数理方程第二版课后习题答案

第一章曲线论

§1向量函数

1.证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

略

2.求证常向量的微商等于零向量。

证：设F=展，twI为常向量，因为

r(t+dt)-r(t)_

lim------=0

ZtGE。At

所以声=0。证毕

3.证明

d件)、=叫Mt)-F(t)d(t)

证：

色㈣

小年⑹at

讲(t)/(t)一五。，(t)

PW

证毕

4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,

则此向量在该区间上是常向量。

证：设F=f(t)={x(。y(t)式。},tw/为定义在区间［上的向量函数，因为

汽t)在区间I上可导当且仅当数量函数Mt),和工©在区间I上可导。所以，

vtoGI,根据数量函数的Lagrange中值定理，有

%⑴=x(tQ)+/⑸(t-t0)

巩0=式、)+G-%)

式t)=式3+/⑻a-%)

其中无，&2,%介于电与弋之间。从而

?=={x(t)y(t)式切

=+善炳)jKt(j)+火&-3式％)+£(班W-3:

=任(城式城式3}十日伊。/W4%)寿-%)

=石+武t-10)

上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中仔=0'(%)4%)，(式。如果在

区间I上处处有机(t)={x'(t)yl(t)z(t)}=0,则在区间I上处处有

k'(t)=y'(t)=。，从而5={*'(%)才(")}=0,于是齐=%。

证毕

5.证明笊=六t)具有固定方向的充要条件是手X9=0。

证：必要性：设m=六。具有固定方向，则亍=汽。可表示为3==p(t)羡

其中p(t)为某个数量函数，[为单位常向量，于是MxG=p(t)d(t)\x2=。。

充分性：如果FxF=o,可设7wo,令F=F(t)=其中Q(t)为某个数

量函数，代。为单位向量，因为F=p'G)3(t)+p(t)M；。，于是

rxr*=oxk'COKt)+pGW(t)]=。tp2(t)[s(t)Xa1(t)]=0

因为干W。，故p2(t)W0,从而Kt)X矛(t)=0T[式t)X3<t)]2=0T

心潞黑卧。T；心』”铲…小)=0"(好

为常向量，于是，r==即工=汽»具有固定方向。证毕

6.证明后=之。平行于固定平面的充要条件是⑦汽声')=0。

证：必要性：设亍=穴土)平行于固定平面，则存在一个常向量落使得丙=。，对

此式连续求导，依次可得而'=。和pr"=0,从而F,rf,和产共面，因此

(r,r*,r")=0。

充分性：设任,鹃声)=。，即&X声""=0,其中，如果亍X声=0,根据第5题

的结论知，彳=具有固定方向，则彳=F任)可表示为不=F(t)=p(t)3,其中

p(t)为某个数量函数，Z为单位常向量，任取一个与Z垂直的单位常向量E,于是

作以书=3x寺为法向量过原点的平面！r,则F平行于殂。如果京xFw。，则F与产不

共线，又由苗己声)=0可知，?,声，和”共面，于是和=口«"十年(。声，

其中p(t),中(t)为数量函数，令7=rXrf,那么i?=FXr"=<p(t)n,这说明品与

济共线，从而济X转=。，根据第5题的结论知，属具有固定方向，则咒=云(。可

表示为转=武。=？©£其中双t)为某个数量函数，芯为单位常向量，作以营为

法向量，过原点的平面在，则信平行于需。证毕

§2曲线的概念

1.求圆柱螺线彳={cost,Sint,*在点(1,0,0)的切线与法平面的方程。

解:*={-8111t,CO8t,l},点(1篇,0)对应于参数*=0,于是当t=。时,+=[1,0,0),

=[0,14},于是切线的方程为：

X-1y

l

法平面的方程为

y+r=0

2.求三次曲线不=匕，"2,大2)•在点”处的切线和法平面的方程。

解：*=口2蛇3d2},当&="时,F=也电/端c蜡},产={%2峋,3c舟,

于是切线的方程为：

x-a_y-bt^CZQ

a2bta3。蛤

法平面的方程为

a(x-ct)+2bta(y-b诏)+3c咯(w-c培)=0

3.证明圆柱螺线F={acost,ashit,bt)的切线和z轴成固定角。

证：F={—a-sintfaccst,b}

