初中数学知识归纳及典型例题讲解（第二版）

初中数学

知识归纳及典型例题讲解

想学好数学其实并不难的

你比你想象的要更有力量

前言

本人对初中数学有一点浅薄的认识，想告诉同学们，数学其实是很美妙的一

门基础学科，只要你掌握了学习方法，数学便不会成为你厌恶的学科，甚至你会

喜欢上它。那么，接下来我将试图结合自己曾经学习初中数学的经验进行系统总

结，将各知识点进行串联起来，可能不会太全面，但起码提供了一种学习方法。

对了，因为这是系统梳理，会将初中各年级的知识点串联起来，并不是严格按学

科教学章节顺序进行编排，低年级的同学读起来可能会有点吃力，但也可作为提

前学习的资料。最后，希望这篇总结对各位同学们有所启发，开启轻松的数学之

旅。（待完善）

第一章数轴上的那些事

数轴：规定了原点（即数轴中心0）、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

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1.1实数

1.1.1有理数

正数：在数轴中心点0正方向上（默认是右边）的数（即大于0的数）为正

数。

负数：在数轴中心点0负方向上（默认是左边）的数（即小于0的数）为负

数。

0既不是正数也不是负数。

正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。

整数和分数统称为有理数。

相反数：

（1）如数轴上的一a和a,这两个点到数轴中心0点距离相等，相加为零,

这两个数互为相反数。特别的，0的相反数是0。

（2）注意:a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数

是一a-b；

（3）相反数的和为0<=>a+b=0<=>a、b互为相反数.

绝对值：

（1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;

注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

（2）绝对值可表示为：同=06=0）或|a|=匕鼠*;绝对值的问题经

-a（a<0）1a‘a）

常分类讨论；

（3）—=l<=>a>0;—=-l<=>a<0;

aa

(4)|a|是重要的非负数，即|a|20；注意：|a|•|b|=|a・b|,H=|^|.

互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若aWO,那

么"的倒数是工；倒数是本身的数是±1；若ab=loa、b互为倒数；若ab=To

a

a、b互为负倒数.

1.1.2数轴上数的大小比拼

(1)不含绝对值的情况(如数轴上的数b<c<d)

在数轴上沿着正方向的数依次变大,默认正方向是向右，即越往右的数越大。

(2)含绝对值的情况(如数轴上的数c〈d〈|b|)

含负数的绝对值的数比大小，在数轴上标出所有参与比较的负数的绝对值

(关于0点对称)再按(1)比较。

bcdIbl

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1.1.3有理数的加减乘除

(1)有理数的加法

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大

的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个加数相加得Oo

3.一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律:a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(2)有理数的减法

有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

a-b=a+(-b)

归纳

引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。

a+b-c=a+b+(-c)

(3)有理数的乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘，都得0。

有理数中仍有：

乘积是1的两个数互为倒数。

归纳

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数

是奇数时，积是负数。

乘法交换律:ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(be)

乘法分配律:a(b+c)=ab+ac

(4)有理数的除法

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

a-rb=a•:(bWO)

b

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等

于0的数，都得0。

(5)有理数的乘方

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做累，在a"中，a叫

做底数，n叫做指数。

负数的奇次基是负数，负数的偶次幕是正数。

正数的任何次辱都是正数，0的任何正数次事都是0。

(1)求相同因式积的运算，叫做乘方；

(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结

果叫做幕；

(3)£是重要的非负数，即£20；若a2+|b|=0oa=0,b=0；

0.12=0.01

2

(4)据规律n底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动

102=100

二位.

做有理数的运算时，应注意以下运算顺序:

1.先乘方，再乘除，最后加减。

2.同级运算，从左到右进行。

3.如有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号依次进行。

（6）科学记数法

把一个大于10的数表示成aX10。的形式（其中a大于或等于1且小于10,

n是正整数），使用的是科学记数法。

（7）近似数

“约有五百人参加了今天的会议。”五百这个数只是接近实际人数，但与实

际人数还有差别，它是一个近似数。

（精确到个位）

n^3.1（精确到0.1,或叫做精确到十分位）

口P3.14（精确到0.01,或叫做精确到百分位）

1.1.4典型例题解析

例1.（2021广东）设6-布的整数部分为a,小数部分为6,则（2“+加”

