谱估计模型法

谱估计模型法由于模型谱估计不需要加窗，因而可以消除窗函数的畸变影响，得到比传统谱估计更高的频率分辨率，尤其是对短记录数据。4.12.1有理系统函数模型为白噪声，为u(n)的平均功率，于是从而功率谱估计就转化为估计，设的函数形式已知，只是其中的若干参数未知，则估计就转化为参数估计。分辨率和谱保真度改善的程度取决于模型拟合的程度。

第2页,共24页，2024年2月25日，星期天设线性系统具有如下形式的系统函数：其中，称为系统的AR(自回归)分支。其中，称为系统的MA(滑动平均)分支。ARMA模型的多重性：指不同的模型具有相同的功率谱，也称为功率谱等价或相关函数等价。为了保证模型唯一性，要求滤波器是因果的，并且可逆。只有最小相位系统才能保证其逆系统是一个稳定的系统。因此一般考虑平稳过程是因果的和最小相位的。即A(z)=0和B(z)=0的根全部在单位圆内。

第3页,共24页，2024年2月25日，星期天z在单位圆上取值，可得令a0=b0=1，模型称为自回归－滑动平均模型，简记为ARMA(p,q)模型。即令输入为u(n)，输出为x(n)，系统可由如下差分方程描述：如果除a0=1之外，其它ak=0，即有称为MA(q)过程（全零点模型），其功率谱为：第4页,共24页，2024年2月25日，星期天如果除b0=1之外，其它bk=0，即有：称为AR(p)过程（全极点模型），其功率谱为：4.12.2三种模型之间的关系AR模型和MA模型是ARMA模型的两个特例。MA和ARMA模型参数估计方法要比单纯的AR模型参数估计困难，并常借助于AR模型参数估计方法。

第5页,共24页，2024年2月25日，星期天由于可用的数据有限，不论采用何种参数估计法，待估计的参数愈多，估计的精度就愈差。

模型间转化的理论基础是Kolmogorov定理，即任何ARMA(p,q)过程或MA(q)过程都能用无限阶的AR(∞)过程表示；同样，任何ARMA(p,q)过程或AR(p)过程也可用一个MA(∞)过程表示。这说明即使对于待研究过程选用了不太合适的模型，只要它的阶数足够高，就可作为过程的很好近似。第6页,共24页，2024年2月25日，星期天ARMA(p,q)及MA(q)与AR(∞)模型间的等效关系：1ARMA(p,q)模型可等效成AR(∞)模型

其中，，令输入为白噪声过程u(n)

，输出为x(n)

，则故x(n)为AR(∞)过程。例题（自己看）第7页,共24页，2024年2月25日，星期天2MA(q)模型可等效成MA(∞)模型

MA模型

求逆Z变换，得故可等效成AR(∞)模型。

同样可将ARMA(p,q)模型或AR(p)模型表示成MA(∞)模型。

4.12.3模型的选定模型选定的原则：第8页,共24页，2024年2月25日，星期天1节俭(Parsimony)原理。指模型应包括尽可能少的参数，并根据实际情况加以调节，因为在相当多的模型中，用最少的模型参数可能并不是有效的。2选定模型要考虑模型能表示谱峰、谱谷等方面的能力。对具有尖峰的谱，需要具有极点的模型（AR或ARMA模型），如果用MA模型去估计其功率谱密度，结果将很差。ARMA模型适合于功率谱中既有尖峰又有凹谷的过程。MA模型则适合于真实谱中仅含有陡窄凹谷的过程。

第9页,共24页，2024年2月25日，星期天4.12.4滑动平均谱估计及阶数确定1滑动平均谱估计由于MA(q)过程的功率谱：令m=l-k，l=k＋m，可得又MA过程的自相关函数是：第10页,共24页，2024年2月25日，星期天因此功率谱

恒等于BT谱估计，但意义不同

MA(q)过程的相关函数具有截尾特性，即当m>q时，相关函数为零。这一特性对判断模型的性质十分重要。

第11页,共24页，2024年2月25日，星期天2滑动平均模型阶数的确定Durbin提出可将MA(q)过程转换为AR过程，然后用

Yule-Walker方程去估计MA参数。Chow提出利用无偏自相关估计，并在若干项后检验此估计量是否迅速逼近于零。因为当延迟m>q，Rx(m)=0。

逐次延迟确定的假设检验：若延迟为q的Rx(q)相对于延迟小于q的自相关函数，变化是充分接近零的，则MA过程的阶认为是q。

第12页,共24页，2024年2月25日，星期天4.12.5自回归滑动平均谱估计及阶数确定1自回归滑动平均谱估计

aARMA谱分析法一

ARMA模型功率谱：设，，系数满足：Ck=C-k

于是有由于，得到第13页,共24页，2024年2月25日，星期天ARMA谱分析法一特点：不需要白噪声方差以及MA参数bi，但需要MA阶数q和AR阶数p，只要将自回归参数ai求出，即可得到ARMA信号模型的功率谱估计。

第14页,共24页，2024年2月25日，星期天求ARMA(p,q)模型AR部分参量ai的方法：由于两边乘x*(n-m)

，并取数学期望，得其中设ARMA模型为因果稳定系统，对应的脉冲响应为

h(n)，则有

第15页,共24页，2024年2月25日，星期天由于所以取m=q+1,…,q+p，得扩展的Yule-Walker方程

方程组仅与AR参数有关，与MA参数无关。

Rx(m)从滞后量q开始，不是从零开始

第16页,共24页，2024年2月25日，星期天由于之前令，即又有

则可通过求出ai，求出ck，进而求出bj，得到MA参数

bARMA谱分析法二将ARMA功率谱分解：其中，于是第17页,共24页，2024年2月25日，星期天将功率谱作另一分解：其中，，于是两种分解的关系：

两边同乘，可得

因此求出AR参数估值与自相关函数估值，给定AR

阶数p，参数nk即可求出。第18页,共24页，2024年2月25日，星期天ARMA功率谱：

此方法不需要用到白噪声的方差，MA的阶数q和MA

参数bi。具有计算较简单，频率分辨率高等优点。cARMA谱分析法三思想：用高阶AR模型逼近ARMA(p,q)模型。令ARMA模型的系统函数为：

(1)先用AR参数估计方法获得（M≥p+q）第19页,共24页，2024年2月25日，星期天

(2)求ak,bk,ck三个系数间的关系由于，有

(3)求取n=p+l,p+2,…,p+q，得q个方程写成矩阵形式：第20页,共24页，2024年2月25日，星期天

(4)求

第21页,共24页，2024年2月25日，星期天得到ARMA(p,q)模型功率谱估计：

AR模型的阶次p+q需要很高，才有较好的逼近。d非负ARMA信号模型的功率谱估计ARMA模型谱分析方法一、二所得到的功率谱估值可能是负的，需要研究保证其功率谱估计非负的方法

第22页,共24页，2024年2月25日，星期天由于ARMA谱分析法一有：

其中可见要保证功率谱估计非负，ck的估值必须是半正定序列。估计误差时间序列为其自相关函数为：