的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR，DK⊥FR，由题意可知，∠DAE=∠RAF，在△ARF与△ADE中，{AD=AR∴△ADE≅△ARF，∴∠ARF=∠ADE=90故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；由于DQ⊥AR，DK⊥FR，∠ARF=90故四边形DQRK是矩形；∴DK=QR，∴AQ=AD⋅cos∵AR=AD=3，∴DK=QR=AR−AQ=3−12故此时DF的最小值为35由于35<115，故【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用．21．（2023·江苏盐城·统考中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．(1)求A、C两点之间的距离；(2)求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．【详解】（1）解：如图2，连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H．在Rt△ABH中，∠ABH=180°−∠ABC=37°，sin37°=AHABcos37°=BHAB在Rt△ACH中，AH=3m，CH=BC+BH=6m，根据勾股定理得AC=C答：A、C两点之间的距离约6.7m．（2）如图2，过点A作AG⊥DC，垂足为G，则四边形AGDO为矩形，GD=AO=1m，AG=OD，所以CG=CD−GD=5m，在Rt△ACG中，AG=35m，CG=5根据勾股定理得AG=A∴OD=AG=4.5m．答：OD的长为4.5m．【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解22．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．【答案】(1)17(2)8【分析】(1)先由RtΔABE可求得AE的长度，再由角度关系可得∠FAE=90(2)过F作FM⊥CE于M，利用勾股定理列方程，即可求出EM的长度，同时求出FM的长度，得出答案.【详解】（1）设BE=x，则EC=4−x，∴AE=EC=4−x，在RtΔABE中，∴(22∴x=1，∴BE=1，AE=CE=3，∵AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠ABC=90∴∠CAB=90∴∠CAB=90由折叠可知ΔFAC≅∴∠FAC=∠CAB=90∘−∠1∴∠FAC+∠1=90∴∠FAE=90在RtΔFAE中，（2）过F作FM⊥BC于M，∴∠FME=∠FMC=90°，设EM=a,则EC=3-a，在Rt△FME中，FM在Rt△FMC中，FM∴FE∴(17∴a=5∴EM=5∴FM=(∴sin∠CEF=【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．23．（2023·江苏苏州·统考中考真题）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE//AC，交BC于点E．①若DE=1，BD=32，求②试探究ABAD（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE//AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3．若S【答案】（1）①BC=94；②AB【分析】（1）①证明△CED∽△CDB，根据相似三角形的性质求解即可；②由DE∥AC，可得ABAD=BCDE，由①同理可得（2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得S1S2=ACDE=BCBE，又S3S2=BECE，则S1⋅S3【详解】（1）①∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=1∵∠ACB=2∠B，∴∠ACD=∠DCB=∠B．∴CD=BD=3∵DE∥∴∠ACD=∠EDC．∴∠EDC=∠DCB=∠B．∴CE=DE=1．∴△CED∽△CDB．∴CECD∴BC=9②∵DE∥∴ABAD由①可得CE=DE，∴ABAD∴ABAD∴ABAD（2）∵DE∥∴△BDE∽△BAC∴∴S1∵S3∴S1又∵S1∴BCCE设BC=9x，则CE=16x．∵CD平分∠BCF，∴∠ECD=∠FCD=1∵∠BCF=2∠CBG，∴∠ECD=∠FCD=∠CBD．∴BD=CD．∵DE∥∴∠EDC=∠FCD．∴∠EDC=∠CBD=∠ECD．∴CE=DE．∵∠DCB=∠ECD，∴△CDB∽△CED．∴CDCE∴CD∴CD=12x．如图，过点D作DH⊥BC于H．∵BD=CD=12x，∴BH=1∴cos∠CBD=【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．24．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及AC、BD组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是AC、BD的中点，如图2，他又画出了AC所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC=66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成参考数据：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈【答案】42cm【分析】连接AC，交MN于点H．