的值是（）

A.6B.2晒C.12D.9>/10

［答案］:A

【解析】易得9<10<16,所以百<历<7^即（3<V10<4）,2<6->/10<3,

因此可得a=2,h=6-屈-2=4-屈,所以（2°+而a=（4+亚）（4-如）=6,考

查实数的整数部分、小数部分的转化，以及平方差公式的运算。

例2.（2018北京）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确

的结论是

abc

-----1—»-i------------、——---•A―,------1~>

-47-2T01234

（A）同〉4（B）c-b>0（C）ac>0（D）a+c>0

［答案］:B

【解析】易得-41<-3,3<|a|<4：-Kb<0,2<c<3,2<c-b<4；ac<0；-2<a+c<0；

考查绝对值、实数的乘积符号判断、实数的运算、数轴的应用。

例3.（2018江汉油田、潜江、天门、仙桃）计算:鬓+回2卜5

［答案］：0

【解析】本题考查了实数的大小估值2=">有，去绝对值、倒数及负指数（1/2）

K），<n

=2'o因此，A+|^-2|-（l）-'=^+（2-73）-2-=0

例4.（2018广东）13.一个正数的平方根是户1和『5,则产.

［答案］：2

【解析】本题考查的是正数的平方根的性质：两个根互为相反数，和为0。因此,

x+l+x-5=0,x%而这个正数是（矛+1）2=9。

例5.有理数a,b,c满足|a+b+c|=a-b+c,且bWO,则|a-b+c+51Tb

-2|的值为

［答案］：3

【解析】本题考查的是绝对值的性质：|a+b+c|=a-b+c,b符号改变了，说明

a+b+c小于0并且a-b+c大于0,则（a+b+c）+（a-b+c）=0,a+c=0,|b|=-b,则b

小于0,|b-21=-（b-2），所以|a-b+c+51-：b-21=a-b+c+5+b-2=3。

例6.若a+h>0,且/?<O,则“，b,-0的大小关系为（）

A-a<-b<b<aB.-a<b<-b<aQ-a<-b<a<bD.a<b<-b<-a

［答案］:B

【解析】本题考查的是数的大小比拼。【详解】•••a+b>0,...a>-b,-aVb,由

b<0,.\b<-b,.,.-a<b<-b<a；故选B.

1.2不等式

不等式的性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

用字母表示为：如果。>人，那么。土c>b±c：如果。<匕，那么a±cv/?±c：

如果〃之力，那么。土cN/?土c；如果那么々土cK〃土co

（2）不等式的两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变。

用字母表示为：如果a>b,c>0,那么拉:（或@>2）；如果那么〃c<仪?（或

cc

ab.

—<—）；

cc

如果aNA,c>0,那么〃c之〃c（或“22）；如果那么acKhc（或@«勺；

cccc

（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变。

用字母表示为：如果那么ac<Z?c（或@<2）；如果。<反。<0,那么。（或

cc

ab、

—>—）；

cc

如果。2Z?,cvO,那么（或@42）；如果aWb,cvO,那么acNbc（或处之2）；

cccc

解不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数

化为1。这与解一元一次方程类似，在解时耍根据一元一次不等式的具体情况

灵活选择步骤。

1.2.1数轴上的一元一次不等式

x£5l+x>・1

-aa

---------------1--------4-----1------1---------1------------>

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一元一次不等式x<-5、l+x>T如数轴所示，实心圆表示可取等号，空心圆

表示不可取等号。

1.2.2数轴上的一元一次不等式组

不等式组中含有一个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,这样的不

等式组叫一元一次不等式组。使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫

不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合,叫这个不等式组的解集解

（简称不等式组的解）。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解

集的过程叫解不等式组。

解一元一次不等式组的一般步骤:①求出这个不等式组中各个不等式的解集;

