暑假补习初高中数学衔接班教程讲义

暑假补习初高中数学衔接班教程讲义

目录

第一章数与式...............................................................................1

1.1数与式的运算..........................................................................1

1.1.1.绝对值........................................................................1

1.1.2.乘法公式.......................................................................2

1.1.3.二次根式.......................................................................2

1.1.4.分式.........................................................................5

习题1.1...................................................................................................................................................................7

1.2因式分解.............................................................................8

习题1.2.................................................................................................................................................................11

第二章二次方程与二次不等式...............................................................12

2.1一元二次方程.........................................................................12

2.1.1根的判别式.....................................................................12

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）...................................................13

习题2.1....................................................................................................................................................................16

2.2二次函数........................................................................18

2.2.1二次函数），=以2+云+。的图象和性质............................................18

2.2.2二次函数的三种表示方式.......................................................22

2.2.3二次函数的简单应用............................................................25

2.3方程与不等式......................................................................27

2.3.1二元二次方程组、简单的二元二次方程组的解法..................................27

2.3.2一元二次不等式的解法...........................................................31

第三章相似形、三角形、圆.................................................................34

3.1相似形...........................................................................34

3.1.1.平行线分线段成比例定理......................................................34

3.12.相似形........................................................................36

习题3.1....................................................................................................................................................................37

3.2三角形..............................................................................40

3.2.1三角形的“五心”.................................................................40

3.2.2解斜三角形....................................................................42

3.3圆...................................................................................44

3.3.1圆基定理及其应用..............................................................44

3.3.2点的轨迹：三点的轨迹..........................................................49

3.3.3证明四点共圆的基本方法........................................................55

习题及练习参考答案61

初高中数学衔接教材

第一章数与式

1.1数与式的运算

1.1.1.绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对

值仍是零.即

a,a>0,

\a\=<0,a=0,

-a,a<Q.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数。和数b之间的距离.

例1解不等式：|x-l|+|x-3|>4.

解法一：由x-l=0,得x=l；由x-3=0,得x=3；

①若x<l,不等式可变为-(x-l)-(x-3)〉4,

BP-2x+4>4,解得xVO,

又xVl,

.*.x<0；

②若14x<2,不等式可变为(x-l)-(x-3)>4,

即1>4,

•••不存在满足条件的X；

③若xN3,不等式可变为(x-l)+(x-3)>4,

即2x-4>4,解得x>4.

又应3,

综上所述，原不等式的解为

尤<0,或x>4.

解法二：如图1.1-1,卜-1|表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离

\PA\,即照|=,一1|；|x—3|表示x轴上点尸到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x—

31-以一3|

所以，不等式卜-1|+卜-3|>4的几何意义即为_

PCABD

\PA\+\PB\>4.IIIII

由|A8|=2,可知x0134X

点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点。(坐标;

为4)的右侧.

x<0,或x>4.图1.1-1

练习

1.填空：

(1)若凶=5,则产；若国=卜4|,则x=

(2)如果14+网=5,且a=-l,贝|JO=；若|1一。|=2,贝ijc=

2.选择题：

下列叙述正确的是)

(A)若同=\b\,则a=6(B)若同〉同，则a>h

(C)若a<(,则|a|<M|(D)若同=问，贝ija=±b

3.化简：5|_|2x_13|(x>5).

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1.1数与式的运算

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-b)^a2-b2；

(2)完全平方公式(a±b)2=q2±2ab+〃.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；

(2)立方差公式(a-b^+ab+b^^^-b^

(3)三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

(4)两数和立方公式(a+b)3=/+3通+3加+凡

(5)两数差立方公式(a-b)5=a3-3a2b+3ab2-b3.

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.

例1计算：(X+1)(%-l)(x2-X+l)(x2+X+1).

解法一：原式=，—1)[,+1)2一》2]

=(x2-l)(x4+X2+1)

=x6-l.

角星法二：原式=(X+l)(x2-x+l)(x-l)(x2+x+l)

=(x3+l)(x3-1)

=x6-1.

例2已知a+6+c=4,ab+bc+ac=4,^.a2+b2+c2

角窣：a2+b2+c2-(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=8.

