2015届高三数学黄金考点汇编13三角函数的图像和性质理(含解析)

考点13三角函数的图像和性质(理)

【考点分类】

热点一三角函数的图像

1.12014浙江高考理第4题】为了得到函数y=sin3x+cos3x的图像，可以将函数

y=&sin3x的图像()

jrn

A.向右平移七个单位B.向左平移七个单位

44

TTTT

C.向右平移三个单位D.向左平移三个单位

1212

答案：D

解析：y=sin3x+cos3x=V2sin-.十二，£：只需将i，=gsin3x向左平移二个单位.

4J,12

考■点：三角函数化简.图像平移.

2.12014高考上海理科第12题】设常数a使方程sinx+JJcosx=a在闭区间［0,2乃］上恰

有三个解贝1］++工2+工3=_______」

【答案】—3

【解析】原方程可变为a=2sin(x+1),力二国作中叫放j=Lm(x+［，xw［(X2；r］的图象，再作直线

33

y=a,从图象可知函数j=2sin(x+1)―02用在「二；上述噌，隹，二］上递诚在［二二刈上递

二6666

噌，只有当々时，直线j=〃与函数j~二［1<+三)：工W“：2用的图冢有三个交点，x1=0,七=三，

33

7式

x3=27Tf所以甬+x：+x?=T

【考点】解三角方程，方程的解与函数图象的交点.

3.【2014辽宁高考理第9题】将函数y=3sin（2x+^）的图象向右平移1个单位长度，所得

图象对应的函数（）

TT77r7万

A.在区间［上,二］上单调递减B.在区间［土,3］上单调递增

12121212

C.在区间［-工，工］上单调递减D.在区间［-工，工］上单调递增

6363

【答案】B

【解析】

试题分析：将函数j=3sin（2x+1）的图象向右平移三外呈位长度，所得图象对应的函数解析式为

丁=3sin（2x-三），令一二+2k;r«2:、一三W,kez,即y=3sin（2x-三）的噌区间

32323

为［三+左匹］；+太幻.kwz,令40,咱可知3正确.

考点：函数丁=4sin（公v+3）的性质

4.12014高考江苏卷第5题】已知函数〉=cosx与函数y=sin（2x+，）（0K。＜）），它们的

TT

图像有一个横坐标为y的交点，则（P的值是.

7F

【答案】-

6

【解析】由题意cos］=sin（2x1+9）,即＜n（兰+3）-上兰+夕=匕工+（一厅春，（kwZ）,因为

式

Q＜（p＜^,所以@=工.

【考点】三角函数图象的交点与已知三角的初值求角.

5.【2014全国1高考理第6题】如图，图0的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点,

角x的始边为射线0A,终边为射线0P,过点P作直线OA的垂线，垂足为M,将点M到直线

0P的距离表示成x的函数/&）,则y=/（x）在［0,泪的图像大致为（）

【答案】C

【解析】

试题分析：如图所示，当OWxS二时，在Rt'OPZ中，OM=OPcosx=cosx.在Rt'O'ID中，HD=

jr

OMsinx=cosxsinx=—sin2x?当；vx£；r时在KfAOPl/中，

OM=OPcos(^-x)=-cosx,在KrAOJA?卬，MD=OMsin(zT-x)=-cosxsinx=-^-sin2x>所

以当女时，］=/仁)的图象大致为€；.

【考点定位】1.解直角三角形；2、三角函数的图象.

6.【2013年普通高等学校招生全国统•考试（四川卷）理科】函数

“x)=2sin(s+e)3>(),4<*<g的部分图象如图所不’则引的值分

别是()

nn

(A)2,——(B)2,——

36

7171

(C)4,--(D)4,-

63

【答案】A

【解析】由图知，周期7满足27二2一（一上），・・・7=7「、0＞0,.・.。=2,故/（x）=2sin（2x+°）,

4123

图象的最高点为—.2＞于是由“五点法”对，知二/二+。=二，解得。=-上，选A.

,,12'1223

7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）理】将函数丫=6＜：0$》+$出）。€2的

图象向左平移〃?（加＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则小的最小值是（）

A.兀D.5兀

VI

［答案］B

［解析］易知J=2sin（x+!）,向左平移m个单位后得v：*n（x+F+叨），图像关于y轴对称，贝U令

33

二+冷？=:+Z.得:t=二+旧7,又，＞、,故m的最i直为二.选3.