令&为切线与w轴之间的夹角，因为切线的方向向量为F={-asintcostrb},s

轴的方向向量为1={0,0，},则

八Fb

cosv=—―3-=,

|河IMVa2+b2

cb

&=arccog-：=

Va2+b2

证毕

4.求悬链线i5={a&acosht}(-8vtV+«>)从£=0起计算的弧长。

解：声={arasinht}

Va2+(asinht)2dt=a|jcoshtdt=a|sinht|

Q

5.求抛物线了=b/对应于一a$#$a.的一段的弧长。

解：y'=2bx

s=J?+y,2dx

=IV1+4b2x2dx=2jV1+4b2x2dx=-J+(2bx)sd(2bx)

=g1bxj1+4rb52+^ln^2bx+4T+4b2%2IE

=a-Vl+4a2产+或屈^2ab+y1+4a2b2

6.求星形线霹=a(5>8t)s,F=a(slnt)a的全弧长。

解：

s=41"J4"+j/2dt=12aI-sintcostdt=6a

JQ/Q

1.求旋轮线*=c(t-skit),y=a(l-co")对应于0St£2IE一段的弧长。

解：

2n「新「

|以―+严dt=v2aVl-aos£dt=2aIsin-dt=8a

Q

8.求圆柱螺线下={3acost,3asmt,4at}(-sVt<+s)从它与0*y平面的交

点到任意点M(t)的弧长。

解：圆柱螺线孑={3&00$030811104£14与0”¥平面工=0的交点为（3£1,0,0）,交

点对应的参数为&=点而4={-3a-sint,3a-GOSt,4a),

s=|J|rf|dt|=|J,32a24da2dt=5afdt=5a|t|

Q

9.求曲线—=38）,2%工=a2在平面》=g与平面y=之间的弧长。

解：取工为曲线参数，曲线的向量参数方程为:

a?

E获

xia2

xia2

1网1=—砂十+—公2

平面¥=申对应于参数*=a,平面尸=9a对应于参数x=3a,

『阂=r（,+枭）曲=以

10.将圆柱螺线于={acosslnt,bt}化为自然参数表示。

解：rl=(-aslnt,acost,b},因为自然参数

2222

=式。=1|F|dt=ya+b［由=V'«-+b1其中f泥t<0均可

所以4K,于黑

bs

r=(acosta={acos____==ra-------r，-------y1

rVa2+b2Va4+

11.求极坐标方程？=p(d)给定的曲线的弧长表达式。

解：极坐标方程9=口(0)给定的曲线的方程可化为向量参数形式:

r=(p(0)cos&p(&)sin处

r1={，(&)cos&-p(&)sin8。'(3)sin8+P(8)cos8}

s=]|河由=/¥[/?伊)产+产面rB>a

*a*n

§3空间曲线

1.求圆柱螺线木={acost,a.ski，bt}在任意点的密切平面的方程。

解：密切平面的方程为

-acostY-asintZ-bt

—asintaco8tb=。

—acost—aslot0

即ab81nt(X-acost)-abcos£(K-astnt)+a2(Z-bt)=0

2.求曲线R={tsinGtcostfteq在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、

主法线、副法线的方程。

解：r={tslnt,tcost,t

r1={sin14tcost,cost-tsint,(1+t)

r"={2cost—tslut,-2slat—tcost,(2+t)ec}

原点(o,ao)对应于参数t=o,于是在t=o处，

r=(0A0}

r*={0X1}

r"=2{1A1}

r*Xr,r1

[14,-1}

\rlXr"|—岁

6=/Xa=

密切平面的方程为

J+r-z=o

副法线的方程为

-=-=---

11-1

法平面的方程为:

r+z=o

切线的方程为

C11

从切平面的方程为

2X-r+z=o

主法线的方程为

£_r_z

Q一五一父

3.证明圆柱螺线F={acost,aslnt,bf）的主法线和w轴垂直相交。

证：r={acostrQslntrbt}

l

r={-aslntracostrb}

rn={-acos，—asin,。}

"丙"1帝加一。Slntrtt8s,㈤

FX和1

F=F7^=砂83©

p=yXa={—cost,—sint,0)