②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。如果

这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解（此时也称这个不等

式组的解集为空集）o

—CLQ

_______a_______I_________I______I---------1---L^_J--------1----->

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一元一次不等式组｛2x-320、3xT3W0｝的解如数轴所示，则整数解为

x=2\3\4o

接下来看下两个试题：

①一元一次不等式组｛2x-a20、3x-bW0｝的解如数轴所示，问整数（a、b）

的组合有哪些？

一,II一一一一9T

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第一步，将不等式组求解出来，a/2WxWb/3,注意到x最小值在广2之间，

x的最大值在4~5之间，则：Ka/2<2,4<b/3<5,得2<a<4,12<b<15,因为a、

b是整数，所以a=3,b=13、14,即（a、b）=（3、13）或（3、14）共2种情况。

②一元一次不等式组｛2x-a，0、3x-b^0｝的整数解仅为2、3、4,问整数（a、

b）的组合有哪些？

与上题的区别是告诉你整数解而不是在数轴上表示，其实这题中，x的最小

值可以是2,x的最大值可以是4,所以有：l〈a/2W2,4<b/3<5,得2<aW4,

12^b<15,因为a、b是整数，所以a=3、4,b=12、13、14,即（a、b）=（3、

12）或（3、13）或（3、14）或（4、12）或（4、13）或（4、14）共6种情况。

1.2.3典型例题解析

例L下列不等式变形中，一定正确的是（）

A.若ac>bc,则a>b

B.若a>b,则am2>bm2

C.若ac2>bc2,则a>b

D.若a>0,b>0,且!>1,则a>b

aD

［答案］:c

【解析】本题考查的是不等式的3个性质。A选项中，如果c小于0,则错；

B选项若果m等于0,则错；C选项，条件知c不为0,因此正确；D选项，正数

的倒数越大，那这个正数就越小，D错。

x+2y=4k

例2.已知5l.-l<x-y<0,则k的取值范围为

2x+y=2k+l

0<k<--<k<l

A.2B.2C.0<k<lD.2

［答案］:D

x+2y=4k①

【解析】本题考查含参数的不等式组的解法。详解】

2x+y=2k+l②

・••②一①，得x-y=-2k+1

将x-y=-2k+l代入一Ivx-y<0,得:

-l<-2k+l<0^-2<-2k<-l^-<k<l

2

故选D

例3..若不等式组，恰有两个整数解，则的取值范围是（）

x>m-\

A.—l<m<0B.—l<m<0C.-\<m<QD.

—l<m<0

［答案］:A

【解析】本题考查的是不等式组的整数解的性质，注意取等号的条件。

x<1…

•..不等式组I有解，

x>m-\

，不等式组的解集为

x<1

•..不等式组I恰有两个整数解，

x>m—\

・・-2Sm-1<-1,

解得一IV一<0。

例4.已知x=2是不等式(％-5)(以—3a+2)W0的解，且X=1不是这个不等式

的解，则实数a的取值范围是()

A.a>lB.a<2C.l<a<2D,l<a<2

［答案］:C

【解析】本题考查的是对不等式的解得理解。.."=2是不等式

(x-5)(ax-3a+2)<0，(2—5)(2a—3a+2)40,解得：a42,

•••x=l不是这个不等式的解，，(1-5)(a-3a+2)>0,解得：a>l,

，l<a42,

故选C

'2x-b>0

<

例5.若不等式组+的解集为3g,则不等式以+力V0的解集为

3

X>一

［答案］:2

【解析】本题考查的解含参数的不等式的应用。

b

2x-b>0,^x>-

2

解不等式x+aWO得

(2x-b>0b

.,.不等式组,八的解集为a

龙+a«02

［2x-b>0

•.•不等式组的解集为3士“,

x+a<0

一。二4

1Q=-4

b=6

：.不等式ax+b<0为-4x+6<0,

解得x>'.

故答案为：x>|.

例6..对羽>定义一种新运算T,规定外加霁(其中“，8均为非

零常数)，这里等式右边是通常的四则运算,例：「。』)=嘿筌

已知T(L—1)=-2,T(4,2)=l,

(1)求a,b的值;

T(2zn,5-4m)<4,

(2)若关于〃2的不等式组二；o/恰好有3个整数解，求实数P的

l(m,3-27n)>p

取值范围.

-2<〃<—

［答案］：(1)。的值分别为1，3；(2)3.

【解析】本题考查的是二元一次方程组的应用及不等式组的应用，理解题目

中新定义的运算是解题关键。

【详解】(1)由T(l,—1)=-2,T(4,2)=l,

4口4ZX1+/?X(-1)ax4+hx2

得--------^=-2,

2x1-12x4+2

a-b=-2

整理得:

4。+乃=10

解得

b=3

即a,8的值分别为1,3；

x+3y

(2)由(1)得T(x,y)

2x+y

T(2zn,5-4nz)<4,

则不等式组<

T(/n,3-2m)>p

-10/n<5,

化为《

-5m>3p-9,

解得-gw

・・•不等式组二/Q。；恰好有3个整数解,

.•.2<d3,

5

解得-2Wp<--.

