2021年中考数学压轴题押题含解析

2021年中考数学压轴题

1.定义：在平面直角坐标系中，。为坐标原点，△ABC的边AB平行于x轴.若△ABC的

三个顶点都在二次函数y=o?+6x+c(a#0)的图象上，则称△48C为该二次函数图象的

“伴随三角形".“BC为抛物尸一岁+x+9的“伴随三角形”.

(1)若点A是抛物线与)，轴的交点，求点B的坐标.

(2)若点C在该抛物线的对称轴上，且到边AB的距离为2,求△ABC的面积.

(3)设A、C两点的坐标分别为(，*,)口)、C2m,"),比较yi与*的大小，并求〃，的

取值范围.

(4)AABC是抛物线)，=-#+以-/2+2〃-3的“伴随三角形”，点A在点B的左侧,

且AB=2,点C的横坐标是点4的横坐标的2倍，设该抛物线在1WXW2〃-2上最高

1

点的纵坐标为yo,当时，直接写出〃的取值范围和△ABC面积的最大值.

解：(1)当％=0时,y=|,

・・・/(0,|),

函数的对称轴：%=----二~=1，

2x(芬

故点。的坐标为：(2,1)；

(2)当x=l时，y=-^+1+|=3,

：.C(1,3),

^yA=yB=3-2=1,

，当y=l时，即一?2-1-%+|=1,

解得：xi=-1,X2=3,

・"(-1,1),B(3,1),

：.AB=3-(-1)=4,

1

S^ABC=2x4X2=4；

(3)点4(m,—排2+机+分，点c(2加，-2w2+2/n+1),

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当m=1时、/\ABC不成H,

当—+租+擀=—2m2+2m+割寸，

解得：加1=0,巾2=|，

此时，△ABC不成立；

①当0OnVg时，y\<y2,

②当?n>|且〃2H=1时，y\>y2>

③当〃2Vo时，y\>yi,

综上：当0VmV@时，yi<”；

当机<0或?n〉W且机W1时，y\>y2；

(4)y=—^/I2+2M-3=—(x-n)2+2/?-3,

故函数的顶点为(小2/1-3),

①当2〃-2W〃时,即

当x—ln-2时，y()=—2(2n—2-n)2+2n—3=—*几？+4n—5,

1l1

V-<w^6,M则t一<-—〃2+4〃-5W6,

222

解得：4-V5<n<2；

②当2〃-2>〃时，即〃>2,

加=2〃-3,则一<2n-3W6,

9

<n<-

综上，〃的取值范围为：4V5--2

当九=2时，y=_*(%-引？+6,

当%B=2时，y=_]+6=2,

71Q

当马=2时，xc=7时，y=—2(7—2)2+6=-Q-

112321

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△ABC面积的最大值=寺x2x等=奈

故〃的取值范围为：4-V5<n<^,/XABC面积的最大值为一.

2.如图所示：在△ABC中，AB=AC,NBAC=90°,点P为边AC上一点(点P不与A、

C重合).C£>_L8尸交8户延长线于点。，点E在BP上且AE_LAO.

(1)求证：ZBAE^ZDAC；

(2)点P在边月C上运动的过程中，ND4C+NABE的大小是否发生变化？若不变，求

出该值，若变化，请说明理由.

S

(3)记△BCP的面积为S,若点P为AC中点且=5,求PE的长.

解：(1)证明故NE4D=90°=ZEAC+ZCAD,

'：NBAC=ZBAE+ZEAC,

：.NBAE=ZDAC；

(2)不变，理由：

VZABP+ZAPB=90°,NDPC+/DCP=9Q°,

又,:ZAPB=ZDPC,

：.NABE=ZDPC,

...在aAEB和△4£>C中，NBAE=NCAD,NABE=NACD,AB=AC,

：./\AEB^AADC(AAS),

：.BE=CD,AE=AD,

为等腰直角三角形，

NBAE+NABE=ZDAC+ZABE=ZAED=45°,

即ND4C+NABE的大小不变，为45°；

(3)由(2)知△AOE为等腰直角三角形，过点A作AHLB。于点〃，设C£>=d,

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D

♦：/AHP=/CDP=90°,NAPH=NCPD,AP=PC,

"△NHPQXCDP(A4S),

:・AH=CD=d,HP=PD,

i

在等腰RtZ\AB。中，EH=AH=d=HD,则HP=QP=

在ABPC中，BP=BE+EH+HP=CD+EH+HP=2d+gd=|",

则S=