一方面，主法线的方程为

X-acost_Y-bsint_2-it

costsint0

另一方面，过圆柱螺线#={aco8t,a8hit,bt)上任意一点M(aco8£:,aslnjbt)

作平面7r与三轴垂直，无的方程为Z-bt=O,无与w轴的交点为N(0,0*£),过时与N

的直线显然与w轴垂直相交，而其方程为

X-acost_Y-bsint_Z-bt

costsint0

这正是主法线的方程，故主法线和嚣轴垂直相交。证毕

4.在曲线孑={cosacost,ccsaslnt,tslna}的副法线的正向取单位长，求其端点

组成的新曲线的密切平面。

解：令a=cosa,b-sina,则曲线的方程可表示为：

22

Ctir={acost,asint,bt}ra+b=1

设G的副法线向量为宜则有

¥=75：—,={bslnt,"bgztro)=1bsln±-bcosta}

『'Xr"lVaa+i>2r

根据题意，新曲线的方程可表示为

C2：p=r+r={acost+bslnt,a-81nt-bcost,a+bt}

将a=cosa,b=slna代入上式，整理后，得

C2ifi={cos(t-ar),81n(t-a),(slna)t+coscr)

p1={-sln(t—a),cos(t—cr),sina)

n

p={-cos(t-a)r—sln(t—a)r0}

p'Xp"={sinasln(t-a),—sinacos(t—a),l}

于是新曲线Cz的密切平面为：

sina81Mt-a)[X—cos(t—a)]—slnacos(t—a)[V—sina]

4Z—(slna)t-cosa=0

即：

sinasln(t—a)X—sincecos(t—a^Y4-Z=(sincr)t+cosa

5.证明球面曲线的法平面通过球的中心。

证：设曲线(C):孑=之£)为球心在原点，半径为a的球面上的曲线，其中S为自然

参数。曲线(。上任意一点。(。点的向径为？)处的基本向量为充J,yo则有

(1)产=a2

上式两边关于s求导，得

(2)ra=0

设3为法平面上的点的向径，则曲线(。上任意一点夕处的法平面的向量方程为

(3)a1(p-的=0

根据(2)式p=0满足方程(3),故法平面过原点。证毕

6.证明过原点平行于圆柱螺线F的副法线的直线的轨迹是

2a2a

锥面a(X&+y)=bjo

证：r={acost,asint,fet}

(

r={-aslntracostrb}

,r

r={—acostr—asint,0}

l西西一广八…，叼

设过原点(0。0)且与S平行的直线上的点为(无匕力，则直线的方程为

XYZ

bsint-boosta

化为参数方程，得

(Jr=(hslnt)«

jf=-(bslnt)u

1z=au

则有M(12+〃2)=b2Z2

这说明直线上的点(x,y,z)都在锥面於(炉+/)=//上。证毕

7.求下列曲线的曲率和挠率。

(1)r=(a.cosht,asinh%at),(3)r=(a(3t-ta),3ata,a(3t+ta))

解：对于曲线⑴

r*=(asinht,acosht,a}

r*f={acosht,asinht,0}

/”={asinht,aco-sht,0}

_|r*Xr,e|_1

氏一|刊&—2a(cosht)2

|r(Xr11!1Z*(msht)2

对于曲线⑵

r*=3a(l-13,2t1+12)

r*1=6a(-t,I,6

=6a{-l,0,1)

评Xr*f|_1

|?|3=3a(t2+1-

(声,〃#“)_1

廿x利|2=3a(t2+I)2

8.给定曲线7=Kco808，Glnt）a,cos2t},求（1）基本单位向量瓦f；（2）

曲率和挠率；（3）验证伏雷内公式。

解：对于给定曲线，有

34.

r=——sin2t[cestr-sint,—

⑵dr=--sln2t(cost,-sintf

«-------5

⑶ds=y(dr)2="|sia2t|dt

.dr34

⑷=s--(wst,-sint,j}

其中，s=±1

-4而d*dt6,e~

(5)a=-=----=slnt,-cost,0)

ds出而25|sdin3t|1'

(6)§=-3-=a{-sint,.-cost,0)