1.3数轴的妙用

当遇到函未知数X的绝对值的整式求最小值的问题时，可以利用数轴进行求

解。例如下面这个题。

已知X是实数，求IX-2I+Ix+3|的最小值？

利用数轴，在数轴上取一点x,由绝对值的含义，|x-2|表示数轴上点x到

数轴上点2的距离s2,|x+3|可以写成Ix-(-3)|表示数轴上点x到数轴上

点-3的距离si,也就是求数轴上的点x到数轴上点2和-3的距离最小值。如数

轴所示，sl+s22s,当实数x在-3和2之间时，等号成立，因此|x-2|+|x+3

I的最小值为s,s=5o

S

K----s-i--------->«s2

-aa

■ii___।X.i____■1.___

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第二章关于实数的那些式子

2.1整式

2.1.1整式的概念

一、代数式

代数式的定义：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式

注意点：

①单独的一个数或字母也是代数式；

②n是一个数，也是一个代数式；

③可以含有绝对值符号

④代数式中不能出现,w,N,4等关系符号

代数式的书写格式：

①数字在前字母在后

②带分数系数化假分数

③数字乘以字母，字母乘以字母时乘号省略：

④除号变分数线

⑤单位带括号

⑥系数1和-1省略

⑦相同字母写成幕的形式

二、单项式

单项式的定义：数和字母的积

注意点：

①单独一个数或一个字母也是单项式；

②分母中不含字母；

③不存在数与字母、字母与字母的加减.

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.

如单项式100m的系数是100,a3的系数是1,2.5vt的系数是2.5

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

如单项式100m中，m的指数是1,100m是一次单项式；单项式2.5vt中，v和t的

指数和是2,2.5vt是二次单项式

易错点：①单项式的系数包括单项式前面的符号；

②F1是一个数，不要将它当作字母.

三、多项式

多项式的定义：

几个单项式的和叫做多项式.

多项式的项：

每个单项式叫做多项式的项.多项式中的各项包括它前面的符号.

常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项.

多项式的项数：多项式里含有几项，就把这个多项式叫做几项式.

多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.

多项式的命名：几次几项式.（汉字）

整式的定义：

单项式与多项式统称整式.

把多项式按某个字母升暮、降幕排列

四、同类项

同类项定义:如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，

那么就称这两个单项式为同类项

【注意】所有的常数项都是同类项

同类项的特征：“两相同，两无关”

"相同"：①所含实母②相同字母的指数

"无关"：①系数②字母排列顺序

2.1.2整式的加减

(1)同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也

是同类项。例如2a与5a是同类项，与-5m?是同类项，5与8是同类项。

(2)合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

在书写时，通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降

辱)或从小到大(升募)的顺序排列。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它

的指数不变

(3)去括号

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

+120(u-0.5)=+120u-60-120(u-0.5)=-120u+60

(4)整式加减的运算法则

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

2.1.3整式的乘除

(1)同底数塞的乘法

同底数辱相乘，底数不变，指数相加。

a”・a"=a"n(m、n都是正整数)

(2)幕的乘方

寤的乘方，底数不变，指数相乘。

(a)n=am(m,n都是正整数)

(3)积的乘方

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘。

(ab)"=a"b"(n是正整数)

(4)整式的乘法

一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幕分别相乘，对于只

在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

ac"•bcJ=(a,b)(c3,c2)=abc'

一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所

有的积相加。p(a+b+c)=pa+pb+pc

一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式

的每一项，再把所得的积相加。(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq

(5)同底数塞相除

同底数基相除，底数不变，指数相减。

a^a^a^Ca^O,m、n都是正整数，并且m>n)x7-rx2=x5

a"4-ara=lam4-a'"=a"m=a0于是规定a°=l(aWO)

任何不等于0的数的0次暴都等于lo

一般地，单项式相除，把系数与同底数累分别相除作为商的因式，对于只在

被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

28x'y'-r7x3y

=(28+7)•x*3•产

=4xy

一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再

把所得的商相加。

(12ai_6a2+3a)4-3a

=12a"4-3a—6a'4-3a+3a+3a

=4a-2a+l

2.1.4乘法公式

(1)平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

(a+b)(a-b)=a2-b"

(2)完全平方公式

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积

的2倍。

(a+b)'=a2+2ab+b；:(a-b)2=a2-2ab+b'

2.1.5因式分解

X2+x=x(x+1)x2-l=(x+l)(x-1)

上面我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这

个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2_因式分解

X'整式乘法(jr+D(jc—1).