飞，二A

8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】将函数y=sin（2x+°）的图象沿

1T

轴向左平移1个单位后，得到一个偶函数的图象，则。的一个可能取值为（）

【答案】B

【解析】得到的偶函数解析式为y=sin++0=sin2x+(?+eJ，显然。=

9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】如图，半径为1的半圆0与等边三

角形ABC夹在两平行线i“i2之间，i〃i”i与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两

边相交于E,D两点.设弧FG的长为x(0Vx<£),y=EB+BC+CD,若i从一平行移动到i2,则

10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】

已知函数/(x)=2sin(ox),其中常数3>0.

TT27r

(1)若y=/(x)在［-2,二］上单调递增，求。的取值范围;

43

(2)令0=2,将函数y=/(x)的图像向左平移工个单位，再向上平移1个单位，得到函数

6

y=g(X)的图像，区间［出切(eR且。<〃)满足：y=g(x)在［凡句上至少含有30个

零点，在所有满足上述条件的句中，求b-。的最小值.

【答案】【1】因为。>0，根据题意有

(2)/(x)=2sin(2x)，g(x)=2£in(2(x+3'7=2sin(2x+g)+l

3

g(x)=0=sin(2x+^-)=-==x=、,二一方或工=k又一不兀:kwZ,

一'冤

即g(x)的零点相离间隔依次为二和三,

33

故若J=g(x)在心力］上至少含自3。个零点，贝IJ6-U的最小值为14x±+15><e=H±.

【方法规律】

1.用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为丫=45亩(3+°)(4〉0,口>0)或

9ji

y=Acos(<ox+e)(A>0,刃>0)的形式；②求出周期7=-^~；③求出振幅小④列出一个周

期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点.

TT

2.y=4sin(〃M+0)的图象有无穷多条对称轴，可由方程5+9=攵乃+,(攵wZ)解出；它

还有无穷多个对称中心，它们是图象与x轴的交点，可山以+°=Jbr(A£Z),解得x=

左Ji——(b左Ji——cb

-------(ASZ),即其对称中心为(------0)U6Z).

33

TT

3.相邻两对称轴间的距离为5,相邻两对称中心间的距离也为5.

【解题技巧】根据y=Asin(a)x+e)+k(A>0,。〉0)的图象求其解析式的问题，主要从以下

四个方面来考虑：

(1)4的确定：根据图象的最高点和最低点，即力=最局点彳最低点;

(2)々的确定：根据图象的最高点和最低点，即1=最』速';」最低士

9JI

(3)。的确定：结合图象，先求出周期T,然后由7=——(。>0)来确定。；

(jj

（4）0的确定：法一：代入图像的最高点坐标区，必）或最低点坐标（尤2，%），则

coxx+夕=2+2k/r（kwZ）或a）x7+°=—+2k7V（kGZ）,求夕值.

（b

法二：山函数尸4sin（3彳+0）+4最开始与天轴的交点的横坐标为一一（即令3才+。=0,

3

0

X=——3）确定0.

如：【河北省唐山市2014-2015学年度高三年级摸底考试10］将函数f（x）=sf/73x（其中。

>0）的图象向右平移普个单位长度，所得图象关于x=个对称，则。的最小值是

26

46B.&C.4D.4

344

【答案】D

【解析】试题分析：将心）=$"郎的图冢向左平移W务单位，与得图象关于x=H,说明原图冢关于.'、=

16

一主对称，于是“-3）=珈（一4上）=土1，:二三=收+2（拒7）,W=3；H--UGZ）,由

333324

于0,故当4口时取得最小值三.选.，

4

【考点】三角函数的图象与性质

【易错点睛】研究三角函数图像的变换时，要注意山y=Asina）x（A>0,cy>0）的图像变换成

y=Asin(5+°)(A>0,G>0)的图像的变换过

程：y=Asin（mx+e）=Asin［6y（x+—）］（A>0,。>0）的图像由y=Asina）x（A>0,0>0）

co

的图像向左（°>o）或向右（*<o）平移忸个单位长度.