㈤

，、..-43

(7)Y=aX£=-{cos匕-sint

(8)%=|由=।[

Z5|sin3q

,.Adycfydt8、

(9)y=—=―—―=———~~—{—sint,-cost0)

、八曲dt而25|sin2£llff

.43

(10)T=-2=-两而而

根据⑸(6)(8)式可得者=席,根据⑹(9)(10)式，可得；=一才，又根据(6)式,得

*Md^dt2.、

p="T-=rr=TV~,~Z-T{-COSt,sint,0}

dsdtcfs15|sln2tll>

另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得

一2

—ka+T?=—————{—cost,sin01

f5|siu2t[l)

从而，6=-ka+rfo

9.证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。

证1：设曲线(。的向量参数方程为：r=r(s),其中s为自然参数。(。上任意一

点。(。点的向径为3)处的基本向量为品，f,丸因为(。在尸点处的切线都经

过一定点Q(Q点的向径设为格)，所以另一布与日共线，进而有

(1)(彳一3)X星=0

上式两端关于S求导并利用Frenct公式，得:

(2)k(r-rQ)X=0

⑵式中的方为（。在。点处的曲率。又（2）式中。，这是因为如果

行一石）X#=0,则齐一年同时与信和户共线，但这是不可能的，因为金和户是相互

正交的单位向量。从而根据⑵式有4=0,即（。是直线。证毕

证2：设曲线的方程为；=；«）,因为曲线上任一点】的切线经过一定点则

r-ro与r共线，但r=（r-ro）,于是r一ro与（r一ro）共线，从而

（r-ro）x（r-ro）'=0,由此可知r-「0具有固定的方向，即厂-与一个常向量p平

行，于是r-ro=/l万，或r=ro+Xp,这说明曲线上的点r都在以p为方向向量，

过点［的直线上，所以曲线为直线。证毕

10.证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。

证：设曲线（Q的向量参数方程为：r=T（S）,其中£为自然参数。曲线（。上任意

一点0（。点的向径为钙处的基本向量为落S,我因为我们只研究不含逗留点

的曲线（参见教科书P.31的脚注），即才X?W0,

而

4u•|rXr|

r.XrWO…='-aW0

即（。上任何点的曲率土W。。

设(。在。点处的密切平面都经过一个定点Q(Q点的向径设为将)，则于一而为

(。在。点处的密切平面上的一个向量，从而有

(1)=0

(1)式两端关于s求导并利用Frenet公式，得：

⑵手行一希)情=。

⑵式中的T为(0在。点处的挠率。

由⑵式可知，帘=0或者一%)情=0

但件一%)4学0,因为如果行一石)情=0结合(1)式，可知宁一市与糖共线，于是

(3)(r-ib)Xa=0

(3)式两端关于5求导并利用Frenet公式，得：

(4)机不一石)X，=0

(4)式中的R为(。在。点处的曲率。因为之=0,所以&一%)xB=。,结合(3)