练习

1.填空：

(1)-a2--b2^(-b+-a)()；

9423

(2)(4/n+)2=16/7?+4机+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

2.选择题：

(1)若x?+1机x+4是一个完全平方式，则左等于

)

2

、121,1,

(A)m2(B)—m'(C)—m~(D)—m~

4316

(2)不论a,匕为何实数，/+匕2-24一4b+8的值)

(A)总是正数(B)总是负数

(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数

1.1.3,二次根式

一般地，形如右(a20)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方

_________6

的式子称为无理式.例如3a+yJa2+b+2b,G+廿等是无理式,jfj]72?+—x+1,

2

x2+41xy+y2,等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化，需

要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式,

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1.1数与式的运算

我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如&与VL3«与8,也+屈与亚-瓜,

2G-3正与2G+3四，等等.一般地，aG与6,a«+b6与-b6，aG+b与

。4-匕互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；

而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运

用公式正〃=疝（420/20）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通

过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括

号与合并同类二次根式.

2.二次根式V7的意义

77=同=卜“2

[-a,a<0.

例1将下列式子化为最简二次根式：

(1)712^;(2)Va¥(a>0)；(3)^4x6y(x<0).

解：(1)而F=2屈；

(2)\ja2b-|a|yjh-ay/b(a>0)；

63i

(3)y]4xy=2|x|-Jy=-2xy[y(x<0).

例2计算:百十(3-®

角至法——：V34-(3—V3)-

3-V3

_73-(3+73)

(3-73)(3+73)

_3百+3

9-3

_3(^+1)

^6

_V3+1

2

"3-5=合

解法二:

V3

-V3(V3-1)

_1

V3-1

_V3+1

"(V3-1)(V3+1)

_V3+1

2

例3试比较下列各组数的大小：

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1.1数与式的运算

2

(1)底-而和而-布；(2)十一A12V2-V6.

V6+4

712-VH(Vi2-Vn)(Vi2+Vn)1

解：⑴vV12-VTT

iVi2+VnV12+V1T，

ViT-Vio(ViT-Vio)(Vn+Vio)

VTT-Vw1

iVH+VIOvn+VTo'

又厄+而>而入而,

/.VT2-VIT<VTT-VIO.

2V2-V6(2V2-V6X2V2+V6)2

(2)v2V2-V6

12V2+V6-2岳方

又4>2啦，

•'.^6+4>^6+2^2,

272-76.

V6+4

例4化简：(0+&)2°04.(6-0)2叫

解：(V3+V2)2004.(V3->/2)2005

=(G+V2)2004•(V3-V2)2004.(V3-V2)

=[(0+V2)-(A/3-V2)]20M-(V3-V2)

=12004.(6_扬

--\/3—V2.

(2),+±—2(0<x<l).

例5化简：(1)，9-4。；

解：(1)原式=出+4蓬+4

=7(V5)2+2X2XV5+22

=J(2-后

=|2一四

=75-2.

i

（2）原式=X——

X

0<X<1,

一>1>X，

X

所以，原式=▲-X.

X

例6已知》=点一^9=卜+\,求3/-5xy+3y之的值.

解：•.•：+》=/*+中+省=(石_正)2+(百+夜)2=]0,

V3+V2V3-V2

5/3-V2Vs4-V2

孙二百万斥正

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1.1数与式的运算

3x2-5孙+3y2=3(x+—11盯=3x1。2_]i=289.

练习

填空:

1-V3

(1)

1+V3

(2)若J(5_X)(X-3)2=(X_3)V^7,则x的取值范围是.

(3)4724-6754+3^-27150=

,人把小milVx+1-A/X-1A/X+1+A/X-1

(4)若苫=—，则i---——1=+-j=~■===____

2JX+1+>/X—1JX+1—yjX—1

2.选择题：

等式=-7旦成立的条件是

)

Vx-27x^2

(A)"2(B)x>0(C)x>2(D)0cx<2

.；,,JQ2_]+J1—/

3.若b=----------------，求a+8的值.

a+1

4.比较大小：2一小______小一也(填“>"，或y").

