随机变量的数字特征

随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望四、小结第一节数学期望第2页,共105页，2024年2月25日，星期天一、随机变量的数学期望引例1分赌本问题(产生背景)

A,B

两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200

元.由于出现意外情况,在A

胜2

局B

胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?1引例第3页,共105页，2024年2月25日，星期天A

胜2

局B胜1

局前三局:后二局:把已赌过的三局(A

胜2局B

胜1局)与上述结果相结合,即A、B

赌完五局,AAAB

BABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAA

B

BABBA胜B负

A胜B负

A胜B负

B胜A负

B胜A负

A胜B负

B胜A负

B胜A负第4页,共105页，2024年2月25日，星期天因此,A能“期望”得到的数目应为而B

能“期望”得到的数目,则为故有,在赌技相同的情况下,A,B

最终获胜的可能性大小之比为即A

应获得赌金的而B只能获得赌金的第5页,共105页，2024年2月25日，星期天因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X

的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A

胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A

最终所得的赌金.则X

所取可能值为:其概率分别为:第6页,共105页，2024年2月25日，星期天

设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下引例2

射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数k命中次数频率第7页,共105页，2024年2月25日，星期天解平均射中环数设射手命中的环数为随机变量Y

.第8页,共105页，2024年2月25日，星期天平均射中环数频率随机波动随机波动随机波动稳定值

“平均射中环数”的稳定值“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加第9页,共105页，2024年2月25日，星期天1.离散型随机变量的数学期望第10页,共105页，2024年2月25日，星期天分赌本问题A

期望所得的赌金即为X

的数学期望射击问题“平均射中环数”应为随机变量Y的数学期望第11页,共105页，2024年2月25日，星期天关于定义的几点说明

(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.

(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X

取可能值的真正的平均值,也称均值.

(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X

取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.第12页,共105页，2024年2月25日，星期天试问哪个射手技术较好?例1谁的技术比较好?乙射手甲射手第13页,共105页，2024年2月25日，星期天解故甲射手的技术比较好.第14页,共105页，2024年2月25日，星期天例2如何确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,欲估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否作此项投资?解设

X为投资利润,则存入银行的利息:故应选择投资.第15页,共105页，2024年2月25日，星期天例3

二项分布则有

设随机变量

X服从参数为

n,p二项分布,其分布律为第16页,共105页，2024年2月25日，星期天则两点分布b(1,p)的数学期望为

p.=np第17页,共105页，2024年2月25日，星期天例4

泊松分布

则有第18页,共105页，2024年2月25日，星期天例5

分组验血第19页,共105页，2024年2月25日，星期天解第20页,共105页，2024年2月25日，星期天第21页,共105页，2024年2月25日，星期天第22页,共105页，2024年2月25日，星期天2.连续型随机变量数学期望的定义第23页,共105页，2024年2月25日，星期天解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.例7

顾客平均等待多长时间?

设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?第24页,共105页，2024年2月25日，星期天例8

均匀分布则有结论

均匀分布的数学期望位于区间的中点.第25页,共105页，2024年2月25日，星期天例9

指数分布

则有第26页,共105页，2024年2月25日，星期天例10

正态分布则有第27页,共105页，2024年2月25日，星期天第28页,共105页，2024年2月25日，星期天若X为离散型随机变量，分布律为Y=f(X)为X的函数,则Y的期望为1.离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望第29页,共105页，2024年2月25日，星期天2.连续型随机变量函数的数学期望若

X是连续型的,它的分布密度为

p(x),则3.二维随机变量函数的数学期望第30页,共105页，2024年2月25日，星期天第31页,共105页，2024年2月25日，星期天例11

设

(X,Y)的分布律为解第32页,共105页，2024年2月25日，星期天由于第33页,共105页，2024年2月25日，星期天第34页,共105页，2024年2月25日，星期天1.设C是常数,则有证明2.设

X是一个随机变量,C是常数,则有证明例如三、数学期望的性质第35页,共105页，2024年2月25日，星期天4.设

X、Y是相互独立的随机变量,则有3.设

X、Y是两个随机变量,则有证明说明连续型随机变量

X的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.推广第36页,共105页，2024年2月25日，星期天解例12*第37页,共105页，2024年2月25日，星期天第38页,共105页，2024年2月25日，星期天一、随机变量的方差三、常用分布的数学期望和方差二、方差的性质第二节方差第39页,共105页，2024年2月25日，星期天1.概念的引入方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.实例

有两批灯泡,其平均寿命都是E(X)=1000时.