(1)提公因式法

pa+pb+pc

它的各项都有一个公共的因式P,我们把因式P叫做这个多项式各项的公因

式。

pa+pb+pc=p(a+b+c)

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项

式写成公因式与另一个因式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

(2)公式法

(利用平方差公式完全平方公式)

a2-b2=(a+b)(a-b)

a~+2ab+b::=(a+b)'a2-2ab+b=(a-b)2

我们把a、2ab+b2和£-2ab+b?这样的式子叫做完全平方式。

分解因式a3b~ab-x2+4xy-4y2

=ab(a2-l)=-(x2-4xy+4y2)

=ab(a+l)(a-l)=-(x-2y)2

2.1.6典型例题解析

例L已知单项式2笳加用与是同类项，则2根+3"=.

［答案］：13

【解析】本题考查的是同类项的定义。由于是同类项，3=m-2,n+l=2o所以

m=5,n=l,贝（J2m+3〃=13

例2.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一

个底面为长方形（长为m,宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡

片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长和是（）

A.4nB.4mC.2（m+n）D.4（m-n）

［答案］:A

【解析】本题考查的是整式结合图形关系的应用。可以设小长方形的短边为

x,长边为y。阴影部分的周长=2（n-2x+y）+2（2x+n-y）=4n。

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例3.如图，两个大小正方形的边长分别是4cm和xcm(0VxV4).用含x

的式子表示图中阴影部分的面积为()cm、

A.B.C.；(4+x)-D.；(4+4

［答案］:B

【解析】本题考查的整式结合图形关系的应用。阴影部分的面积=两个正方

形的面积之和-空白三角形的面积=4%x2-4(4+x)/2-［4(4-x)/2+x?/2］=x2/2

例4.按一定规律排列的单项式:a2,-4a3,9a-16a5,25a6,...,第

〃个单项式是()

A.(-l)n+，n2a"+,B.(-l)Bn2an+,C.(-l)，，+，n2a-D.(—1)“〃”

［答案］:A

【解析】本题考查的单项式的性质及规律观察。单项式包含系数、字母、字

母的指数。系数位上发现奇数位为正，偶数位为负，都是n的完全平方数，所以

系数上为(-1)"中，再看字母只有a,字母上的指数都是n递增1,因此单项式为

(-1)-

例5.多项式4/y3-5x4y3_3x2->2+5》+2的次数是次.

［答案］：7

【解析】本题考查的是多项式和单项式的次数的判断。多项式的次数多项式

里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。次数最高项是-5x4y3单项式，一个单项式中，

所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，所以次数为70

2.2分式

2.2.1分式的概念

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子金A叫做

D

分式，分式A;中，A叫做分子，B叫做分母。

D

2.2.2分式的基本性质

(1)分式的基本性质

分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于。的整式，分式的值不变。

(2)分式的约分

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

(3)最简分式

分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

(4)分式的通分

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同

分母的分式，叫做分式的通分。

(5)最简公分母

为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母所有因式的最高次幕的积

作公分母，它叫做最简公分母。

2.2.3分式的乘除

类似于分数，分式有：

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

-ax-c=—ac

bdbd

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

_a_c—_a_d_——ad

bdbc__be

乘方:分式乘方要把分子、分母分别乘方。Q"=盖

2.2.4分式的加减

类似分数的加减法，分式的加减法法则是：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

上述法则用式子表示为：

aba+b

一±一=^^

ccc

a.c_ad,bcad±bc

b-dbd-bdbd

2.2.5整数指数幕

把塞的指数推广到了负指数

a二成冬民毛a34-a5=a3-5=a2所以a2=4

aba5azazaz

a"=4a#0这就是说，a"是a"的倒数。

an

归纳

a-a-=a"F这条性质对于m,n时任意整数的情形仍然适用。

整数指数幕的运算性质可以归结为：

(1)a"・a"=a"n(m、n都是整数);

