材料力学第五版孙训方版课后习题答案

材料力学高等教育出版社孙训方

［习题2-2］一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦

力£=1«**2,试做木桩的后力图。

解：由题意可得：

^fdx=F,^^kli=F,k=3F/l3

233

FN(x1)=^3Fx/ldx=F(Xl/l)

［习题2-3］石砌桥墩的墩身高/=10加，其横截面面尺寸如图所示。

荷载F=100(UN,材料的密度夕=2.35依//，试求墩身底部横截面

上的压应力。

解：墩身底面的轴力为：

N=—(F+G)=—F-Alpg2-3

图

=-1000-(3x2+3.14xl2)x10x2.35x9.8=-3104.942(^)

墩身底面积:A=(3x2+3.14xl2)=9.14(/n2)

因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。

N-3104.942AN

—_—__________=—339.7a-0.34MPa

一A―9.14/«2

x,a

［习题2-7］图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

2-7图

解：取长度为小截离体（微元体）。则微元体的伸长量为:

“A八Fdx

J(A/)=--------

EA(x)J>EA(x)EJ)A(x)

r-r.xrd-

--------=—，r—2——L-x+r.=—2—---XH------，

万一八1/1212

d,-d\J,V

A(x)=7l\7T-U2

2/2)

上,d2—aa、“2一4J

d(2x+U)—-------dx

2/221

21

21du,dxd-d2/(*

dx2-du

2

4一4A(x)7T-U乃（4々2）u

因此'△/=［蠢公=SAd(xX)兀E(d2F「IdJk")

J)u

2FI____________1_________1_

7rE(dl-d2)d2-dxdydx

2122,

2FIf2214f7

------------------------------------

7rE(dx-d2)d2d1------7cEdxd2

［习题2-10］受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该

材料的弹性常数为£小，试求C与D两点间的距离改变量金0。

式中，A=(4+5)2一一5)2,故：Fv

84Ea3

\aFvFv

ba=a

4EaS7E8

Fv

a=a--------，CD=+G〃)2­

4E6

22

CD=7(jfl1)+(|a'):喈a，

A(C£>)=CD-CD—a)==-1.003--

12124ES4ES

［习题2U1］图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1,2,3

2

材料相同，其弹性模量£1=210G&,已知/=1团，A］=A2=100mm9

2

A3=150mm,F=2bkN°试求C点的水平位移和铅垂位移。

解：（1）求各杆的轴力

以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。

因为AB平衡，所以

X=0,N3cos45"=0,N§-0

由对称性可知，金〃=0，M=N2=0.5F=0.5x20=10(kN)

(2)求C点的水平位移与铅垂位移。

N.IlOOOOAfx1000mmc

A点的铅垂位移：A/,—=------------z---------=0.476mm

EAt210000/mm~x100mm~

B点的铅垂位移

NJ_10000Nxl000〃〃"

=0.476/71/n

M22

EA2~210000^/mmX100/WH

1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3

杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB为刚性杆，可以

得至IJ

C点的水平位移:Ac//=A-=-tan45°=0.476(,”⑼

C点的铅垂位移：Ac=A/i=0.476(mm)

［习题2-12］图示实心圆杆AB利AC在A点以钱相连接，在A

点作用有铅垂向下的力尸=35kN。已知杆AB利AC的直径分别

为4=12mm和d2-15mm，钢的弹性模量E=210GPa。试求A点在铅

垂方向的位移。

解：(1)求AB、AC杆的轴力

以节点A为研究对象，其受力图如

图所示。

由平衡条件得出：

Zx=O:sin300sin450=0习题2-13图

NAC-NAB

NAC=®AB.....................(..a)

>y=0:NACCOS300+NAKCOS450-35=0

6NAC+^NAB=M...........(b)

(a)(b)联立解得：

NAB=N\=18.117kN;

=25.62UN

NAC=N2

产*2

(2)由变形能原理求A点的铅垂方向的位

移

N1、

2EA2EA

*12

式中，L=1000/sin45。=1414(〃〃”)；l2=800/sin300=1600(mm)

222

A=0.25x3.14x122=113mm;A2=0.25x3.14x15=177mm

1181172X1414256212X1600

故:△A-----(--------------H)=1.366。〃，”)

35000210000x113210000x177

［习题2-13］图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径

4=加机的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷载F。已知钢丝产生

的线应变为£=0.0035,其材料的弹性模量E=210GPa,

钢丝的自重不计。试求：

（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前

可认为符合胡克定律）；

（2）钢丝在C点下降的距离△;