设直线l交MN于点Q，根据圆周角定理可得∠AEM=33°，解Rt△AEH，得出1320【详解】解：连接AC，交MN于点H．设直线l交MN于点Q．∵M是AC的中点，点E在MN上，∴∠AEM=∠CEM=1在△AEC中，∵EA=EC，∠AEH=∠CEH，∴EH⊥AC，AH=CH．∵直线l是对称轴，∴AB⊥l，CD⊥l，MN⊥l，∴AB∥∴AC⊥AB．∴AC=42.9，AH=CH=429在Rt△AEH中，sin∠AEH=即1120则AE=39．∵tan∠AEH=即1320则EH=33．∴MH=6．∵该图形为轴对称图形，张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm∴HQ=1∴MQ=MH+HQ=6+15=21．∴MN=42cm【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．25．（2023·江苏淮安·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A'B'ED，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．(1)【观察发现】A'D与B'E的位置关系是______；(2)【思考表达】连接B'C，判断∠DEC与(3)如图（2），延长DC交A'B'于点G，连接EG(4)【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B'C，延长DC交A'B'于点G，连接EG【答案】(1)A'(2)∠DEC=∠B(3)∠DEG=90°，理由见解析；(4)DG【分析】（1）利用菱形的性质和翻折变换的性质判断即可；（2）连接B'C，BB'，由EB=EC=EB'可知点B、B'、C在以BC为直径,E（3）连接B'C，DB，DB'，延长DE至点H，求出∠DGA'=180°−2x−y，∠GB'（4）延长DG交EB'的延长线于点T，过点D作DR⊥GA'交GA'的延长线于点R，设GC=GB'=x，CD=A'【详解】（1）解：∵在菱形ABCD中，AD∥∴由翻折的性质可知，A'故答案为：A'（2）解：∠DEC=∠B理由：如图，连接B'C，∵E为BC中点，∴EB=EC=EB∴点B、B'、C在以BC为直径,E∴∠BB∴BB由翻折变换的性质可知BB∴DE∥∴∠DEC=∠B（3）解：结论：∠DEG=90°；理由：如图，连接B'C，DB，DB'，延长由翻折的性质可知∠BDE=∠B设∠BDE=∠B'DE=x∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ADB=∠CDB=∠B'D∴∠A'∴∠DGA∴∠BEB∵EC=EB'，点B、B'、C在以BC∴∠EB∵A'∴∠A∴∠GB∴∠CGA∵∠CGA∴∠GB∴GC=GB'，∵EB'=EC，∴EG⊥CB'，∵DE∥∴DE⊥EG，∴∠DEG=90°；（4）解：结论：DG理由：如图，延长DG交EB'的延长线于点T，过点D作DR⊥GA'交设GC=GB'=x∵∠B=60∴∠A=∠DA∴∠DA∴A'R=A在Rt△DGR中，则有2a+x∴x=4∴GB'=∵TB∴△B∴TB∴T∴TB∵CB∴CB∴DE=7∵∠DEG=90°，∴DG∴DG【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．【限时检测】B卷（模拟提升卷）备注：本套试卷所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，是中考命题的中考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上一层楼！一、单选题(共0分)1．（2023·江苏无锡·统考一模）已知cosα=32，且α是锐角，则αA．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【详解】解：∵cosα=32∴α=故选：A【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值．2．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在3×3的网格中，A、B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与网格线的交点，则sin∠BAC的值是（

A．12 B．23 C．53【答案】B【分析】在图形中确定点D，使AB∥CD，推出∠BAC=∠ACD，根据公式即可求出答案．【详解】解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠ADC=90°，∴sin∠BAC=sin∠ACD=ADAC故选：B．【点睛】此题考查了求角的三角函数值，平行线的性质，求角的三角函数值时，需将角放在直角三角形中或求其等角的对应函数值即可得到所求角的三角函数值．3．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF＝（