(2)(a")nuaRm、n都是整数)；

(3)(ab)"=a"b"(n是正整数)。

2.2.6分式方程

9060小

---------二-------(D

30+v30-V

方程①的分母中含未知数V,像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

我们以前学的都是整式方程，它们的未知数不在分母中。

在方程两边乘最简公分母得到整式方程。

归纳

解分式方程①的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”,

即方程两边乘最简公分母。这也是解方程的一般方法。

解分式方程要检验

一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分

母为0,因此应做如下检验：(30+v)・(30-v)#0。将整式方程的解带入最简公

分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则这

个解不是原分式方程的解。

2.2.7典型例题解析

例L下列分式中，最简分式是()

2222

.x-lRx+1x-2xy+yx-36

x+\x-1x-砂2x+l2

［答案］:A

【解析】本题考查的分式的化简。A选项，x2-l=(x+l)(x-l),与分母无公因

式，所以是最简分式；B选项，分子与分母有公因式x+1,所以不是最简分式；C

选项，分子=(x-y)2,分母=x(x-y),有公因式x-y,排除；D选项中，分子=(x+6)

(x-6),分母=2(x+6)，有公因式x+6,也不符合，排除。

例2..若关于x的分式方程二二二%-二-的解为正数，则满足条件的正整

据一3，一相

数m的值为()

A1,2,3B,1,2C.1,3D.2,3

［答案］:C

【解析】本题考查的是分式方程的应用，注意分母不能为0o小-~L&三

解为x=4-m2l,m为正整数，所以lWmW3,因x-2不能为0,xW2,mW

2,所以m=l或3。

m-l1

例3.关于x的方程(x+l)(x—D-x—l=O无解，则m的值是.

［答案］：3或1

【解析】本题考查的分式方程无解的性质。方程解为x=m-2,要使分式方程

无解，则让x的值使得分母为0。所以m-2=l或者T,则m=3或1.

2.3二次根式

2.3.1概念

1.二次根式：式子孔(。20)叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中丕含开方开的尽的因数或因武；⑵被开方数中丕食分母；⑶

分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类

二次根式。

2.3.2二次根式的性质

irJa>0(a>0).J.)“92。)；3."，叶卜

4.积的算术平方根的性质：g=6疯。20,C0)；

、口=4(a20,b>0)

5.商的算术平方根的性质：力正

6.若a>2>>0,则石>

2.3.3二次根式的运算

(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么,

就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么

先解因式，回变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的

正因式平方后移到根号里面.

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次

根式.

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所

得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.

\ub=\［（i,\h（a>0,b>0）；（———（b>0»a>0）.

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，回乘法对加法的

分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.

2.3.4典型例题解析

例1.若|2004-4+Ja-2005=a,贝!Ja-ZOCM、；

若y=Jx-3+j3-x+4,则X+y=

［答案］：2005,7

【解析】本题考查二次根式的非负性质。a-200520,则原式转化为

a-2004+Ja—2005=a,则Ja-2005=2004,所以0-2004?=2005；x-320,

3-x20,所以x=3,y=4,所以x+y=7。

例2.已知：a+^\-2a+a~=1>则a的取值范围是（）。

A、a=0；B、a=\•,C、a=0或1；D、a<\

［答案］:D

【解析】本题考查的是二次根式的值是式子绝对值的性质以及绝对值的性质。

a+4］-2a+cr=a+|a-l|=l,所以|a-l|=l-a,则a-lW0,aWl。

例3.已知9+V13-^9-V13的小数部分分别是a和b,求ab—3a+4b+8的值

［答案］：8

【解析】本题考查的是二次根式的整数与小数部分的知识点。

3=V9<V13<V16=4,所以：9+而=12+a,9-V13=5+b,则a=VU-3,b=4-而

带入式子ab—3a+4b+8=8o

例4.已知:x=2^二①V3+V2,求3x2-5xy+3y2的值

V3+V2，J-V3-V2

［答案］：289

【解析】本题考查的二次根式的化简和计算，变换已知条件和所求式子进行

简化计算。由已知条件得，xy=l,x-y=-4V6

所求式子=3(x-y)2+xy=288+l=289

伤!］5.已矢口J15+x—J19+x=—2，J19+x+J15+x

［答案］：2

【解析•】本题考查的二次根式的化简和计算，变换已知条件.

