八年级数学下册20.2数据的波动程度五大题型（解析版）

20.2数据的波动程度方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：求方差的步骤：第一步：先求原始数据的平均数；第二步：求原始数据中各数据与平均数的差；第三步：求所得各个差数的平方；第四步：求所得各平方数的平均数。注意：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。在实际生活中，用方差的大小来判断数据的稳定性。（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变。（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍。（4）方差的大小与数据本身的大小无关。（5）方差的单位是原数据单位的平方。题型1：方差1.数据1，2，3，4，5的方差是（）A．2 B．2 C．3 D．5【答案】B【解析】【解答】解：∵1，2，3，4，5，∴x¯∴S＝2，故答案为：B.【分析】首先根据算术平均数的计算方法求出平均数，接着由方差就是每一个数据与平均数差的平方和的平均数，据此即可算出答案.【变式1-1】小颖连续次数学考试成绩与这次成绩的平均分的差值分别为，，，，，则这次成绩的方差是________．【答案】3【分析】根据平均数、方差公式计算即可．【详解】解：小颖连续5次数学考试成绩与这5次成绩的平均分的差值分别为2，1，，0，3，；故答案为：3．【点睛】本题考查了方差、算术平均数的知识，解题的关键是能够牢记公式并能正确的运算，难度不大．【变式1-2】若一组数据13，14，15，16，x的方差比另一组数3，4，5，6，7的方差大，则x的值可能是（

）A．12 B．16 C．17 D．18【答案】D【分析】观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个x的值计算出前一组数据的方差求解．【详解】数据3，4，5，6，7，每2个数相差1；数据13，14，15，16，x的前四个数据也相差1，若x=17或x=12，两组数据方差相等，而数据13，14，15，16，x的方差比另一组数3，4，5，6，7的方差大，则x的值可能是18，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义．题型2：利用方差分析数据2.某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队中每个队员的身高单位：如下：甲队平均数中位数众数方差甲队乙队两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：(1)表中______，______；(2)请计算乙队身高的方差；(3)根据表格中的数据，你认为选择哪队比较好？请说明理由．【答案】(1)，(2)1.8(3)甲队，见解析【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得、的值；（2）根据方差的计算公式可得乙队身高的方差；（3）根据方差的意义解答即可．【详解】（1）解：乙队共名队员，中位数落在第组，故中位数，甲队出现的次数最多，故众数．故答案为：；．（2）解：乙队身高的方差为：．（3）解：选甲队好，理由如下：甲队的方差为，乙队的方差为，甲队的方差小于乙队的方差，甲队的身高比乙队整齐，选甲队比较好．【点睛】本题考查了统计图，正确理解平均数、中位数、方差的意义是解题的关键．【变式2-1】在甲、乙两名同学中选拔一人参加“英语口语听力”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：甲：79，81，82，85，83乙：88，79，90，81，72.（1）求甲、乙两名同学测试成绩的方差；（2）请你选择一个角度来判断选拔谁参加比赛更合适.【答案】（1）解：甲平均分为x=乙的平均分为x=甲的方差:s乙的方差s（2）解：选拔甲参加比赛更合适，∵4＜42，甲、乙的平均分相等，甲的方差较小∴甲的成绩比较稳定∴选拔甲参加比赛更合适.【解析】【分析】（1）先求出甲、乙两名同学的平均分，再利用方差公式计算方差即可；（2）根据平均分相同，方差越小，成绩越稳定，即可判断.【变式2-2】某市举行知识大赛，校、校各派出名选手组成代表队参加比赛，两校派出选手的比赛成绩如图所示．根据图中信息，整理分析数据：平均数分中位数分众数分校