（3）荷载F的值。

解：（1）求钢丝横截面上的应力

（y=Ee=210000x0.0035=735（MPa）

（2）求钢丝在C点下降的距离A

加=".735x就=7（由）。其中，AC和BC各

EA

3.5mm。

cosa=-1Q0Q-=0.996512207

1003.5

a=arccosG100°)=4.7867339°

1003.5

A=1000tan4.78673390=83.7(mm)

(3)求荷载F的值

以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得:

ZV=O：2Nsina—尸=0

P-2Nsina=2aAsina

=2x735x0.25x3.14xl2xsin4.787°=96.239(N)

［习题2-15］水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑，如图，在

杆的A端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为

Al=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性

模量E=210Gpa,求：

(1)端点A的水平和铅垂位移。

(2)应用功能原理求端点A的铅垂位移。

解：⑴

［於=尸，有*=尸

k=3F/l3

Ev(X|)=•？//3dx=F(X"/)3

FN3cos45°=0

<-FNl+F2-FN3sin45°+F^0

—尸xO.45+51XO.15=O

F］=-60KN,6=-401KN,6=OKN,

由胡克定理，

-60x10-XQ.1587

9-6

EA}210X10X12X10

7

A/40X10X0.15_176

26

EA2210x1()9X12X1CT

从而得，AAX=A/,=4.76,

A4y=△/,x2+△/］x3=20.23(1)

(2)

Ve=FxAAy-FxxA/j+F2xAZ2=0

My=20.33(J)

［习题2-17］简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度/保

持不变，斜杆AB的长度可随夹角。的变化而改变。两杆由同一

种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆

内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：

(1)两杆的夹角;

(2)两杆横截面面积的比值。

解：(1)求轴力

取节点B为研究对象，由其平

衡条件得：

2y=。

NABsin。一/=0

£x=0

-NABCOS0-NBC-0

F

N=-NARcos。=--cos。=FcotO

BC''B初夕

2-17

(2)求工作应力

°=NAB_F

A.Arsine

—一Ntic一Fcot0

CTBC-——-F

A"CABC

(3)求杆系的总重量

W=y(AABlAB+ABClBC)□/是重力密度(简称重度,

单位：kN//)。

—7(cos~3+A，)

+Ape)

=/'cos»n

(4)代入题设条件求两杆的夹角

条件①：“胃山'

Fcut®

条件⑵：W的总重量为最小。

焉+……上+2

/cot。_Flycos。

y*/(-------------------1----------)=-----(--------------1-------

[(risingcos。[a][a]sinOcos。sin。

_Fly(1+cos28]_2F//61+cos20、

[<r][sin6cos。,[a]、sin23)

从卬的表达式可知，卬是。角的一元函数。当W的一阶

导数等于零时，W取得最小值。

dW_2F//(-2cos^sin^-sin2^-(1+cos20)CQS20

dO[a]、sin220)

・20八3+cos20-八八八

-sin-20---------------cos20-2=0

2

-sin226-3cos26-cos220=0

3cos2。=-1,cos2。=—0.3333

20=arccos(-0.3333)=109.47〃，0=54.740=54"44’

(5)求两杆横截面面积的比值

Fcot0

----------,A=

[cr]sin^------R--C-------[a]

AAB_[cy]sm3_1_1

ABCFcot3sin。cot。cos。

[cr]

因为：3cos2。=-1,2cos2。-1=-,，cos2^=-

33

cos0=-j=，——=也

V3cos6

所以：强=百

ABC

[习题2-18]一桁架如图所示。

各杆都由两个等边角钢组成。

已知材料的许用应力

团=l70MPa,试选择AC和CD

的角钢型号。

解：(1)求支座反力

由对称性可知，

RA=RB=220AN(T)

(2)求AC杆和CD杆的轴力

以A节点为研究对象，由其平

衡条件得：

2-18

RA.N.Ccosa=0

N==—=366.667(kN)

AC。sina3/5

以C节点为研究对象，由其平衡条件得:

E^=0

NCD-NACcos(7=0

220

NCD=NACcosa=市X4/5=293.333(kN)

(3)由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号

AC杆:

366667N

A/(c—N,、c-2156.86”〃〃2-21.569cm2

Q]HQN/mm2

选用21—80x7(面积2xl0.86=21.72c加2)。

CD杆：

>NCD293333N

A。。=1725.488，〃〃/=11.255cm2

-匕]170N/mm2

选用21—75x6(面积2x8.797=17.594c*)。

［习题2-19］一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH都由

两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力匕］=170A/Pa,材料的

弹性模量E=210Gp4，杆AC及EG可

视为刚性的。试选择各杆的角钢型

号，并分别求点D、C、A处的铅垂

B%

位移△»、△(;、△卜。lOOkN/mz

Eg

300kN归吸)L8ntEl

解：(1)求各杆的轴力LUCM

32

心=亍乂300=240(n00.8mI3.2m

AQ

NCD=^X300=6(W)