知不一而同时与厘和。共线，但这是不可能的，因为关和自是相互正交的单位向量。

这个矛盾说明一而)W0,于是由(2)式可知，只能雷=。，曲线(。是平面曲

线。证毕

11.证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量£则此曲线是平面曲线。

证1:设曲线(。的向量参数方程为：r=r(s),其中s为自然参数。(。上任意一

点。(夕点的向径为了)处的基本向量为武瓦Fo因为(。在。点处的法平面都

包含常向量"则有

(1)ea=0

注意到，⑴式两端关于s从办到s求积分，得：

(2)s[r(s)-抬>>1=0

(2)式说明曲线(。在以常向量芯为法向量且过点为s。的平面上。证毕

证2:设曲线(。的向量参数方程为：r=r(s),其中5为自然参数。(。上任意一

点。(。点的向径为的处的基本向量为电，，；o因为我们只研究不含逗留点的

曲线(参见教科书P.31的脚注)，即rXr^O,

而

『。一无=喀1金。

即(Q上任何点的曲率无W。。

因为(。在0点处的法平面都包含常向量/则

(1)表=0

上式两端关于s求导并利用Frenct公式，得：

⑵族口=0

因为“不0,所以

⑶9^=0,

结合⑴式可知[与3共线,从而

⑷3X予=0

(4)式两端关于S求导并利用Frenet公式，得：

(5)raXP=0

(5)式中3X^00,否则，根据(3)式，=0和3,=0将同时成立，即0既与

3平行，又与？垂直，这是矛盾。于是只能是工=0,所以曲线(。是平面曲线。

证毕

12.证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。

证：设曲率为常数笈的空间曲线(。的向量参数方程为：：？=改5)，其中S为自然参

数。(。上任意一点。处的基本向量为嬴J，r,曲率半径为又设(Q

的曲率中心的轨迹为r,『的曲率记为町根据题意，r的方程为

(1)$=中十或

⑴式两边关于S求导，得

⑵歹=所『

(3)pn=R(—72g+卡的

⑷式说明『的曲率［也是常数且E=后。证毕

13.证明曲线(。：■?=Q+3t+2t2,Z-2t+5t2,1-为平面曲线，并求出它

所在平面的方程。

解:

r,=(3+4t,-2+lOt,-2t)

r*f={%10,-2)

F"=fO,0,0}

G护剂f)

=0

~(PXr")2

由上式可知，(。为平面曲线。

令t=0,则有

r={1,2,1)

r*=岸，-2,0}

r"={4,10,-2}

产=他0r。}

声X声=2(2,3,19)

(。所在平面的方程为2(x—1)+3(y-2)+19(r-1)=0o

14.设在两条曲线G和Cz的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线

平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行。

证：设曲线，的方程为五=%5),SW4,其中S为q的自然参数，曲线的方程

为力=年⑶，歹2为，其中京为曲线小的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则

曲线，于是曲线q上的点广和区间4内的参数s一—对应，曲线G上的点Q和区间与

内的参数§一一对应，如果两条曲线的点尸与。之间建立了一一对应关系，则对应

的参数$与5之间也建立了一一对应关系，从而

⑴§=虱£)

设诙，瓦，和式为曲线C1在点尸处的基本向量，a2,fiz,和克为曲线Cz在点。处

的基本向量，曲线q在点P处的曲率和挠率分别记为方和r,曲线/在点。处的曲

率和挠率分别记人为和获如果两条曲线总保持在对应点P与。处的切线平行，则

有

⑵a2=晶，其中3=±1

⑵式两边关于手求导，得

(3)砾后=8也

从而，

⑷在=碓)偿招

(4)式说明C］和0在对应点P与Q处的主法线平行。又因为为=团通，由⑵式和

(4)式，得

⑸?"苞通=(3瓢

(5)式说明G和Cz在对应点P与6处的副法线平行。证毕

15.设在两条曲线q和q的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法

线总是相互平行，证明它们在对应点的切线成固定角。

证：设曲线S的方程为匕=之。)，sw其中s为q的自然参数，曲线&的方程

为年=为⑸，Jez2,其中§为曲线C2的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则

曲线，于是曲线q上的点P和区间4内的参数s一—对应，曲线q上的点Q和区间4

内的参数于一一对应，如果两条曲线的点尸与Q之间建立了一一对应关系，则对应

的参数s与考之间也建立了一一对应关系，从而

(1)⑶

设扁，瓦，和西为曲线G在点尸处的基本向量，感，风，和张为曲线G在点。处

的基本向量，曲线q在点P处的曲率和挠率分别记为由和5，曲线，在点。处的曲

率和挠率分别记而为和其如果两条曲线总保持在对应点产与。处的主法线平行，

则有

(2)质=或.，其中3=±1

根据(2)式，可得

(3),(«!,否2)=(两2+诙,(确第=/隔),心・%•(而遇3=°

设最与局之间的夹角为G,则根据(3)式,

(4)cos0=«]_•ct2=const

(4)式说明q和q在对应点f与Q处的切线成固定角。证毕

16.如果曲线q的主法线是曲线q的副法线，J的曲率和挠率分别为后和客，求证

南=。(区2+二)其中。是常数。

证：设曲线C1的方程为甚=之8),SW6其中F为q的自然参数，曲线c2的方程

为君=云(可，手64,其中手为曲线G的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则

曲线，于是曲线q上的点F和区间与内的参数s一—对应，曲线上的点Q和区间i2

内的参数$一一对应，如果两条曲线的点尸与Q之间建立了一一对应关系，则对应

的参数§与亨之间也建立了一一对应关系，从而

(1)9⑸

设电,禹.，和直为曲线G在点P处的基本向量，a2,#2，和％为曲线q在点＜?处

的基本向量，曲线q在点P处的曲率和挠率分别记为土和j曲线/在点Q处的曲

率和挠率分别记E为和口如果曲线q的主法线是曲线G的副法线，依题意，有下

面两式成立：

⑵%=8丸其中3=±lo

⑶&=京⑸+«$)氏0)

