八年级数学下册18.1.2平行四边形的判定十大题型（解析版）

18.1.2平行四边形的判定不等式的基本性质平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.注意：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.题型1：平行四边形的判定（边的关系）1.（2022春•阳东区期中）如图所示，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形ADEF，平行四边形BEFD，平行四边形DECF．【解答】解：∵DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，∴平行四边形有：平行四边形ADEF，平行四边形BEFD，平行四边形DECF，故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，解答本题的关键是熟练掌握两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；D、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C．【变式1-2】（2022春•深圳期中）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④AO＝CO，BO＝DO．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．4组 B．3组 C．2组 D．1组【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．【解答】解：①AB∥CD，AD∥BC，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；②AB＝CD，AD＝BC，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；③AB∥CD，AD＝BC，不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项错误；④AO＝CO，BO＝DO，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；故选：B．【变式1-3】如图，已知平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，连DE并延长DE交AB延长线于点F，求证：四边形DBFC是平行四边形．【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，由“AAS”可证△DEC≌△FEB，可得BF＝CD，由平行四边形的判定可证四边形DBFC是平行四边形．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∴∠DCB＝∠CBF，∠CDF＝∠DFB，∵点E为BC边的中点，∴BE＝CE，且∠DCB＝∠CBF，∠CDF＝∠DFB，∴△DEC≌△FEB（AAS）∴BF＝CD，且AB∥CD∴四边形DBFC是平行四边形题型2：平行四边形的判定（角的关系）2.（2021春•新县期末）下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．1：2：3：4 B．2：2：3：3 C．2；3：2：3 D．2：3：3：2【分析】根据题意可得出∠A与∠C是对角，∠B与∠D是对角，故∠A＝∠C，∠B＝∠D，据此可得出结论．【解答】解：∵∠A与∠C是对角，∠B与∠D是对角，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴C符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键．【变式2-1】求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．【分析】根据已知和四边形的内角和定理求出∠A+∠B＝180°，推出AD∥BC，同理求出AB∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．【解答】已知：四边形ABCD，∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴2∠A+2∠B＝360°，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，同理AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．【变式2-2】如图，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线，且BE∥FD，AH∥CG，证明四边形ABCD为平行四边形．【分析】由BE∥FD，AH∥CG，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线，易得∠ABC+∠BCD＝∠BAD+∠ADC＝180°，则可证得AB∥CD，同理可得AD∥BC，则可证得四边形ABCD为平行四边形．【解答】证明：∵BE∥FD，AH∥CG，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∴∠4+∠6＝∠1+∠3，∵在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠3＝∠BCD，∠4＝∠BAD，∠6＝∠ADC，∴∠ABC+∠BCD＝∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，同理：AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．题型3：平行四边形的判定（对角线关系）3.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AO＝OC，AC＝BD B．BO＝OD，AC＝BD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝OC，BO＝OD【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理即可确定答案为D．【解答】解：∵AC，BD是四边形ABCD的对角线，AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．故选：D．【变式3-1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法：①四边形ABCD是平行四边形；②AB＝BC；③AC⊥BD④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是菱形，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；∵AD＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确，∵AC＝6，BD＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×8＝24，故⑤正确；正确的个数有5个，故选：D．【变式3-2】（2021春•裕华区校级期末）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形 B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形 C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形 D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形【分析】若AO＝OC，BO＝OD，则四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理可知，该四边形是平行四边形．