IX=。

NGHX3—300X1.5—60X1.2=0

2-19

%=’(450+72)=174(AN)

NEF+174-60-300=0

3=186(&N)

(2)由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号

AB杆:

%=240000N4]].765荷=14.12加

fcr]llON/mm2

选用21—90x56x5(面积2x7.212=14.424c”/)。

CD杆:

,、乂。60000N.2…2

A>----=----------=352.941〃?"？=3.529c，〃

r°。n[cr]nON/mm2

选用2L.40x25x3(面积2x1.89=3.78c/)。

EF杆:

“、NEF186000N,2

A>——=-----------------7=1i0n9ny41.11118Omm"=10.412cm~

FF[a]llON/mm2

选用21—70x45x5(面积2x5.609=11.218。/)。

GH杆:

AGH>乜^=174000N=1023.529”/=10353c/

[cr]17O7V//nm2

选用21-70x45x5(面积2x5.609=1L218CM)。

(3)求点D、C、A处的铅垂位移金、金、、

N.AJB,A.B240000x34006，c,cr,、

△LAB=--------------=2.694«2.7(/WM)

EAAB210000X1442.4

Nl60000X1200co、

△,CDC8DCD=------------=0.907(机机)

EACD210000X378

NEFI1EF186000x2000

△IEF1.580(/71/71)

EAhFFr210000x1121.8

lNI174000x2000

A/-、GH(GH1.477(mm)

E'GH210000x1121.8

EG杆的变形协调图如图所示。

△o-[GH_

/~

AD-L477_1.8

1.580-1.477-

金=1.54(mm)

△c=A。+/co=1.54+0.907=2.45(加优)

△A=/.=2.7。加)

[习题2-21](1)刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受

力如图所不。已知钢杆AC和BD的直径分别为4=25根用和

d2=18mm，钢的许用应力㈤=llOMPa，弹性模量£=21OGPa。试校

核钢杆的强度，并计算钢杆的变形A“、XBD及A、B两点的竖

向位移△八金。

解：(1)校核钢杆的强度

①求轴力

NAC=3x100=66.667伏)N

NRC=[x100=33.3330WV)

②计算工作应力

_心_66667N

“"。-7^7-0.25X3.14x252〃/

135.882MP4

NBD33333N

°■切=.

222-21

A,BD0.25x3.14xl8mm

=131.051MPa

③因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力

170MPa,即-w［b，所以AC及BD杆的

强度足够，不会发生破坏。

(2)计算及BD

加5二66667x25。。二壁加所)

ACEAAC210000X490.625

NB3D33333X2500、…，、

A/„=RDBD=-----------------------------=1.560(加加)

BDEABD210000X254.34

(3)计算A、B两点的竖向位移5、金

△从==L618(m/n),金=八(。=1.560(mm)

［习题3-2］实心圆轴的直径d=100/wn,长/=其两端所受外力

偶矩”"14AN.〃…材料的切变模量

G=SOGPao试求:

(1)最大切应力及两端面间的相对转

角;

(2)图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向;

(3)C点处的切应变。

解：⑴计算最大切应力及两端面间的相对转角

TM

r=--=---eo

WW

pp

式中，％=-L㈤3=J_x3]4]59xio()3=1963495nM3)。3-2

P1616

4

点切4=_X3.14159X100=9817469(加加4)。故:

14000N-mx1/7?

=0.0178254(a/)=1.02

G77-80xl09^/m2x9817469xl0'l2/n4

（2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向

J=%=/ax=7L302MPa,由横截面上切应力分布规律

可知:

%=g2=0.5x71.302=35.66M4,A、B、C三点的切应

力方向如图所示。

（3）计算C点处的切应变

［习题3-3］空心钢轴的外径。=100〃?〃?，内径d=50nwn。已知|可距

为/=2.7加的两横截面的相对扭转角8=1.8",材料的切变模量

G=S0GPao试求:

（1）轴内的最大切应力；

（2）当轴以〃=80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。

解；（1）计算轴内的最大切应力

44444

Ip=-L/rf）（l-a）=^x3.14159xl00x（l-0.5）=9203877（wm）

o

^D3(l-cr4)=X3.14159X1003x(l-0.54)=184078(/w??3)

式中，a=dlD.