CD

如：【2014浙江高考第4题】为了得到函数），=sin3x+cos3x的图像，可以将函数

y=J^sin3x的图像（）

B.向右平移工JT个单位B.向左平移工7T个单位

44

C.向右平移27T个单位D.向左平移二7T个单位

12

答案：D

解析：y=sin3x+cos3x=yj2sinf3x+L故只需将y=V2sin3x向左平移。个单位.

考点：三角函数化简、图像平移.

热点二三角函数的最值

1.【2014全国2高考理第14题】函数/(x)=sin(x+20)-2sin°cos(x+e)的最大值为

【答案】1

[解析】由题意知：/(X)=sin(x+2g)-2sin夕cos，x+@)=+(x+0]-2sin0cos(x+p)

=sin9cos(x+9)+cos(Psinlx+<p]-2sin^>cos(x+^71-“sQsin[x+。)-sinpcos(x+@)

=sin[(x+0-0=sinx.即/'(x)=sinx,中二•士出，月i•以f(x)的最大值为1.

t考点】本小题主要考查两角和与差的三包函数、三伊函数的最便的求解，熟练公式是解答好本类题目的

关窿

2.【2014高考湖北理第17题】某实验室一天的温度(单位：。C)随时间f(单位：/?)的变

化近似满足函数关系；

f(t)-10-V3cosf-sinz,re[0,24).

(1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11°C,则在哪段时间实验室需要降温?

:

t答案】(1)4C;(2)在10时至18时实验室需要降温.

【解析】

TT万

试题分析：(1)利用两个角的和的正弦公式把/⑴变成〃。=10-2血(二r+二)，根据0«r<24求出

123

qr+1的取值范围，确定sin(^r+q)的取值范围，从而h得/(。在[。二4)上的最大值与最小值；(2)

由题意知，解三角不等式10-2sin(春I得出r的取值范围，从而得到结论.

试题解析：(1)因为/(。=10-2-t+-^—r）=10-2sin（—r+-）

12212123

71；rrTrr

X0<f<24,所以三4三?d---<—,-l<si!i—-1,

3123k123

TTTTTTTT

当f=2时，sin（一t——）=1；当£=14时，sin（一t-\——）=-1；

123123

于是/«)在［0,24)上取得最大值12,取得最小值8.

(2)依题意，当/«)>11时实嗡室需要降温.

由⑴得“r)=10-2sin(三什二)，

123

所以10-2sin(三7+工)>11,Fsin(—r+->-二，

1231232

X0<r<24>因此」•<」二即10<”门8,

61236

故在10时至18时实嗡室需要1r曷.

考点：三角函数的实际运用，两个角的和的正弦公式，三角不等式的解法.

3.12014高考江西理第16题】已知函数/(x)=sin(x+8)+acos(x+26),其中

aeR,0&

22

(1)当4=血,。=工时，求/(x)在区间［0,何上的最大值与最小值；

4

jr

⑵若〃9=0J(万)=1,求a,6的值.

【答案】(1)最大值为好.最小值为-L(2).'二.

2户二一三

t解析】

试题分析：(1)求三角函数最值，首先将其化为基本三角函数形式：当&=也f=:时，

f(x)=sin(x--)-V2cos(.r--)=—sin.v--cosx-Visin'sin(--x),再结合基本三角函数性质求最

42224

值：因为从而:-xe［-曰《］,故.”•；」；/］上的品士值为〈.最小值为-1.(2)两个独立条

件求两个未知数，联立方程组求解即可.』八2'3,.'4J又知COSHKQ：

।12ase-sinH-a=l22

I.JW1

।a=-1

解得：Q了

I6

试题解析：解(1)当。=/,。=工时，

4

/(x)=sin(x+?)+收cos(x+§=-ysinx+cosx-\/2sinx=sin(^--x)

因为从而f———»—■］

444

故小）何。㈤上的最大值为*,最小值为-L

=0cos6(1—2〃sin6)=044

（2）由，得

2«sin^-sin.-a=r又〜-万工-0,解得T

f(左)=1

考点：三角函数性质

4.【2013年全国高考新课标（D理科】设当年0时，函数/'（x）=sinx—2cosx取得最大值,

贝ijcos0=_____.