【解答】解：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形的对角线互相平分所以D能判定ABCD是平行四边形．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．题型4：平行四边形的判定与坐标4.在平面直角坐标系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D的坐标是（）A．（﹣1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，0） D．（1，0）【分析】根据平行四边形的判定，可以解决问题．【解答】解：若以AB为对角线，则BD∥AC，BD＝AC＝4，∴D（﹣1，4）若以BC为对角线，则BD∥AC，BD＝AC＝4，∴D（﹣1，﹣4）若以AC为对角线，B，D关于y轴对称，∴D（1，0）故选：C．【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣3，﹣2），B（0，3），C（3，2），D（0，﹣3）．四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明．【分析】直接根据A，B，C，D点的坐标，进而得出AB，CD，BC，AD的长，进而利用平行四边形的判定得出即可．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形．理由：∵A（﹣3，﹣2），B（0，3），C（3，2），D（0，﹣3），∴AB＝＝，CD＝＝，BC＝＝，AD＝＝，∴AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及点的坐标性质，得出各边长是解题关键．【变式4-2】（2020春•梁平区期末）在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）三点，若点D与A，B，C三点构成平行四边形，则点D的坐标不可能是（）A．（0，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得到D点坐标的三种情况：①当AB∥CD，AD∥BC时；②当AB∥CD，AC∥BD时；③当AD∥BC，AC∥BD时；分别求出D的坐标即可．【解答】解：如图所示∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形∴可以分以下三种情况分别求出D点的坐标：如图所示：①当AB∥CD，AD∥BC时，D点的坐标为（2，1）；②当AB∥CD，AC∥BD时，D点的坐标为（0，﹣1）；③当AD∥BC，AC∥BD时，D点的坐标为（﹣2，1）．故选：C．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，要求学生掌握平行四边形的判定并会灵活运用，注意分类讨论．【变式4-3】在平面直角坐标系中，以A，B，C，D为顶点组成平行四边形，A（1，0），B（3，0），C（4，3），求点D的坐标．【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（6，3）；②AB为对角线时，点D的坐标为（0，﹣3）；③AC为对角线时，点D的坐标为（2，3）．综上所述，点D的坐标是（6，3）或（0，﹣3）或（2，3）．【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．题型5：二次证明平行四边形5.如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝EC＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．【分析】（1）根据平行线得出∠B＝∠DEF，求出BC＝EF，根据ASA推出两三角形全等即可；（2）根据全等得出AC＝DF，推出AC∥DF，得出平行四边形ACFD，推出AD∥CF，MAD＝CF，推出AD＝CE，AD∥CE，根据平行四边形的判定推出即可．【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝EC＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF．（2）四边形AECD的形状是平行四边形，证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，∵∠ACB＝∠F，∴AC∥DF，∴四边形ACFD是平行四边形，∴AD∥CF，AD＝CF，∵EC＝CF，∴AD∥EC，AD＝CE，∴四边形AECD是平行四边形．【变式5-1】已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F．证明：四边形AECF是平行四边形．【分析】由在▱ABCD中，可证得AB＝CD，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，又由∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，可证得∠BAE＝∠DCF，继而可证得△ABE≌△CDF（ASA），则可证得AE＝CF，AE∥CF，判定四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-2】如图，在▱ABCD中，E，F为BD上的点，BF＝DE，那么四边形AECF是什么图形？试用两种方法证明．【分析】可证明△ABE≌△DCF，△ADF≌△CBE，可得到AE＝FC，AF＝EC；也可以连接AC交BD于点O，可证明OE＝OF，OA＝OC；都可证明四边形AECF为平行四边形．【解答】解：四边AECF为平行四边形．证法一：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，∵BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，同理可得AF＝CE，∴四边形AECF为平行四边形；证法二：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，又∵BF＝DF，∴BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形．题型6：平行四边形的判定与动点问题6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P自点A向点D以1cm/s的速度运动，到点D停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到点B即停止，直线PQ截四边形ABCD为两个四边形，问当P，Q同时出发．（1）几秒后，四边形APQB为平行四边形．（2）几秒后，四边形PDCQ为平行四边形．【分析】（1）设t秒后四边形APQB为平行四边形，则AP＝t，CQ＝2t，BQ＝30﹣2t，根据平行四边形的判定当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四边形，则t＝30﹣2t，然后解关于t的方程即可；（2）设t秒后四边形PDCQ为平行四边形，则AP＝t，CQ＝2t，PD＝24﹣t，根据平行四边形的判定当DP＝CQ时，四边形PDCQ为平行四边形，则24﹣t＝2t，然后解关于t的方程即可．【解答】解：（1）设t秒后四边形APQB为平行四边形，则AP＝t，CQ＝2t，BQ＝30﹣2t，∵AP∥BQ，∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四边形，即t＝30﹣2t，解得t＝10，答：10秒后四边形APQB为平行四边形；（2）设t秒后四边形PDCQ为平行四边形，则AP＝t，CQ＝2t，PD＝24﹣t，∵DP∥CQ，∴当DP＝CQ时，四边形PDCQ为平行四边形，即24﹣t＝2t，解得t＝8，答：8秒后四边形PDCQ为平行四边形．【变式6-1】在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD∥BC，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝22cm，点P、Q分别从A、C同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C出发向B运动．