Tl

24

.(PGI1.8x3.14159I/1—8_0_x_8_00—0_0_N_/_m__m___x_9__2_0_3_8__7_7_m_m________________________

/2700znm

=8563014.45N•加加=8.563/N•加)

T_8563014.45N•mm

「max=46.518〃4

W^~~184078加〃?3

(2)当轴以〃=8(k/min的速度旋转时，轴所传递的功率

NN

T=M=9.549」=9.549x」=8.563(kN-m)

en80

Nk=8.563x80/9.549=71.74/W)

［习题3・5］图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转

的切向作用力F均为0.2kN,已知轴

材料的许用切应力⑶=40MPa,试求：

(1)AB轴的直径；

(2)绞车所能吊起的最大重量。

解：(1)计算AB轴的直径

AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶

矩相等：

M<%=A/,右=0.2x0.4=Q.08(kN'm)

"主：动轮=2M“，=0.16(kN•⑼

扭矩图如图所示

3-5

由AB轴的强度条件得:

也右16机右

（2）计算绞车所能吊起的最大重量

主动轮与从动轮之间的啮合力相等:

主动轮_"e从动轮

也从动轮=诲＞0/6=0.2835

由卷扬机转筒的平衡条件得:

PxO.25=M，从动轮,Px0.25=0.28尸=0.28/0.25=1.12(kN)

［习题3-6］已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径。=60加加，

内径d=50/nm,功率尸=7.355女W,转速〃=18（k/min,钻杆入土深度

1=40m,钻杆材料的G=80GMPa,许用切应力⑺=40M&。假设土

壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：

（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度加；

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；

（3）两端截面的相对扭转角。

解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度机

M.=9.549”=9.549x七星=0.390/N•机）

'n180

设钻杆轴为x轴，贝（J:X".、=。，血=，

=O.OO975(0V/m)

(2)作钻杆的扭矩图，并进行强度校核

①作钻杆扭矩图

039

7(x)=-mx=-x=-0.00975X。xe[0,40]

40

T(0)=0;7(40)=Me=-0.390(^•m)

扭矩图如图所示。

②强度校核，小二£

式中

W,=—7iD\l-a4)=—x3.14159x603x[l-(—)4]=21958(mm3)

p1616

M390000N•加团

「max=-=e---------------=17.76IMP。

W21958加m3

因为7,max=17.761MP。，⑺=AOMPa，即r,max<[r],所以轴的强

度足够，不会发生破坏。

(3)计算两端截面的相对扭转角

「。T(x)dx

(p=---------

GIp

式中，

'=*a1X'14159X6()4X[1-(黑)寸=658752(如/)

^\T(x)\dx1」0.00975*

A62-124

」)GIpGIp80x10/mx658752x10m2

=0.148(raJ)«8.5°

[习题3-8]直径d=50加机的等直圆杆，在自由端截面上承受外力

偶%,=6kN-tn,而在圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所

7J\o已知As=4A]=3机机，圆杆材料的弹性

模量E=210GP〃，试求泊松比丫（提示：各向同性材料的三个弹性

常数E、G、।/间存在如下关系：G=---o

2（1+1/）

解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：T=Me=6kN-m。设。⑼两截

面之间的相对对转角为°,则心=夕＜，夕=2，§=式

2aGIpd

中,I=—/rdA=—x3.14159x504=613592（mm4）

「n3232

3-8

6xIO,N•mmx1000mmx50mm

=81487.372MP。=81.4874GP。

23s2x613592mm4x3mm

210

由G心得:联J=—1=0.289

2G2x81.4874

［习题3-10］长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实

心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为山

空心轴的外径为D,内径为do,且々=0.8。试求当空心轴与实心

轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（%小⑺），扭矩T相

等时的重量比和刚度比。

解：（1）求空心圆轴的最大切应力,

并求D。

T

〜=—

%

式中，=_L加）3（1_/）,故：

16

16T27.17—

Z—____________________—_________—I工I

m”•空—必3（］_084）一心

D3=27.1T

乃田

3-10

(1)求实心圆轴的最大切应力

16T16T.1

「max—,式中，,故:‘2实=”=5

%一6

"3工3_27.177r[r]