1.1.4.分式

1.分式的意义

AAA

形如C■的式子，若8中含有字母，且5/0,则称2为分式.当M用时•，分式々具有下列性质:

BBB

A_AxM

~B~BxM：

A_A^M

B-B+M'

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a

像_+〃这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

〃+p

例1若生3=4+—1,求常数48的值.

x(x+2)xx+2

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1.1数与式的运算

用么力*•..._A+__B__=A(，x+2)，+8x—(A+8),x+2A—5x+4,,

xx+2x{x+2)尤(x+2)尤(九+2)

f4+8=5,

••\

2A=4,

解得A=2,8=3.

例2(1)试证：」一=工-一-(其中〃是正整数);

〃(〃+1)n〃+1

1

（2）计算:

9x10

⑶证明：对任意大事的正整数〃，有为+£+.••+而匕＜；.

（1）证明：'：---L=（〃+i）_〃___1—,

n〃+1〃（九+1）n（n+l）

...」一=!-一-（其中〃是正整数）成立.

n（n+1）nn+1

（2）解：由（1）可知

=1---

10

=2

"To'

111

(3)证明:----1F,••H

2x33x4-----〃(〃+1)

11111

工一才1一LT)

nn+l

11

2〃+1

又〃N2,且〃是正整数,

,1一定为正数,

*n+1

.1111

---+----+•••+V，•

2x33x4

例3设e=£,且e>l,2c2—5m+2/=0,求e的值.

a

解：在2c2—5℃+2a2=0两边同除以总得

2?-5e+2=0,

/.(2e—l)(e—2)=0,

，e=g<1,舍去；或e=2.

.,.e=2.

练习

1.填空题：

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习题1.1

对任意的正整数〃，=____(-);

n(n+2)nn+2

2.选择题：

若在1=2,则二=

()

x+y3y

546

(A)1(B)-(C)一(D)

455

3.正数满足Y—/=2冲，求二上的值.

x+y

111

4.计算-----f-----1----+…H-------

1x22x33x499x100

习题1.1

A组

I.解不等式：

(1)|x-1|>3；(2)|x+3|+|x—2|<7；

(3)|x-1|+|x+1|>6.

2.已知x+y=l,求/+;/+3孙的值.

3.填空：

(1)(2+V3)18(2-V3)19=；

(2)若7(1-«)2+J(1+«)2=2,则a的取值范围是；

11111

1W2+727V3+V3774+^7V5+V5+V6=-

B组

1.填空:

1,1.3a2-ah

(1)u=-,b=—n则----------------

233a2+5ab-2h2

(2)若/+盯_2y2=0,fl|Jx-+3xy+y-=

2.已知：x=—,y=—>求l—//—的值.

2'3y/x-y[yy/x+y/y

C组

1.选择题:

(1)若J-a—b—2Jab-yj—h_y]—a，则)

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1.2因式分解

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

(2)计算〃等于)

(A)y[-a(B)4a(C)-a(D)

2.解方程2，+3)_3(X+3—1=0.

XX

3一.计〜算：-1-1--1---1--1--F•••H---1--

1x32x43x59x11

4.试证:对任意的正整数，2,有---------1-------F…H------------V]

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)4

1.2因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应

了解求根法及待定系数法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)%2—3x+2；(2)X2+4X—12；

(3)x2-(a+b)xy+aby~；(4)xy-l+x-y.

解：(1)如图1.1-1,将二次项f分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1

与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3为就是f—3x+2中的一次项，所

以，有

x2—3x+2=(x-l)(x-2).

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.1-1中的两个x用1

来表不(如图1.1—2所不).

(2)由图1.1-3,得

X2+4X—12=(X—2)(X+6).

(3)由图1.1-4,得

x2—(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)

(4)盯_]+x—y=盯+&-y)-1

=(x-l)(>•+1)(如图1.1—5所示).