【答案】一半

【解析】COS8=-p=-土

在5

【方法规律】求解涉及三角函数的值域:最色）的题目一番〜可以下方法：

⑴利用sinx、esx的有界性;

⑶形式复杂的函数应化为j=.4sm〔”+广晨的形式运步分析&「+雄的范围，根据正弦函数单调性写出函

数的值域；

（3）换元法：把smx或cos.、、看作一个整单，可化为求函数在区间上的值域।最值）问题.

【解题技巧】求三角函数的最值问题，最主要的题型是：通过三角恒等变形将所给解析式化

为y=Asin（m+e）+攵（4>0,（v>0）的形式，再进行求解.

①当xeR时，+ymin=-A+k；

②当时，则先求m+。的范围，再利用正弦函数》=$足「的图像写出函数

y=sin（5+e）的最值，再进一步求解.

如：【2014全国2高考理第14题】函数/（x）=sin（x+2夕）一2sin夕cos（x+0）的最大值

为-

【答案】1

【解析】山题意知：

/(x)=sin(x+2(p)-2sin0cos(x+0)=sin]。+(x+0)]-2sin9cos(x+(p)

「sin夕cos(x+°)+cos°sin(x+。)-2sin°cos(x+e)=cos°sin(x+e)-

sin°cos(x+w)

-sin[(x+e)-。]-sinx,即/(x)=sinx,因为xeR,所以/(x)的最大值为1.

【考点】本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答

好本类题目的关键.

【易错点睛】在求函数的最值时，一般思路通过三角恒等变换化成y=Asin(ox+e)+Z的形

式，但不要忽视变形中的等价性，如定义域的变化.

如：【河南省安阳一中2015届高三第一次月考6】函数y=c°s3x-cosx的值域是

COSX

()

A.[-4,0]B.[-4,4)C.[-4,0)D.(-4,0]

【答案】D

【解析】

试题分析：先由COSXHO=XHKT+三三)得函数的W义域为次wz｝，再由

I=cos办一cosX化简得丫=7sin：X,「臼.•；也+2.三z)所以0Ssin：x<1,从而

COST2

-4<-4sin*x<0»BP-4<>,<0?紫选D.

考点：三角函数的值域.

热点三三角函数的性质

1.12014高考北京版理第14题】设函数/(x)=Asin(s+e)(A,0,9是常数，A>0,。>0).

若/(x)在区间亲自上具有单调性，且丐)=/(争=一/(令，则/(x)的最小正周期

为

【答案】冗

【解析】

试题分析：由小)在区间/学上具陪调性，且”()[青)知，函数八X)的对称中心为《。)，

由/(马=/(苧)知函数F(x)的对称轧用直线x=t[+马=二三，设函数/(x)的最小正周期为T,

2322312

所以，即72二，所以三-三=工，解得7=兀

22631234

考点：函数f(x)=Hsin(3r+9)的对称性、周期性，容易题.

2.【2014高考安徽卷理第11题】若将函数/(x)=sin(2x+?)的图像向右平移。个单位，

所得图像关于y轴对称，则0的最小正值是______.

【答案】—

8

【解析】

试题分析：由题意/(x)=Wsin(2x+2),将其图象向右平移@个单位，得

4

y/lsin[2(x-G?)+-]=>/2sin[2x-2：+-],要隹二块关于11轴对称，则三一2°=工+%?,解得

4442

©=,当k=-l时，。取最小正值三.

828

考点：1.三角函数的平移；2.三角函数恒等交换与图象性质.

1T

3.12014陕西高考理第2题】函数/Q)=cos(2x-一)的最小正周期是()

6

TT

A.—B.KC.2乃D.4TT

2

t答案】B

【解析】

试题分析：由周期公式T=三，又，，=2,所以函*«x)=cos(2x-三)的周期7=三=加

w62

故选反

考点：三角函数的最小正周期.

4.12014大纲高考理第16题】若函数/(x)=cos2x+asinx在区间(乙二)是减函数，则。

62

的取值范围是.

【答案】(一二2].

【解析】/r(xl=-2sin2x+acosx=-4sinxcosx+acosx-cosxl-4sinx+a).\"xe££*

!62

,、，<jr疝_、

是减函数，又cosx>0,・,・由Jx)£0得Hi+aW0：，aW4sinx在二:三；上恒成立,

.62.

a＜(4sinxJ„.,xe：£乃.a<

[于口丁一

【考点】L三角函数的单调性；2.导数四应用.