（1）几秒后，四边形CDPQ为平行四边形？（2）几秒后，PQ＝CD？【分析】（1）由当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程20﹣2t＝3t，解此方程即可求得答案；（2）首先过D作DE⊥BC于E，可求得EC的长，又由当PQ＝CD时，四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD＝QC﹣EF＝QF+EC＝2CE，即3t﹣（20﹣2t）＝4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案．再一种情况是四边形PQCD为平行四边形，PQ＝CD．【解答】解：根据题意得：PA＝2t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝20﹣2t．（1）∵AD∥BC，即PD∥CQ，∴当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形，即20﹣2t＝3t，解得：t＝4，即当t＝4时，四边形PQCD为平行四边形；（2）由（1）得：t＝4时，PQ＝CD，②过D作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，∴BE＝AD＝20cm，∴EC＝BC﹣BE＝2cm，当PQ＝CD时，四边形PQCD为等腰梯形，如图所示：过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，则四边形PDEF是矩形，∴EF＝PD，PF＝DE，在Rt△PQF和Rt△CDE中，，∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），∴QF＝CE，∴QC﹣PD＝QC﹣EF＝QF+EC＝2CE，即3t﹣（20﹣2t）＝4，解得：t＝，即当t＝时，四边形PQCD为等腰梯形，PQ＝DC．综上：当t＝4或时，PQ＝DC．【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．【变式6-2】（2021春•睢县期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？【分析】（1）由题意得到AD＝CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【解答】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：①当点F在C的左侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm，∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6﹣2t，解得t＝2；②当点F在C的右侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm，∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AEFC为平行四边形，即t＝2t﹣6，解得t＝6，综上可得：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．题型7：平行四边形的判定简单综合7.如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长．【分析】（1）连接BD交AC于O．只要证明OE＝OF，OB＝OD即可．（2）在Rt△BEF中，EF＝＝＝6，推出OE＝OF＝3，在Rt△BEO中，OB＝＝＝，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵BE⊥AC，∴∠BEF＝90°，在Rt△BEF中，EF＝＝＝6，∴OE＝OF＝3，在Rt△BEO中，OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2．【变式7-1】（2022春•礼泉县期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：△AEF≌△BAC；（2）四边形ADFE是平行四边形吗？请说明理由．【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC，再由等边三角形的性质得AB＝AE，AB＝2AF，则AF＝BC，由HL即可得出结论；（2）由等边三角形的性质得∠DAC＝60°，AC＝AD，再证EF∥AD，然后由全等三角形的性质得EF＝AC，则EF＝AD，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB＝AE，AB＝2AF，∴AF＝BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AEF≌Rt△BAC（HL）；（2）解：四边形ADFE是平行四边形，理由如下：∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°，∴AD⊥AB，又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，由（1）得：△AEF≌△BAC，∴EF＝AC，∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形．【变式7-2】（2022•嘉定区二模）如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AC＝AD，点E在边BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，联结DE．（1）求证：BC＝DE；（2）当AC＝BC时，求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】（1）证△ABC≌△AED（SAS），即可得到结论；（2）证BC＝AD＝DE，则∠EAD＝∠AED，再证∠AEB＝∠B，则∠EAD＝∠AEB，得AD∥BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论．【解答】证明：（1）∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD．在△ABC与△AED中，．∴△ABC≌△AED（SAS）．∴BC＝DE；（2）由（1）可知，△ABC≌△AED，∴∠B＝∠AED，BC＝DE，AC＝AD，∵AC＝BC，∴BC＝AD＝DE，∴∠EAD＝∠AED，∴∠B＝∠EAD，∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B，∴∠EAD＝∠AEB，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题关键．【变式7-3】（2022春•沂南县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD．连接AF．（1）求证：AE＝CE；（2）求证：四边形ABDF是平行四边形．【分析】（1）由ASA证明△ADE≌△CBE，即可得出结论；（2）先证四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CD，AB＝CD，再证DF＝AB，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBE，在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE；（2）∵AE＝CE，BE＝DE，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DF＝CD，∴DF＝AB，又∵DF∥AB，∴四边形ABDF是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ADE≌△CBE是解此题的关键．三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.