J15+x-J19+x=-2两边都乘以J19+x+V15+x,

(15+X)-(19+X)=-2(J19+X+J15+X),所以J19+X+J15+X=2

2.4第二章加固例题解析

例L(2018临沂)已知〃2+〃=/加2,贝I」("2—1)(〃—1)=.

［答案］:1

【解析】由得mn-(m+J2)=O(m-l)(n-l)=mn-(m+n)+l=l.本题

考查的是因式分解的应用。

例2.已知x+1~=6,贝!］12+4_=.

XX

［答案］：34

【解析】由》+工=6两边平方，得-+±+2=36。因此，一+二=34。本题考

XXX

查的是完全平方式的应用。

例3.(2018荷泽)10.若a+)=2,ah=-?>,则代数式/"z//+/的

值为.

［答案］：T2

【解析】++"3提取公因式ab,等于ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2=-2x

22=-12O本题考查的是公因式的提取，完全平方式。

例4.（2018淄博）4.若单项式式斤与犷的和仍是单项式，则献，的值

2

是（）

A.3B.6C.8D.9

［答案］:C

【解析】由于单项式y与工后夕的和仍是单项式，单项式是都数或字母的乘

2

积，不存在加减运算符号。因此，与1/加,的为同类项，字母相同其指数

2

也相同。得:m-l=2,m=3,2=n；所以同=23=8.

例5.（2018株洲）11、单项式5利〃2的次数.

［答案］：3

【解析】所有字母的指数的和叫做单项式的次数，那多项式5〃〃?2+山〃+1的次数

又是多少呢？多项式的次数是单项式里的最高次数，也就是单项式5加〃2的次数

3。本题考查的是单项式、多项式的次数的定义。

例6.（2018宁波）在矩形A8CO内，将两张边长分别为。和伏。〉份的正方

形纸片按图1,图2两种方式放置（图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠），

矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分为5,

图2中阴影部分的面积为邑.当-AB=2时，S2-E的值为（）

□a□b

A.2aB.2bC.2a-2hD.-2h

［答案］：B

【解析】如下图所示，在CD边上取b长度做虚线连接到小正方形边；在BC边上

取b的长度做虚线，图1和图2得到右下角的阴影图像面积记为S,则S2=(AD-a)

b+S,Si=(AB-a)b+S,因此，S2-S尸(AD-a)b+S-［(AB-a)b+S］—(AD-AB)b=2b<>

本题考查的是因式分解的应用，关键是需要拆分S1和S2的面积。

例7.(2018威海)5.已知5、=3,5-'=2,则52"力=()

329

C

4-B.3-D.8-

［答案］:D

1Q

【解析】5f=5筋.5%=(力2•(5,『=32.27=9.m=耳。本题考查的是同底指

数基的运算。

例&(2018南充)9.已知工-1=3,则代数式2"3孙-2y的值是()

xyx_xy_y

71193

A.--B.--C.-D.-

2224

［答案］:D

【解析】由于工―工=3,而工—工=匕，因此y—x=3盯，

xyxy盯

2x+3盯-2)=3町-2(y-x)=3咫-2x3孙=*=3。本题考查的是分式的运

x—xy-y_('_1)一盯-3xy—xy—4xy4

算，分式的通分与约分。

例9.(2018自贡)14.化简」上+-_的结果是

X+1X2-］

［答案］:—L

x-\

12111、1*日百壬诙

【解析】士+岛----1----------=-----F()=---©本就主要

x+1(x+l)(x-l)x+1x-\x+1--x—\

考查平方差公式，关于1的平方是1本身，以及分式的拆分的应用；对任意a、

b有---------=―------—o对于上题b=-l,a=l

(x+b)(x+a)x+bx+a0

----<x+3

例10.（2020・重庆）若关于x的一元一次不等式结2~的解集为

x<a

X<a；且关于y的分式方程W+”=l有正整数解，则所有满足条件的整数

y-Ly一，

a的值之积是（）

A.7B.-14C.28D.-56

［答案］:A

3x-l,卜《7

【解析】解不等式2，解得xW7,...不等式组整理的I%"。，

由解集为x〈a,得到aW7,分式方程去分母得：y~a+3yY=y母，即3y吆=a,

。+2

解得：y=3,由y为正整数解且yW2,得到a=l,7,1X7=7,故选：A.此

题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题

的关键。