5.【2014高考福建理第16题】已知函数/(x)=cosx(sinx+cosx)-；.

(1)若0＜。＜T,且sina=；-,求/(a)的值;

(2)求函数/(X)的最小正周期及单调递增区间.

13ITjr

【答案】(1)4;(2)Z,[k^-—M+^];k&Z

2S

【解析】

试题分析：⑴由0<々<三，且sina=正，求出伊a的余弦直再根据函数

/(x)=cosx(sinx+cosx)-；,即可：得结论.

(2)已知函数/(x)=cosx(sinx+cos由正七与余弦的二倍角公式,以及三角函数的化一公式,

将函数/")化简.根据三角函数周期的公人即可的”论.根据电位的单调递增区间,通过解不等式即可得到

所求的结论.

41由'£、0/0011

试题解析：(1)因为Ova<3sincz——^―.所以cosa=—^―.所以f(a)=—(―^—+—^-)——=—

⑵因为

//、.'ll.、l+cos2x1'.、1,.八兀、m、i

f(x)=sinxcosx+cosx--=-sin2xH--sin2x4--cos2x=-^-sin(2x-F-),HlrkA

T=三=乃.由2上万一342工+；42匕1+—kuZ：得上k-1-所以f(x)的单调

3T7T

递增区间为［匕r-—k^+-lkeZ.

8;8

考点：1.三角函数的性质.2.三角的恒等交修.

6.【2014高考上海理科科题】函数y=l-2cos2(2x)的最小正周期是.

【答案】-

2

2；r7T

【解析】山题意y=—cos4x,7=子=]

【考点】三角函数的周期.

7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理】

7T

已知函数/*)=Acos(<yx+e)(A>0,«y>0，eeR),则“/(x)是奇函数”是夕=万的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】函数奇偶性的判断法则是；首先看守义域是亭关于原4:W称，然后利用函数奇偶性定义判断，此

题主要考查正余弦函数的奇偶性，根据诱导公式进行化简.「、.)=Asinax;f(x)=Acosox后即可判断.

即当/'(x)=Hcos(0x+O)为奇函数时，(p-\会以不是充分条件；反之当。=5•时，

函数/(X)=Acos(<yx+三)=-Asin二:奇函数，是必要条件.所以选3.

8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数》=5抽2犬+2石5抽21的最小

正周期T为.

【答案】n

【解析】：y=sin2x+V3(l-cos2x)=2sin(2x-y)+VJ,/.T=TT.

9.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】

已知函数/(X)=-V2sin2.r+^+6sinxcosx-2cos2x+1,xeR.

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)求/(X)在区间0,y上的最大值和最小值.

【答案】II)/(%)=-0sin2x-cos-y-r/2cos2x-sin+3sin2x-cos2x

=f(x)=2sin2x-2cos2x=25/2sin(2.v-^)»

所以f(x)的最小正周期为了=—=乃.

［II)因为/(x)在区间［0,y］上是噌函数T间序二上是减函数,

又f(0)=2J)=20J©)=)

87

故函数/(X)在区间jO4i上的最大值为2卢.最小值为-2.

10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数

/(x)=sin(wx+e)(w>0,0<e<;r)的周期为"，图象的一个对称中心为(看，。)，将函数f(x)

图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个工单位

2

长度后得到函数g(x)的图象.

(1)求函数/(X)与g(x)的解析式

7171

(2)是否存在X°€，使得/(x°),g(x°)J(x°)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在,

请确定X。的个数，若不存在，说明理由；

(3)求实数a与正整数"，使得尸(x)=〃x)+ag(x)在(0,〃乃)内恰有2013个零点

［答案］(I)由函数/(x)=sin(tyx+石的周期七a'J,得。=2

又曲线y=/(x)的一个对称中心为(9.%,”也叫

T

7T7T7

故f(W)=sin(2x；+0)=O,得0=丁所以/Y力二as2x

将函数f(x)图冢上所有点的横坐标伸长到江的2倍(纵球即不变)后可得］=cosx的图象，再将

y-cosx的图象向右平移［个单位长度后得到1L双g(x)=>inx

(II)当xw(二.二)时，—<sinx<^-90<cos2x<—

6,4222

所以sinx>cos2x>sinxcos2"

问题转化为方程2cos2x=sinx*sinxcos2x^±(—'：)内是否有解

设G(X)=sinx+sinxcos2x-2^os2x,(二：马

64

则G'(x)=cosx+cosxcos2x+2sin2x(2-sin.