注意：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.题型8：三角形的中位线（一条）8.如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝×10＝5，故选：D．【变式8-1】如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝5，在Rt△AFB中，D是AB的中点，∴DF＝AB＝3.5，∴EF＝DE﹣DF＝1.5，故答案为：1.5【变式8-2】如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（）A．17 B．18 C．19 D．20【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，∴DE＝2MN＝3，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝10，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，故选：A．【变式8-3】如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．（1）求证：DE是△BCF的中位线．（2）试连接BD，AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）由平行四边形的性质即可证明DE是△BCF的中位线；（2）因为平行四边形的对边平行且相等，所以AB∥CD，AB＝CD；又因为点E是AD的中点，易得△ABE≌△DFE，所以AB＝DF，所以四边形ABDF为平行四边形．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥BC，∴点E是AD的中点，∴DF＝CD，∴DE是△BCF的中位线；（2）四边形ABDF为平行四边形，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠BFD，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEB＝∠DEF，∴△ABE≌△DFE，∴AB＝DF，∵AB∥DF，∴四边形ABDF为平行四边形题型9：三角形的中位线（多条）9.如图，△ABC中，三条中位线围成的△DEF的周长是15cm，则△ABC的周长是cm．【分析】根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵△DEF的周长是15，∴DE+DF+EF＝15，∵DE、DF、EF分别是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，AC＝2DF，AB＝2EF，∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝2（DE+DF+EF）＝30（cm），故答案为：30．【变式9-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为．【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN的度数．【解答】解：在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB＝CD，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∵∠MPN＝130°，∴∠PMN＝＝25°．故答案为：25°．【变式9-2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是．【分析】根据三角形中位线定理得到PM∥BC，PM＝BC＝3，PN∥AD，PN＝AD＝3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：∵P、M分别是AB、AC的中点，∴PM∥BC，PM＝BC＝3，∴∠APM＝∠CBA＝70°，同理可得：PN∥AD，PN＝AD＝3，∴∠BPN＝∠DAB＝50°，∴PM＝PN＝3，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN为等边三角形，∴△PMN的周长为9，故答案为：9．【变式9-3】如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn∁n的周长为（）A．a B．a C．a D．a【分析】根据三角形中位线定理得到△A1B1C1的周长＝a，△A2B2C2的周长＝a＝a，总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：∵点A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点，∴B1C1＝BC，A1C1＝AC，A1B1＝AB，∴△A1B1C1的周长＝a，同理，△A2B2C2的周长＝a＝a，……则△AnBn∁n的周长＝a，故选：A题型10：构造三角形中位线解题10.如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG．【分析】连接AD，根据三角形中位线定理证明即可．【解答】证明：连接AD，∵E、H分别为AB、BD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝AD，同理可得：FG＝AD，∴EH＝FG．【变式10-1】如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF＝CF．【分析】过D作DG∥AC，可证明△AEF≌△DEG，可得AF＝DG，由三角形中位线定理可得DG＝CF，可证得结论．【解答】证明：如图，过D作DG∥AC，则∠EAF＝∠EDG，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC中点，∴G为BF中点，∴DG＝CF，∵E为AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴DG＝AF，∴AF＝CF．【变式10-2】如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．【解答】解：相等．理由如下：取AD的中点G，连接MG，NG，∵G、N分别为AD、CD的中点，∴GN是△ACD的中位线，∴GN＝AC，同理可得，GM＝BD，∵AC＝BD，∴GN＝GM＝AC＝BD．∴∠GMN＝∠GNM，又∵MG∥OE，NG∥OF，∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，∴OE＝OF．【变式10-3】已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．【分析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF＝∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH＝∠OHG，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF＝BD，同理：ME∥AC，ME＝AC，∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．一、单选题1．（2022八下·思南月考）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行 B．对角线互相平分C．一组对边相等 D．对角线互相垂直【答案】B【解析】【解答】解：A、一组对边平行无法判断四边形是平行四边形，故此选项错误，不符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项正确，符合题意；C、一组对角相等无法判断四边形是平行四边形，故此选项错误，不符合题意；D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故此选项错误，不符合题意.故答案为：B.

