新教材第五章函数概念与性质

第五章函数概念与性质

第5.2.1节函数的表示法

教材分析

形式化、符号化，是数学的重要特征，如所有的函数关系都可以用y=/(x)这个等式来表示，

不仅简单，而且也可加深对函数概念本质的理解.数学的发展引起了计算工具的改革和进步，反过

来，计算工具的广泛应用，又促进了数学的发展.因此学好函数的表示方法，是学好函数的基础，

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.a数学抽象：换元法、方程组法求函数解析式

2.掌握求函数解析式的常见方法.b数据分析：从图象上获取有用的信息

3.尝试作图并从图象上获取有用的信息.C数学运算：求函数解析式的运算

教学重难点

1.教学重点：函数的三种表示法

2.教学难点：求函数的解析式

课前准备

1.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x=l对称，且过点(0,0),则此二次函数的解析式可以

是()

A.於)=/一1B.Xx)=-(x-l)2+l

C.y(x)=(x—l)2+lD.7U)=(x—1)2-1

答案D

2.某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路,设在途中花的时间为t,离开

家里的路程为“，下面图形中，能反映该同学的行程的是()

J2JkJLJ!

oi7o\t7

ABCD

答案C

3.画出尤丘(0,3］的图象，并求出y的最大值、最小值.

解ynlx2—4x—3(0<v^3)的图象如下：

由图易知，当x=3时，ymax=2x32—4x3—3=3.

由y=2x2-4x-3=2(x-l)2~5,

.,.当x=l时，ymin=—5.

教学过程

函数的表示方法

(1)解析法：就是用翘来表示两个变量之间函数关系的方法.这个箜式叫做函数解析式.

(2)列表法：就是用幽来表示两个变量之间函数关系的方法.

(3)图象法：就是用图象来表示两个变量之间函数关系的方法.

典例剖析

类型一解析式的求法

例1根据下列条件，求犬x)的解析式.

(lW))=2x-l,其中_/U)为一次函数;

解由题意，设./(x)=ax+双存0),

则欢x))=W(x)+b=a(ar+6)+6

=crx-irab-\-b=2x-1,

/=2,

由恒等式性质，得

ab+b=-]f

a=­y[2,f

/?=1+^/2.

・•・所求函数解析式为

yu)=g+1一地或yu)=-y]2x+1+V2.

(2y(2x4-l)=6x+5；

t—1

解方法一设2x+l=f,则》=丁~

.•.9=6--5—+5=3£+2.

...於)=3x+2.

方法二五2x+l)=6x+5=3(2x+l)+2,

.,.火x)=3x+2.

(3y(x)+2/(—x)=f+2x.

解•.7U)+“(—x)=d+2x,

将x换成一x,得大一箝+觉的二/一不，

...联立以上两式消去,八一x),得3负》)=1一6x,

1,

・\/(x)=q.t-2x.

总结(1)如果己知函数类型，可以用待定系数法.

(2)如果已知八g(x))的表达式，想求凡*)的解析式，可以设f=g(x),然后把y(ga))中每一个X都换成r

的表达式.

(3)如果条件是一个关于x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值.如把每一个x换成一X,

其目的是再得到一个关于/(尤)，_/(一龙)的方程，然后利用消元法消去人一处.

变式训练根据下列条件，求兀0的解析式.

(iy(x)是一次函数，且满足浜x+l)-/U)=2x+9；

解由题意，设yu)=ax+仅存0),

；3/(x+l)—犬x)=2x+9,

.,.3a(x+1)+3〃-nx—6=2x+9,

即2ox+3a+2b=2x+9,

2a=2,

由恒等式性质，得

3a+2h=9,

♦♦a=1,b-3.

..•所求函数解析式为yu)=x+3.

(2师+1)=炉+4x+l；

解方法一设x+l=f,则x=f—1,

财=(L1)2+4(L1)+1,

即yw=产+2f-2.

所求函数解析式为人x)=f+2x-2.

方法二,/(.v+D=(x+1-1)2+4(X+1-1)+1

=(X+1)2+2(X+1)-2,

•\Ax)=f+2x_2.

⑶2/(；)+於)=x(/0).

解：川)+2於)=方将原式中的x与5互换,

得X9+2於)=(

2x

解得加)=五一*/0).

类型二函数的画法及应用

例2已知y(x)的图象如图所示，则加0的定义域为，值域为

答案[-2,4]U[5,8][-4,3]

解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合.

变式训练：函数大外=/—4x+3(xK))的图象与y=,w有两个交点，求实数m的取值范围.

解—4x+3(xK))的图象如图,

/U)与直线y=m有2个不同交点,由图易知一1〈，处3.

总结函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观

地寻求问题的解决思路和要点.

类型三列表法表示函数及应用

例3若函数y(x)如下表所示：

X0123

fix)2210

⑴求然D)的值;

(2)若欢尤))=1，求x的值.

解⑴：川)=2,.•.用⑴)=彤)=1.

(2)设兀v)=f,由表知，当式f)=l时，对应的t=2,

即人x)=2,再由表求得当且仅当x=0或1时，fix)—2.

...x=0或x=l.

变式训练：已知函数兀v)由下表给出，求满足加))»3)的x的值.

X123

於)231

解•]3)=1.

当欢x))>l时，於)=1或2.

当兀0=1时,x=3.

当兀v)=2时，x—\.

满足条件的x的值