一、随机变量的方差第40页,共105页，2024年2月25日，星期天2.方差的定义第41页,共105页，2024年2月25日，星期天

方差是一个常用来体现随机变量X

取值分散程度的量.如果D(X)

值大,表示X

取值分散程度大,E(X)

的代表性差;而如果D(X)

值小,则表示X

的取值比较集中,以E(X)

作为随机变量的代表性好.3.方差的意义第42页,共105页，2024年2月25日，星期天离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差4.随机变量方差的计算

(1)

利用定义计算

第43页,共105页，2024年2月25日，星期天证明(2)利用公式计算第44页,共105页，2024年2月25日，星期天证明1

设

C是常数,则有2

设X

是一个随机变量,C是常数,则有证明二、方差的性质第45页,共105页，2024年2月25日，星期天3

设X,Y

相互独立,D(X),D(Y)

存在,则证明第46页,共105页，2024年2月25日，星期天推广第47页,共105页，2024年2月25日，星期天1.

两点分布已知随机变量X

的分布律为则有三、常用分布的数学期望和方差第48页,共105页，2024年2月25日，星期天2.

二项分布则有

设随机变量X

服从参数为n,p

二项分布,其分布律为第49页,共105页，2024年2月25日，星期天第50页,共105页，2024年2月25日，星期天第51页,共105页，2024年2月25日，星期天第52页,共105页，2024年2月25日，星期天3.

泊松分布

则有第53页,共105页，2024年2月25日，星期天所以第54页,共105页，2024年2月25日，星期天4.

均匀分布则有第55页,共105页，2024年2月25日，星期天结论

均匀分布的数学期望位于区间的中点.第56页,共105页，2024年2月25日，星期天5.

指数分布

则有第57页,共105页，2024年2月25日，星期天第58页,共105页，2024年2月25日，星期天6.

正态分布则有第59页,共105页，2024年2月25日，星期天第60页,共105页，2024年2月25日，星期天第61页,共105页，2024年2月25日，星期天第62页,共105页，2024年2月25日，星期天分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布第63页,共105页，2024年2月25日，星期天解例1于是第64页,共105页，2024年2月25日，星期天解例2第65页,共105页，2024年2月25日，星期天解例3第66页,共105页，2024年2月25日，星期天第67页,共105页，2024年2月25日，星期天解例4第68页,共105页，2024年2月25日，星期天第69页,共105页，2024年2月25日，星期天切比雪夫不等式证明取连续型随机变量的情况来证明.

切比雪夫不等式第70页,共105页，2024年2月25日，星期天得第71页,共105页，2024年2月25日，星期天三、矩，协方差矩阵二、相关系数的意义第三节协方差及相关系数及其性质一、协方差与相关系数的概念及性质四、n维正态变量的性质第72页,共105页，2024年2月25日，星期天1.问题的提出协方差一、协方差与相关系数的概念及性质第73页,共105页，2024年2月25日，星期天2.定义第74页,共105页，2024年2月25日，星期天3.说明第75页,共105页，2024年2月25日，星期天4.协方差的计算公式证明第76页,共105页，2024年2月25日，星期天第77页,共105页，2024年2月25日，星期天5.性质

第78页,共105页，2024年2月25日，星期天解例1第79页,共105页，2024年2月25日，星期天第80页,共105页，2024年2月25日，星期天第81页,共105页，2024年2月25日，星期天结论第82页,共105页，2024年2月25日，星期天解例2第83页,共105页，2024年2月25日，星期天第84页,共105页，2024年2月25日，星期天第85页,共105页，2024年2月25日，星期天1.问题的提出二、相关系数的意义第86页,共105页，2024年2月25日，星期天解得第87页,共105页，2024年2月25日，星期天2.相关系数的意义第88页,共105页，2024年2月25日，星期天例3解第89页,共105页，2024年2月25日，星期天第90页,共105页，202