【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此一一判断得出答案.2．（2021八下·增城期末）如图，在△ABC中，点D和点E分别是BC和BA的中点，若AC=4，则DE=（）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】【解答】解：∵点D和点E分别是BC和BA的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC=2故答案为：B．

【分析】DE为三角形的中位线，直接由中位线定理计算长度即可3．（2020八下·昌吉期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A，B间的距离.下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝C D．CM＝12【答案】C【解析】【解答】因为M.N是AC，BC的中点，MN=12AB，MN//AB,B正确,CM=1即AB=2MN=36，A正确;MN=12故本题选C.【分析】根据线段的中点，可得CM=12AC，根据三角形的中位线定理，可得MN=14．（2021八下·罗湖期末）如图，在四边形ABCD中，G是对角线BD的中点，AB＝DC，∠ABD＝100°，∠BDC=44°，则∠GEF的度数是（）A．10° B．20° C．28° D．30°【答案】C【解析】【解答】∵点E、G分别是BC、BD的中点，

∴EG∥CD，EG=12CD，∴∠BGE=∠BDC=44°，

∵点F、G分别是AD、BD的中点，

∴FG∥AB，FG=12AB，∴∠BGF=180°-∠ABD=80°，

∴∠EGF=80°+44°=124°，

∵AB=CD，∴EG=FG，

∴∠GEF=∠GFE=故答案为：C.【分析】根据三角形中位线定理可得EG∥CD，EG=12CDFG∥AB，FG=15．（2021八下·沂南期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列选项不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BCC．AO＝CO，OB＝OD D．∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB【答案】B【解析】【解答】解：A.由AB＝DC，AD＝BC，能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；B.AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；C.AO＝CO，OB＝OD，能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；D.∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB，又∵∠ABC+∠ADC+∠DAB+∠DCB=360°，∴∠ABC+∠DCB=180°，∠ABC+∠DAB=180°，∴AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意．故答案为：B．

【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。6．（2020·邯郸模拟）如图的ΔABC中，AB>AC>BC，且D为BC上一点．今打算在AB上找一点P，在AC上找一点Q，使得ΔAPQ与ΔPDQ全等，以下是甲、乙两人的作法：（甲）连接AD，作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求（乙）过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q两点即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确 B．两人皆不正确C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确【答案】A【解析】【解答】解：如图1，∵PQ垂直平分AD，∴PA=PD，QA=QD，而PQ=PQ，∴ΔAPQ≌ΔDPQ(SSS)，所以甲正确；如图2，∵PD//AQ，DQ//AP，∴四边形APDQ为平行四边形，∴PA=DQ，PD=AQ，而PQ=QP，∴ΔAPQ≌ΔDQP(SSS)，所以乙正确．故答案为：A．【分析】如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PD，QA=QD，则根据“SSS”可判断ΔAPQ≌ΔDPQ，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ，PD=AQ，则根据“SSS”可判断ΔAPQ≌ΔDQP，则可对乙进行判断．7．（2021八下·柯桥期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB//CD，AD//BC B．OA=OC，OB=ODC．AD=BC，AB//CD D．AB=CD，AD=BC【答案】C【解析】【解答】解：A、AB//CD，AD//BC，可以证明四边形ABCD为平行四边形，不符合题意；B、OA=OC，OB=OD，可以证明四边形ABCD为平行四边形，不符合题意；C、AD=BC，AB//CD，不可以证明四边形ABCD为平行四边形，符合题意；D、AB=CD，AD=BC，可以证明四边形ABCD为平行四边形，不符合题意.故答案为：C.【分析】直接根据平行四边形的判定定理进行判断.二、填空题8．（2021八下·甘井子期中）如图，ΔABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，若DE=2，则AC=．【答案】4【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、BC的中点，∴DE＝12∵DE＝2，∴AC＝4．故答案为：4.

【分析】根据三角形中位线的性质可得DE＝129．（2020八下·昆明期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（写一个即可）.【答案】AD∥DC【解析】【解答】解：∵AD//BC∴当AD∥DC时，四边形ABCD成为平行四边形故答案为：AD∥DC.【分析】根据平行四边形的判定定理即可求解.10．（2021八下·叙州期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=70°，∠C=40°，DE//AB交BC于点E，若AD=5cm，BC=17cm【答案】12【解析】【解答】解：∵AD//BC∴四边形ABED是平行四边形∴BE=AD=5∴EC=BC-BE=17cm-5cm=12cm∵DE∴∠DEC=∠B=70°∵∠C=40°∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=70°∴∠EDC=∠DEC∴CD=CE=12cm.故答案为：12.【分析】先证明四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的性质求出BE的长，然后根据平行线的性质和三角形内角和定理求出∠EDC=∠DEC，最后根据等角对等边即可解答.11．（2021八下·虹口期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，点M是AB的中点，如果AB=20，AC=10，那么DM=．【答案】5【解析】【解答】解：延长AD交BC于E，如