八年级数学下册18.2.1矩形的性质与判定十大题型

18.2.1矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.注意：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.题型1：理解矩形的性质1.（2022八下·梧州期末）下列语句中，不是属于矩形性质的是（）A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等C．四个内角都是直角 D．两条对角线互相垂直【变式1-1】矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为．【变式1-2】∠A和∠C是矩形ABCD的一组对角，则：①∠A与∠C相等；②∠A与∠C互补；③∠A是直角；④∠C是直角，以上结论中，正确的有．题型2：利用矩形的性质判定三角形全等2.（2022九上·历城月考）如图，矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB，且BN⊥AM，垂足为N，证明：△ABN≌△MAD；【变式2-1】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．【变式2-2】（2022九上·宝鸡月考）如图，点E为矩形ABCD内一点，且EA=EB．求证：ED=EC．题型3：矩形的性质与求角度3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（）A．70° B．60° C．80° D．45°【变式3-1】用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（）A．46° B．52° C．56° D．62°【变式3-2】如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（）A．40° B．45° C．50° D．60°【变式3-3】（2021八下·叙州期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若∠AOB＝50°，则∠OAD的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．15°【变式3-4】（2022九上·惠阳月考）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO=15∘，则A．85∘ B．80∘ C．题型4：矩形的性质与求线段4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4 B．4 C．3 D．5【变式4-1】（2023九上·成华期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=14AC，连接EF.若AC=10A．52 B．3 C．4 【变式4-2】（2022九上·平遥期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是(2，4)，则A．13 B．8 C．25 D．题型5：矩形性质综合5.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．12【变式5-1】（提升题）（2022·绥化模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（）A．0 B．3 C．4 D．6【变式5-2】如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．【变式5-3】（2022·梧州模拟）如图，在矩形ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD于点E，F，若AB=8，A．4 B．8 C．5 D．2直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.题型6：直角三角形斜边中线等于斜边的一半6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（）A．6 B．6.5 C．10 D．13【变式6-1】已知：如图，∠ABC=∠ADC=90∘，点M是AC的中点，MN⊥BD于点N，求证：N是【变式6-2】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【变式6-3】如图，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且DE∥BC，AE＝BE．（1）若BE＝5，求DE的长；（2）求证：AB＝BC．矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形（对角线互相平分且相等）.3.有三个角是直角的四边形是矩形.注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.题型7：矩形的判定（三直角）7.（2022八下·长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E．求证：四边形ADBE是矩形．【变式7-1】（2023九上·凤翔期末）如图，过△ABC的顶点A分别作∠ACB及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形AECF是矩形；【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形．题型8：矩形的判定（平行四边形+一个直角）8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠BAC＝90°时，想一想，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论．【变式8-1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形．【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形．题型9：矩形的判定（平行四边形+对角线相等）9.如图，在▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2，试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．【变式9-1】如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．【变式9-2】如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形．【变式9-3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；（2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．题型10：矩形的判定综合10.（2022八下·温州期末）如图，O是▱ABCD对角线的交点，BE⊥OC于点E，延长BE至点F，使EF=BE，连结DF．（1）求证：∠F=90°．（2）当▱ABCD为矩形，AC=6，BF=25【变式10-1】（2022九上·大田期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且△ABO是等边三角形.（1）证明：平行四边形ABCD是矩形；（2）若AB=4，求矩形ABCD的面积.【变式10-2】（2022九上·高陵期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AB，延长AB至点E，使BE=AB，连接EC．（1）求证：四边形BECD是矩形．（2）连接AC，若AD=3，CD=2，求【变式10-3】（2022八上·莲湖月考）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．（1）如图①，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；（2）如图②，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．【变式10-4】（2022九上·吴江月考）（1）课本情境：如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发时，点P和点Q之间的距离是10cm；（2）逆向发散：当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm2？一、单选题1．（2021·茅箭模拟）下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．四个角都相等的四边形是矩形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．有一个角是直角的四边形是矩形2．（2021八下·南沙期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=2，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长应该为（）A．4 B．3 C．2 D．13．（2020·黄冈模拟）将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使得C与C'重合，若DC'A．1 B．2 C．3 D．44．（2022七下·淮阴期末）如图，长方形ABCD是由30个大小相等的正方形拼成的，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则长方形ABCD的面积是（）A．2 B．43 C．32 5．（2022八下·莱芜期末）直角三角形两条直角边长分别为5-3和A．12 B．2 C．1 6．（2021八下·岑溪期末）某小区有一个直角三角形小花园ABC（如图），其中∠ABC＝90°，AB＝12m，BC＝5m，为了方便和美观，准备在小花园中间修一条小路，从顶点B修到AC边的中点D，则所修小路BD的最短距离为（）A．6m B．6.5m C．7m D．8.5m二、填空题7．（2021八下·开州期末）如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝35°，则∠DBE＝度.8．（2021九上·沈河期末）如图，公路AC与BC互相垂直，垂足为点C，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.6km，则点M与C之间的距离是km.9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是.10．（2021九上·清涧期末）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上移动时，点A随之在边OM上移动，AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为.11．（2022七下·金华月考）如图，在一块长AB＝15m，宽BC＝11m的长方形草地上，修建三条宽均为1m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为m2.三、解答题12．（2021八下·硚口期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，点F在边AD上，BE=DF，求证：四边形AECF是矩形.13．（2021八下·吉林期中）如图，在Rt△ABC中∠ACT=90°，CD是斜边AB上的中线，AC=4，CD=3。求直角边BC的长四、综合题14．（2021八下·汉阳期末）如图1，已知AD//BC，AB//CD，∠B=∠C.（1）求证：四边形ABCD为矩形（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN=2.若∠BNC=2∠DCM