）A．22 B．2315 C．1【答案】D【分析】连接AC，EF，过点E作EN⊥CF于点N，证明△ABC≌△ADC，得到∠BAC=∠DAC=12∠BAD，BC=CD，再证明△BEC≌△DFC，得到CE=CF，设AB=AD=2a，BE=12AB=a，再求出BC、CE、CF，设FN=b，则CN也可表示出，在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得EN【详解】如图，连接AC，EF，过点E作EN⊥CF于点N，∵在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90∴△ABC≌△ADC（HL），∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD又∵∠BAD=60∴∠DAC=30∵E、F分别是AB、AD的中点，∴AE=BE=AF=DF，∵在△BEC和△DFC中，BE=DF∠B=∠D∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=CF，设AB=AD=2a，BE=1∵∠B=90∘，∴BC=ABtan∵在Rt△BEC中，由勾股定理可得CE∴CE=2∴CF=21∵AE=AF，∠BAD=60∴EF=AF=a，设FN=b，则CN=CF−FN=21∵在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得EN2=E∴EC∴213解得b=2114a∵EN∴EN=a∴sin∠ECF=故选：D．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形和等边三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．4．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，则tan∠MFG的值是（

A．13 B．12 C．55【答案】B【分析】连接EG，根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．【详解】解：连接EG，∵EG是切点，∴EG过圆心O，∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，∴AE=12AB，EG＝根据同弧所对的圆周角相等可得：∠MFG＝∠MEG．∴tan∠MFG＝tan∠MEG=DG故选：B．【点睛】本题考查圆周角的性质、切线的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．5．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，△ABC∽△DBE，延长AD，交CE于点P，若∠DEB＝45°，AC＝22，DE=2，BE＝1.5，则tan∠DPCA．2 B．2 C．3+22 【答案】B【分析】如图作AH⊥BC于H．首先证明△ABD∽△CBE，推出∠DPC＝∠ABC，求出AH、BH即可解决问题；【详解】解：如图作AH⊥BC于H．BC交AP于O．∵△ABC∽△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，ABBD∵BE＝1.5，∴BC＝3，∠ABD＝∠CBE，ABBC∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCP，∵∠AOB＝∠COP，∴∠DPC＝∠ABC，在Rt△ACH中，∵AC＝22，∠ACB＝∠BED＝45°，∴AH＝HC＝2，∴BH＝1，∴tan∠DPC＝tan∠ABH=AH故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6．（2023·江苏淮安·统考二模）如图，在△ABC中，点D在AB上，CD⊥AC，垂足为C，若BD=1,AC=2,AD=3，则tan∠BCD的值是（

A．12 B．15 C．55【答案】D【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可得出ADAB=ACAE=CDBE=34，根据勾股定理得出【详解】解：延长AC，过点B作BE⊥AC于点E，∵BE⊥AC，CD⊥AC，∴∠ACD=∠BEC=90°，CD//BE，∴∠BCD=∠CBE，又∵∠A=∠A，∴△ACD∼△AEB，∴ADAB∴AE=4∵CD=A∴BE=CD⋅AE∵EC=AE−AC=8∴tan∠CBE=∴tan∠BCD=故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质以及平行线的判定与性质等知识点，作垂线构造直角三角形是解题的关键．7．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=25，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则tan∠ECF的值为（A．52 B．255 C．2【答案】B【分析】利用翻折的性质，以及外角定理证得∠AEB=∠ECF，进行角度转换即可求出结果．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵E是BC的中点，BC=25∴BE＝CE=5，∴AE=AB由翻折变换的性质得：∠AEF=∠AEB,EF=BE=5，∴EF＝CE，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，∴∠AEB=∠ECF，∴tan∠ECF=tan故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角函数，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证出∠AEB=∠ECF是解决问题的关键．8．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC按如图所示摆放在第一象限，点B的坐标为3m,m，将矩形OABC绕着点O逆时针旋转α（0<α<90°），得到矩形OA'B'C．