因为所以G'(x)>05：.)在(_1,：)六单调递噌

又G(三)=-L<0,G(-)-->0

6442

且函数G(x)的图彖连续不断，故可知函数G(x)在(工,2)内存在唯一零点x：,

64

即存在唯一的汽e(?.?)满足题意

(III)依题意，F(x)=asinx+cos2x,令F(x)=asinx+cos2x=0

当x>0且x趋近于0时，〃(x)趋向于-x

当x<1且x趋近于;T时，4(x)趋向于一工

当x>1且x趋近于％时，h(x)趋向于+H

当xv2莒且x趋近于2/z•时，〃(x)趋向于

故当a>1时，直线j=a与曲线;-=h(x]K<0:.T)亡己无交广，在(阳2女)内有2个交点；

当a<-l时，直线j=a与曲线》=〃。)亦\0,；7)内有：：丁沟点，在(121)内无交点；

当-l<a<l时，直线j=a与曲线j=〃(x)。兀)内有2彳乂点，在(汉2为内有2个交点

由函数h(x)的周期性，可知当aH±1的，直线j=u与曲线x--〃(x)在((Xn.T)内总有偶数个交点，从而不

存在正整数n,使得直线y=a与曲线y-Z?(x)在y,«,T)内恺百2013个交点；当a=±1时，直线1=a与

曲线j=力出在(0,乃)11(兀2团内有3个交点,由周期性，2013=3x671,所以“=671x2=1342

综上，当4=±1,”=1342时，函数F(x)=/(x)+ag⑴在(0口外内恰有2013个零点.

【方法规律】y=Asin(5+°)、y=Acos(5+e)、y=Atan(5+e)的性质:

①周期性

函数尸/sin(3x+0)和尸4cos(3才+。)的最小正周期为苫r,y=tan((^x+。)的最小

I3I

JI

正周期为丁.

②奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y=4sin3/或尸力tan3x,而偶函数•般可化为y=4cossx

+6的形式.

③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将公+0看作一个整体.

如：【山东省荷泽市2014届高三3月模拟考试】

已知函数/(x)=2sin69xcos69x+2\/3sin2cox-4i(切〉0)的最小正周期为兀.

(I)求函数/")的单调增区间；

(II)将函数〃x)的图象向左平移三个单位，再向上平移1个单位，得到函数)，=g(x)的

6

图象；若y=g(x)在［0,句(b>0)上至少含有10个零点,求6的最小值.

【答案】3)［七-三七+2］4Z(口：等

121212

【解析】

试题分析：(I)由/(工)=2sinG、8S©工0工-=.门=2sin(2c1)

3

根据函数j=/(x)的周期T=z,可得◎=:,从而蒲.二•=/(幻的解析式，再根据正弦函数的单调

性求出了(X)的单调区间；

(II)y=2sin(2x-^-)------------：-------->V=2sin,x-rl,选上出函数在长度为一个周期的区间0：万］内

3

的零点，再根据函数的周期性求出原点右侧第十4等点，从而确定5的取值范围.

试题解析：

(I)由题意得：f(x)=2sinft;xcos6yx+2>/3sin2(ox-y^

=sinIcox-\/3cosIcox=2sin(2Gx-§),..................................................................2分

由周期为万，得&=1,得〃x)=2sin(2x_：),.............................................4分

函数的单调增区间为：2&万一三W2x-三42&九+工，

232

整理得上万一立<X<k7T+—,kGZ,

1212

所以函数〃尢)的单调增区间是［壮-展,丘+知，丘Z...................6分

(II)将函数f(x)的图冢向左平移工I、单位，用向上平也聿位，得到J=2sm2x+1的图氮所以

6

g(x)=2sin2x+l：.-3分

令g(x)=0,得工=无了一彳或工=-........................10分

1二12

所以在［。团上恰好有两个零点，

若丁=g(x)在［0向上有10个零点，则j,,卜亍第10个枣;E的横坐标即可，即b的最小值为

"@=空................................12分

1212

考点：1、两角和与差的三角函数公式及二倍角公司，2、正弦工数的性质；函数的零点的概念.