(3)式两边关于F求导，得

⑷Q偿)=金工+琉+t(-呵+而

整理(4)式，可得

⑸诙由-的副司噫胆叱嫡R

利用(2)式，在⑸式两边与瓦作内积，得

⑹f(新。

⑹式中由于

ds

故£=0,从而t=o•为常数，(5)式化为

⑺Q=[a-谴)信)+上偿)R=总+凡

⑺式两边关于S求导，得

(8)通(^•)=4A+(JfA-阳)无+成I

因为为=8瓦，上式两边同时与房作内积，得

(9)函一诏=。

根据⑺式，(9)式等价于

上"阳匐-了卜催)]=0

即

-ak)-a^2=0

从而，4=Ct(&2+3曰。证毕

17.曲线

r={a(t—sin-cost)f4aco-s-)

在哪些点的曲率半径最大?

解：解：对于给定曲线，有

(1)/—cost),sint,-2fin=a[2卜—分,2slu^cosy,

⑵2as^tn-{sin—cos——l}dt

2：

(3)dsV(dr)=2^2a\sin|dt

T

(4)a=cos—1)

其中，s=±1

4dadadtstt

⑸a=7T=3777=----------r-{cos-,-sln-,0)

dsdtdsga|sin£.|22

(6)k=\a\=----------z-

'>8als呜|

==

RBa|sln^|

⑺Tft/

根据⑺式，当t=(2Af±1>,«=0,±L±2,…时，A=8a最大。

18.已知曲线（Q:孑=丞⑶W上一点的邻近一点五s+As）,求点?（s+As）

到点火S）的密切平面、法平面的距离（设⑹在点穴5）的曲率和挠率分别为无和零。）

解：设曲线（。在点六s）的基本向量分别为法，，和彳，则点F（s+As）到点演工）的

密切平面和法平面的距离分别为

(1)内=|y[r(f+AP)-r(s1)]I=|y(乱+#⑶&s?"!•最的£)+可&N)|

⑵d2=|a[r(p+As)—r(p)]|=\a[r(s)Ls+](£)△—+,[r(y)+句Asa)|

其中,

因为

F(s)=a,氏s)=«(£，)=kg,

]=kg+k{—ka+T『)=—k2a十2，十AT?

将它们代入⑴式和⑵式中，得

111

⑶=|—kr&s3+—raA^a|—fchll^la

》J?)！

aa

(3)d2=|Ay-^-fcA?芮&?3|学|&ff—尚4%3|

19.如果曲线Qr=F(s)为一般螺线，其中s为r的自然参数。a,人?为C1上

任意一点。处的基本向量，R为G在。处曲率半径，证明：曲线&:

0=版一JB而

也是一般螺线。

证：曲线心的方程两边关于S求导，得

(1)p1=Aa

⑵p"=Ra-kA

(3)p1xpn=-kft2r

根据⑴式和(3)式，得

(g习与-=商=萌

其中a=±1

g-，'x，"-

⑹钎萨k-了

(7)&=向X«2-7®

因为曲线Cl：r=r{s)为一般螺线，故存在一个常向量市使得eP=Q从而,

(e)遍=-前B=。

(8)式说明曲线，也是一般螺线。证毕

20.证明：一条曲线(Q:7=轨$)为一般螺线的充要条件是®点V)=九

证：充分性：如果=。，则曲线(D)：#=齐(5)的挠率为零，(G为平面

曲线，于是存在一个常向量力，使得成=0,但不=&=々无故々前=。，因为我

们只研究不含逗留点的曲线(参见教科书P.31的脚注)，从而★装0,于是方3=0,

即(。为一般螺线。

必