图1.1-5

课堂练习

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1.2因式分解

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

(1)/+5x-6-O

(2)x2-5x+6=o

(3)x2+5x+6=o

(4)%?—5x-6=o

(5)/_(q+1,+Q=。

(6)X2-11X+18=o

(7)6/+7x+2—o

(8)4m2-12m+9=。

(9)54-7x-6x^—o

(10)12x2+xy-6y2=。

2、-4x+—(x+3)(x+)

3、若/+ax+b=(工+2)(工-4)贝ija=,b=o

二、选择题：(每小题四个答案中只有•个是正确的)

1、在多项式(1)x~+7x+6(2)x"+4%+3(3)x~+6x+8(4)x~+7x4-10

(5)x2+15x+44l31,有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式〃2+8"-33/得()

A、(a+1l)(a-3)B>(a+lib)(a-3b)C>(a-Ilb)(a-3b)D、(a-llb)(a+3b)

3、(〃+》)2+8(。+/?)-20分解因式得()

A^(〃+Z?+10)(〃+Z?—2)B、(，+6+5)(a+b—4)

C、(a+。+2)(a+b-10)D、(a+£>+4)(a+/?-5)

4、若多项式一一3工+。可分解为(工一5)(1-切，则。、A的值是()

A、a=10,b=2a=10,b=-2C>a=-10,b=-2D、a=—10,b=2

5、若F+mx-10=(x+Q)(x+/?)其中Q、/?为整数，则机的值为()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

三、把下列各式分解因式

1、6(2p--11(4—2P)+32、-5a~b+6ab~

3、2y2-4y-64、b4-2b2-8

2,提取公因式法

例2分解因式：

(1)〃20_5)+〃(5-9(2)X3+9+3X2+3X

解：(1)./0-5)+a(5-/?)=-5)(。-1)

(2)/+9+3厂+3x=(丁+3%2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(尤+3)

=(x+3)(x2+3).

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1.2因式分解

或

x3+9+3x2+3x=(x3+3x2+3x+1)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23

=[(X+1)+2][(X+1)2-(X+1)X2+22]

=(x+3)(x2+3)

课堂练习：

一、填空题：

1、多项式6/y-2xy2+4xyz中各项的公因式是。

2、m(x—y)+n(y-x)=(x-y)«。

3、m(x-y)2+-x)2=(x-y)2•。

4、m(x-y-z)+心+z-x)=(x-y-z)・°

5、m(x-y-z)~x+y+z=(x-y-z)・»

6、-13a&2x6-39a3/？2x5分解因式得。

7.计算99?+99=

二、判断题：(正确的打上“错误的打上“X”)

1、2a2b-4ab2-2ab(a-b)............................................................................()

2、am+bm+m=m(a+b)...............................................................................()

3、-3x，+6x2-15x=-3x(x~+2x-5)..........................................................()

4、x"=x"-i(x+l)...................................................................................()

3：公式法

例3分解因式：(1)-/+16(2)(3x+2y)2-(x-y)2

解：(1)-a4+16=42-(a2)2=(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+a)(2-a)

(2)(3x+2y)2—(x-y)2=(3x+2y+尤_y)(3x+2y-x+y)-(4x+y)(2x+3y)

课堂练习

一、a2-2ab+b2,a2-b2,/一/的公因式是

二、判断题：(正确的打上“J”，错误的打上“X”)

1、1x2—0.01=(gx)-(0.1)2=(gx+0.1]1|x—0.1)......................................()

2、9。2_昉2=(3a)2-(4b)2=(3a+4b)(3"甸..........................()

3、25a2—16〃=(5a+4b)(5a-4b).......................................................................()

4、-x2-y2=~(x2-y2)=-(x+y)(x-y).......................................................()

5、a~—0+c)-=(a+/?+c)(a—h+c)..............................................................()

五、把下列各式分解

1、-9(〃?-〃丁+(〃?+〃)22、3x2-；

3、4-(x2-4x+2)-4、x4-2x2+1

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习题I.2

4.分组分解法

例4(1)x2-xy+3y-3x(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.

(2)2x~+xy—y~-4x+5y—6=2x~+(y—4)x—y~+5y—6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).

或

2x2+xy-y1-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6

=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6

=(2x-y+2)(x+y-3).

课堂练习：用分组分解法分解多项式(1)x2-y2+a2-b2+2ax+2by

(2)a2-4ab+4b2-6a+12b+9

5.关于x的二次三项式oxAox+cm#))的因式分解.