1.69375，1192

币］7T[r]16T7=

(3)求空心圆轴与实心圆轴的重量比

-----=-------------------------------=(—)(1-0.0)=0.30(—)=O.Jox1.192=0.512

W实0.25^/~-Z•/dd

(4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比

/冷=—TZD4(1-0.84)=0.01845^D4,I寸=—^/4=0.03125^/4

八•32「头32

==05904(2)4=0.5904x1.1924=1.192

加■*

G1P0法之0.03125d

［习题3-11］全长为/,两端面直径分别为的圆台形杆，在两

端各承受一外力偶矩出

,如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。

解：如图所示，取微元体公，则其两端面之间的扭转角为：

Mdx

d(p=e

GIp

式中,I=—701^

P32

r-r}_x

r2-r\7

r,~rd-d4

r-x-x+r.-2xx+

I1212

d=2r=-------x+dt

4

*=隹言乂+叱=u

do-di

du=-------ax，axdu

2

故

M,,dxMfM,f32dx_32%,.du

edx_G'd"32MJ

GI~~G丁万』b47lG/Jd?一47iG(d-J))

pnd21”

32M‘Ifdu_32MJ__1_z32MJ]

7iG(d2_4)1丁--4)―犷°371G((!)一4)3

d2一dIL

------x+dl

0

32MJ11132MJd；-d「+d4+"

3Tzem2-4)(尾d：)371G(d、一d?)371GId；d；

［习题3-12］已知实心圆轴的转速〃=300”min,传递的功率

p=330HV，轴材料的许用切应力⑺=60Mpa，切变模量G=80GPa。

若要求在2m长度的相对扭转角不超过「，试求该轴的直径。

解一老得“喘

式中，M9.549”=9.549x侬10.504(^.m);I。—7Ol4o故:

n30032

,、180叫/

/”2------------,

P7lG327lG

32x180/J_32x180x10.504xlO6^•mmx2000mm

J>44111.292mm

兀2G3.142x80000/V/zwn2

取4=111.3mmo

[习题3-L6]一端固定的圆截面杆AB,承受

集度为〃，的均布外力偶作用，如图所示。试

求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量

为G。

T2(x)dx_m2x2dx_16m2x2dx

2GI„~_：一㈤4G

P2Gr——7ol

32

16m2,2，16m2/3m2l3m2l3

____IYdx—==_____3-16

血4G卜'3就4G____1,4^6G1„

6—7idG0

32

[习题3-L8]一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝

直径4=10加根，材料的许用切应力⑶=500MP”，切变模量为G,弹

簧的有效圈数为〃。试求：

（1）弹簧的许可切应力；

（2）证明弹簧的伸长F

A=翳区+此X猫+对）。由一

解：（1）求弹簧的许可应力

用截面法，以以簧杆的任意截面取

出上面部分为截离体。由平衡条件可知，一.

在簧杆横截面上：小公

剪力。=/扭矩T=FR

最大扭矩：rmax=FR2

...QTmax^F16FR,16FR,八d、，

「max=T+T=—+^-=—7+——#=——F(l+——)<

A卬出2出3欣34R

M/3[r]3.14x103/nw3x500N/mm2

957.3N

16色(1+靠)16xl00i+U^)

因为。/d=200/10=20>10,所以上式中小括号里的第二

项，即由Q所产生的剪应力可以忽略不计。此时

3.14xx5OON/mm2

981.25N

16x100mm

16R,(1+——)

24号

(2)证明弹簧的伸长A器…5)

川二巨Ml

夕卜力功：W=-FA

22Glp

3

m(FR)2(Rda)F2Am

闺+-a]da

2Glp2GlpJ)2m2

P

尸为F；-R：

西.R「用

R；-R：

W=U,=

24GlpR2~R\

Fm

A=-----

2Glp

[习题3-19]图示矩形截面钢杆承受一对外力偶3攵M〃?。已

知材料的切变模量G=80GPa,试求:%

(1)杆内最大切应力的大小、位置ST

和方向；

(2)横截面短边中点处的切应力；

(3)杆的单位长度扭转角。

解:(1)求杆内最大切应力的大小、位置和方向

A_90_

7=4,4=温，飞"片面=L5由表得.

a=0.294.，=0346.v="858

4=0L294X60*xlO-0=381xW,m4

»；=0.346x605xW*=74.7xlO-,m,

T3000

=40.2MPa

瓦~74.7x104

长边中点处的切应力，在上面，由外指向里

(2)计算横截面短边中点处的切应力

J==0.858x40.2=34.4Mpa

短边中点处的切应力，在前面由上往上

(3)求单位长度的转角

30001ST

----------=----------------s-X-------=0.564*An

80xl0*x381xWex

单位长度的转角

［习题3-23］图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚

及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端

承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：

(1)最大切应力之比;

(2)相对扭转角之比。

解：(1)求最大切应力之比

开口.「一加/

，I।T.'ax,开U一,

开口环形截面闭口箱形截面

3

=