直线OA'、B①当m=1,α=30°时，矩形OA'B'C②当m=1，且B'落到y轴的正半轴上时，DE的长为10③当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为43④当点D是线段BE的三等分点时，sinα的值为25或其中，说法正确的是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【答案】C【分析】①计算OC和CD，根据三角形面积公式可得结论正确；②分别根据三角函数计算EC和CD的长，相加可得DE的长；③如图2，过点D作DF⊥B'C'于F，则DF=B'C'=OC④存在两种情况：ED=2BD或BD=2ED，如图3，ED=2BD，同理作辅助线构建全等三角形，可得OD=ED，设BD=a，则ED=OD=2a，根据勾股定理列方程可得m和a的关系，根据正弦的定义可得结论．【详解】解：①当m=1时，点B的坐标为3,1，∴OC=1，当α=30°时，∠AOD=30°，∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，∴∠ODC=∠AOD=30°，∴OD=2OC=2,CD=3∴SΔ即当m=1，α=30°时，矩形OA'B故①正确；②如图1，由旋转得：OA=OA由勾股定理得：OB∴B'tan∠COD=即CD1∴CD=1∵OA∴∠OB∴tan∠O∴EC=10∴DE=EC+CD=10故②正确；③∵点B的坐标为3m,m，∴BC=3m，如图2，过点D作DF⊥B'C'于∵点D为线段BE的中点，∴ED=BD，∴DF=OC，∵∠DFE=∠OCD=90°,∠FED=∠CDO，∴△OCD≌△DFE（AAS），∴ED=OD，设BD=a，则OD=a，CD=3m−a，Rt△OCD中，m解得：a=5∴CD=3m−即当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为43故③正确；④当点D是线段BE的三等分点时，存在两种情况：ED=2BD或BD=2ED，如图3，ED=2BD，过点D作DH⊥B'C'于同理可得OD=ED，设BD=a，则ED=OD=2a，在Rt△OCD中，由勾股定理得：mm1＝3+3910a，m2＝3−∴sinα=OCOD故④错误；本题正确的结论有：①②③故选C．【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，综合性很强，必须灵活掌握知识，学会用方程的思想解决问题．二、填空题(共0分)9．（2023·江苏扬州·校联考二模）计算π−2270=______________，【答案】

1；

−14；

【分析】根据a0=1a≠0【详解】解：π−227≠0−2−2=cos60°=1故答案为：1，−14，【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键．10．（2023·江苏泰州·统考一模）某坡面的坡度为1∶3，则坡角是_________度．【答案】30【分析】坡度等于坡角的正切值．根据特殊角的三角函数值解答．【详解】解：∵某斜面的坡度为1：3，∴tanα=∴α=30°．故答案为：30．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是掌握坡度的定义以及坡度与坡角之间的关系．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα．11．（2023·江苏南通·统考二模）如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB=60°，∠ADB=30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD=30米，则河宽AB为______米．（结果保留根号）【答案】15【分析】利用特殊角的三角函数值建立线段之间的关系列方程求解即可．【详解】解：设AB的长为x，∴BC=ABtan∠ACB∵BC+CD=BD，∴33∴x=153故答案为：153【点睛】本题考查了锐角三角函数的实际应用，解题关键是找到相等关系，建立方程．12．（2023·江苏连云港·统考二模）如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i=1:0.6，现对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i=3:4，则大坝底端增加的长度CF是______米．【答案】13【分析】分别过点D，E作DG，EH垂直BC，垂足则分别为G，H，则GH=ED=2米，可得DG=EH=15米，再由背水坡CD的坡度i=1:0.6，背水坡EF的坡度i=3:4，可得CG=9米，HF=20米，即可求解．【详解】解：如图，分别过点D，E作DG，EH垂直BC，垂足则分别为G，H，则GH=ED=2米，∵AD∥BC，AD、BC之间的距离为15米，∴DG=EH=15米，∵背水坡CD的坡度i=1:0.6，∴DGCG∴CG=9米，∵背水坡EF的坡度i=3:4，∴EHHF∴HF=20米，∴CF=GF-CG=GH+HF-CG=13米．故答案为：13【点睛】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．13．