若关于x的方程ax2+/zx+c=0(a/0)的两个实数根是玉、x2,则二次三项式ax?+6x+c(aH0)

就可分解为。(刀-玉)。-々)。

例5把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)X2+2X-1；(2)x2+4xy-4y2.

解：(1)令一+23一1=0,则解得玉=—l+JLx2=-l-V2,

%2+2x-1=[x-(-1+[x-1-\/2)J

=(x+l-V2)(x+l+V2).

(2)令Y+4盯—4)，2=0,则解得％=(—2+2/)y,玉=(—2—2&)y,

x2+4xy-4y2=[x+2(1-y/2)y][x+2(1+V2)y].

练习

1.选择题：

多项式2》2-xy—l5y2的一个因式为()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)X2+6X+8；(2)8/—/；

(3)x"—2x—i；(4)4(x—y+i)+y(y-2x).

习题1.2

i.分解因式：

(1)/+1；(2)4%4—13x2+9；

(3)/72+c2+2ah+2ac+2bc；(4)3/+5盯一2y?+x+9y-4.

2.在实数范围内因式分解：

(1)—5x+3；(2)—2\/2x—3；

(3)3%2+4xy—y2；(4)(x2—2x)~—7(x~—2x)4-12.

3.A48C三边a,b,c^^a1+/?2+c2=ab+bc+ca,试判定A48C的形状.

4.分解因式：x2+x-(a2-a).

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2.1一元二次方程

5.（尝试题）已知abc=l,a+b+c=2,a2+b2+c2=,求-------+--------+--------的值.

ab+c-1be+a-1ca+b-1

第二章二次方程与二次不等式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，

如求方程的根(1)X2+2X-3=0(2)?+2X+1=0(3)x2+2x+3=0}

我们知道，对于一元二次方程办2+云+°=0(〃加)，用配方法可以将其变形为

2

/b、2b-4ac

①

0+五）4a2

因为的笺，所以，4«2>0.于是

(1)当*―4女>0时,方程①的右端是一个正数,因此，原方程有两个不相等的实数根

-b+yjb2-4ac

xi.2=-------------------:

2a

(2)当/一4改=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

h

(3)当/一4破<0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(》+2)2一定大于或等于零，因

2a

此，原方程没有实数根.

由此可知，一元二次方程ax2+bx-\-c—O(a加)的根的情况可以由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac

叫做一元二次方程以2+法+。=0(存0)的根的判别式，通常用符号“△”来表示.

综上所述，对于一元二次方程"2+床+,=0(。邦)，有

(1)当A>0时，方程有两个不相等的实数根

-b+\Jb2-4ac

X1.2=-------------------；

2a

(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根

(3)当A<0时，方程没有实数根.

例I判定下列关于x的方程的根的情况(其中。为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.

(1)X1—3x+3=0：(2)x2—ax—1=0；

(3)X2—ax+(a—1)=0；(4)x2—2x+a=0.

解：⑴,.,△=32—4xlx3=-3V0,...方程没有实数根.

(2)该方程的根的判别式A=”2—4x1x(—1)=:+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根

ci++4ciA/O"+4

(3)山于该方程的根的判别式为

A—a2—4><1x(a—\)—(T—4a+4—(a—2)\

所以，

①当a=2时，A=0,所以方程有两个相等的实数根

X1—1；

②当。立时•，A>0,所以方程有两个不相等的实数根

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2.1一元二次方程

X|—1»x^=a-1.

（3）由于该方程的根的判别式为

A=2?—4xlx&=4—4a=4（l-a）,

所以

①当△＞（）,即4（1一。）＞0,即0＜1时，方程有两个不相等的实数根

Xj—1+A/I—a,^2—1—Ji-a；

②当A=0,即a=l时，方程有两个相等的实数根

X］=M=1；

③当△＜（）,即。＞1时，方程没有实数根.

说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着。的取值的变化而变化，于是，在解题过程

中，需要对。的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非

常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方矍竺*+c=0（。翔）有两个实数根

-b+y/b2-4ac-b-ylh2—Aac

x=-------------,X,=--------------,

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