【解题技巧】研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将如+0看作

一个整体.如(上例)

【易错点睛】求形如y=Asin(3x+6)或y=Acos(sx+6)(其中AW0,<*)>0)的函数的单调

区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“3x+6(3>0)”视为一

个“整体"；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y=sinx(xeR),y=cosx(x£R)的单调

区间对应的不等式方向相同(反).

41

如：求卜=5沦(：-5工)的单调递增区间(教材第39页)

TT11TT1TT

【解析】y=sin(；-］x)=—sin(］x—g),令t=则y=—sinf的单调递增区间

TT37r

是丁=41的单调递减区间-+2k7r,—^2k7r(keZ),即

712)，3)“

—+2k7r<—X---<——+2K7T，

2232

解之得包+4Z万<》《止+4攵乃，

33

TT157r1\jr

即丁=5皿：一却的单调递增区间为专+4版■，子+4女乃(iteZ).

【考点剖析】

1.最新考试说明:

(1)考查三角函数的值域与最值

(2)考查三角函数的单调性

(3)利用三角函数的值域和单调性求参数的值

2.命题方向预测：

(1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点.

(2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.

(3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题.

3.课本结论总结：

⑴由y=sinx的图象变换到y=4sin的图象，有两种变换方式：①先相位变换再

周期变换(伸缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是巨(。＞0)个

3

单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对X而言，即X本身加减多少值，而不是依赖于

3X加减多少值.

(2)y=sinx的性质：①定义域为R,值域为［一1,1］；②是周期函数，最小正周期为2万；③

在-5+2版'《+2"(AeZ)单调递增，在y+2^,y+2^(keZ)单调递减；④

TT7T

当x=,+2kT,k£Z时，ymax=1；当冗=一耳+2攵乃，左EZ时，ymin=-1；⑤其对称轴

方程为X=g+k7T(keZ),对称中心坐标为(br,o),keZ.

(3)y=cosx的性质：①定义域为R,值域为［-1,1］；②是周期函数，最小正周期为2万；③

在［一4+2左肛2k乃］(keZ)单调递增，在［2攵万,乃+2%乃］(左eZ)单调递减；④当

x=2"■，女eZ时，ymax=1；当x=万+2攵肛AeZ时，ymin=-1；⑤其对称轴方程为

x=k7r(keZ),对称中心坐标为(%万+',()),/:eZ.

(4)y=tanx的性质：①定义域为xH5+左7，^z},值域为R；②是周期函数，最

小正周期为万；③在(―5+女肛］+女万)(ZeZ)单调递增；④其对称中心坐标为

(容O),kwZ.

4.名师二级结论：

(1)山尸sinx的图象变换到尸:/sin(3入+0)的图象，两种变换的区别：先相位变换再

周期变换(伸缩变换)，平移的量是I小个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移

的量是且"(o＞。)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对X而言，即X本身加减多

(jj

少值，而不是依赖于"X加减多少值.

(2)在由图象求三角函数解析式时，若最大值为肌最小值为加，则/1=等，k=等,3

由周期7确定，即由"=7求出，0由特殊点确定.

G)

⑶作正弦型函数尸/sin(3x+。)的图象时应注意：

①首先要确定函数的定义域；

②对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周

期性作出整个函数的图象.

(4)求三角函数值域(最值)的方法：

①利用sinx、cosx的有界性；

②形式复杂的函数应化为y=4sin(«ur+e)+k的形式逐步分析5+夕的范围，根据正弦函

数单调性写出函数的值域；

③换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.

5.y=Asin((av+e)、y=Acos(ftw+e)、y=4tan(«yx+e)的性质：

①周期性

2n

函数y=Asin(a)x+和y=Jcos(a/x+。)的最小正周期为qr=tan(6)的最小

I3I

正周期为一.

(JJ

②奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y=/sin或尸力tanax,而偶函数一般可化为/cos

+6的形式.

③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将这+0看作一个整体.

5.课本经典习题：

⑴新课标A版第147页，第A9题(例题)已知y=(sinx+cosx)2+2cos?x.

①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值.

【解析】y=(sinx+cosx)2+2cos2x=1+2