（2023·江苏连云港·统考二模）如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点F，分别以点D、F为圆心，大于12DF长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP交DC于点E，连接EF，若AE=55，且tan【答案】8【分析】首先通过△ADE≌△AFE得到DE=DF，∠AFE=∠ADE=90°，利用正切的定义设EC=3k，FC=4k，表示出DE=5k，AB=8k，AD=10k，利用勾股定理列方程求出k=1，得出结果．【详解】解：由作图知，AE平分∠DAF，在△ADE和△AFE中，AD=AF∠DAE=∠FAE∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE=FE，∠AFE=∠ADE=90°，在直角△EFC中，∵tan∠EFC=ECFC设EC=3k，FC=4k，则DE=EF=EC∴AB=DC=8k，又∵∠B=∠C=∠AFE=90°，∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴tan∠BAF=BFAB∴BF=6k，即AD=BC=10k，在直角△ADE中，∵AD2+DE2=AE2，即25k解得k=1，∴AB=8k=8，故答案为：8．【点睛】本题考查矩形性质、解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，角平分线的尺规作图，解决问题的关键是利用直角三角形进行线段之间的转换．14．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，5×6的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则tan∠AEC【答案】2【分析】连接BD，可知∠EDB=90°，根据网格，设网格小正方形的边长为1，可求出BDED，即可求出tan∠DEB，进而求出tan【详解】解：连接BD，由网格可知CD⊥BD，∴∠EDB=90°，设网格小正方形的边长为1，∴CD=BD=5∵E为CD中点，∴DE=1在RtΔtan∠DEB=∴tan故答案为：2．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．15．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在作业本一条横线l1上，另两点分别落在另两条横线l2，l3上，若l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，斜边与l3所夹的锐角为a，则tana的值为____________．【答案】1【分析】过点A作l1的垂线，垂足为D，过点C作l1、l3的垂线，垂足为E、F，设l1、l2之间的距离为a，则l2与l3之间的距离也为a，根据△ABC为等腰直角三角形，可推出△ADB≌△BEC，则AD=BE=2a，DB=EC=a，AF=DE=3a，CF=a，据此求解即可．【详解】解：如图所示，过点A作l1的垂线，垂足为D，过点C作l1、l3的垂线，垂足为E、F，设l1、l2之间的距离为a，则l2与l3之间的距离也为a，∵∠ABC=90°，∴∠DBA+∠EBC=90°，∵∠DBA+∠DAB=90°，∴∠EBC=∠DAB，∵∠ADB=∠BEC，AB=BC，∴△ADB≌△BEC（AAS），∴AD=BE=2a，DB=EC=a，∴AF=DE=3a，∵CF=a，∴tanα=13故答案为：13【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义，构造“K”字形转换线段长度之间的关系为解题关键．16．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF:FG=3:1，AB:BC=2:1，，则tan∠AHE【答案】1【分析】先求出△AEH与△BFE相似，再根据其相似比EF:FG=3:1，设出AB,BC,AE,BF的长，求出AEAH【详解】解：∵四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，EF:FG=3:1，AB:BC=2:1，∴∠HEA+∠FEB=90°，∵∠FEB+∠EFB=90°，∴∠HEA=∠EFB，∵∠HAE=∠B，∴Rt△HAE∼Rt△EBF，∴HA∴∠AHE=∠BEF，∵∠AHE+∠GHD=∠BEF+∠EFB=90°，∴∠GHD=∠EFB，∵HG=EF，∠D=∠B=90°∴△GDH≅△EBF，∴DH=BF,DG=EB，设AB=2x,BC=x,AE=a,BF=3a，则AH=8−3a,AE=a，∴tan即ax−3a解得：x=8a，∴tan故答案为：15【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理，再根据各边之间的关系列出方程．三、解答题(共0分)17．（2023·江苏盐城·统考一模）计算：−2022+【答案】2022【分析】先算零指数幂、特殊角的三角函数值、去绝对值，再合并即可得到答案．【详解】解：原式=2022+1−2×1【点睛】此题考查的是实数的运算，掌握它的运算法则是解决此题关键．18．（2023·江苏镇江·统考一模）本学期小明经过一段时间的学习，想利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．如图，先测得居民楼AB与CD之间的距离BD为31m，后站在F点处测得居民楼CD的顶端C的仰角为45°．居民楼AB的顶端A的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.7m，小莹的观测点E距地面1.7m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82,【答案】25【