校

请你结合图表中所给信息，解答下列问题：(1)______；______；(2)填空：（填“校”或“校”）①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是______；②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是______；(3)计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定．【答案】(1)；(2)①校；②校(3)校派出的代表队选手成绩较为稳定【分析】根据条形图将校数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；从表中数据，利用平均数和中位数和众数的意义可得出答案，计算出、两校成绩的方差，根据方差的意义可得答案．【详解】（1）解：将校名选手的成绩重新排列为：、、、、，∴中位数，众数，故答案为：；．（2）①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是校；②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是校；故答案为：校；校．（3）∵，，∴，∴校派出的代表队选手成绩较为稳定．【点睛】本题考查方差，解题的关键是掌握中位数、众数的定义及平均数、众数、中位数和方差的意义．极差、标准差用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。注意：①极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大。一组数据极差越小，这组数据就越稳定。②方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：标准差的数量单位与原数据一致。类别区别联系极差极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大。一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差。极差与方差都是表示一组数据离散程度的特征数。方差方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小。方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好。求一组数据的稳定性时用方差。题型3：极差、标准差3.一组数据：，，，，的众数，中位数，方差分别是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【分析】将数据从小到大依次排列，然后求解中位数，众数，方差即可．【详解】解：由题意知，数据从小到大依次排列为：1、2、2、2、3，∴众数为2，中位数为第3位的数值即为2，平均数为：，∴方差为：，故选：B．【点睛】本题考查了中位数、众数、方差．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．【变式3-1】如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的标准差为()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】直接利用平均数的求法，得出一元一次方程，解出即可得出的值，进而求出这组数据的方差，从而求出标准差．【详解】解：∵一组数据6，7，，9，5的平均数是，∴，解得：，∴这组数据的平均数为6，∴这组数据的方差为，∴这组数据的标准差为．故选：C．【点睛】本题主要考查了平均数和标准差，正确得出的值是解本题的关键．【变式3-2】某学习小组的5名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、89分，则下列结论正确的是（）A．平均分是91 B．众数是94 C．中位数是90 D．极差是8【答案】B【解析】【解答】解：A、平均分为：（94+98+90+94+89）÷5＝93（分），故此选项不符合题意；B、94分、98分、90分、94分、89分中，众数是94分．故此选项符合题意；C、五名同学成绩按大小顺序排序为：89，90，94，94，98，故中位数是94分，故此选项不符合题意；D、极差是98﹣89＝9，故此选项不符合题意．故答案为：B．【分析】直接利用平均数、众数、中位数及极差的定义分别求解，然后判断即可.【变式3-3】某校元旦文艺汇演中，10位评委给某个节目打分，在统计数据时，发现其中一位评委给了一个特别高的评分，你认为下列哪个统计量比较恰当地反映了该节目的水平（）A．中位数 B．方差 C．平均数 D．标准差【答案】A【分析】根据平均数、中位数、方差、标准差的意义即可进行解答．【详解】解：∵平均数容易受极端值的影响，中位数不易受极端值的影响，方差和标准差反映数据是稳定性，∴中位数较恰当地反映了该节目的水平．故选：A．【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、方差、标准差的意义，解题的关键是掌握各个统计量的意义．【变式3-4】已知一组数据，，，……，的平均数是50、方差是1，则另一组数据，，，……，的平均数和标准差分别是（

）A．53，2 B．103，2 C．100，4 D．103，4【答案】B【分析】根据平均数和方差的定义解答即可．【详解】解：∵一组数据，，，……，的平均数是50，∴另一组数据，，，……，的平均数是2×3+3=103．∵一组数据，，，……，的方差是1，∴另一组数据，，，……，的方差是22×1=4，∴另一组数据，，，……，的标准差是2．故选：B．【点睛】此题考查了方差的特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．题型4：利用标准差的公式进行计算4.在一次数学测试中，某小组五名同学的成绩（单位：分）如下表（有两个数据被遮盖）．组员甲乙丙丁戊方差平均成绩得分8179808280那么被遮盖的两个数据依次是（）A．80，2 B．80，10 C．78，2 D．78，10【答案】C【解析】【解答】根据题意得：80×5-（81+79+80+82）=78（分），则C的得分是78分；方差=15[（81-80）2+（79-80）2+（78-80）2+（80-80）2+（82-80）2故答案为：C．

【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案。【变式4-1】一次数学测试后，某小组五名同学的成绩及数据分析如下表所示（有两个数据被遮盖），那么被遮盖的两个数据依次是（）．甲乙丙丁戊方差平均成绩8179■8082■80A．78，2 B．78，2 C．80，2 D．80，2【答案】B【解析】【解答】根据题意得：80×5-(81+79+80+82)=78，则丙的得分是78；方差：S2故答案为：B．【分析】先用80×5求出数据的总数，根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差的计算公式进行计算即可．【变式4-2】在“新冠肺炎”疫情中，某班30名同学积极捐款，捐款情况统计如下表所示，其中有两个数据被遮盖捐款数额（元）51015203050100人数▄▄79632下列关于的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）A．平均数，方差 B．中位数，方差C．平均数，众数 D．中位数，众数【答案】D【解析】【解答】解：这组数据的中位数是从大到小排列第15个数和第16个数的平均数，而第15个数和第16个数都是20，

∴被遮盖的数据与中位数无关；

∵30-7-9-6-3-2=3

∴这组数据的众数,20

∴被遮盖的数据与众数无关.

故答案为：D.

【分析】由已知数据可知这组数据的中位数，再取出捐款5元和10元的人数和为3,就可单独的这组数据的众数是20，即可作出判断。题型5：用数据分析法作决策5.某市举行英语口语大赛，现甲、乙两校各人的比赛成绩如下表（分制）：甲校乙校(1)甲校成绩的众数是_______分，乙校成绩的中位数是_______分；(2)计算甲校的平均成绩和方差；(3)已知乙校成绩的方差是，则成绩较为整齐的是______校．【答案】(1)10，9(2)平均成绩是9，方差是1.4(3)乙【分析】（1）根据众数及中位数的定义解答；（2）根据平均数及方差的计算公式解答；（3）比较方差，较小的较为整齐．【详解】（1）解：甲校成绩中，出现次数最多的是10，出现5次，故众数是10；乙校成绩由小到大重新排列为7，8，8，9，9，9，10，10，10，10，第5个和第6个数据分别为9，9，故中位数是9，故答案为：10，9；（2）解：甲校的平均成绩是，方差是；（3）解：∵甲校的方差是1.4，乙校的方差是1，，∴乙校的成绩较为整齐，故答案为：乙．【点睛】此题考查了求平均数，方差，众数，中位数，利用方差确定稳定性，正确掌握各知识点是解题的关键．【变式5-1】某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．​(1)根据图示填写下表：平均数/分中位数/分众数/分A校_______85_______B校85_______100(2)结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；(3)若A校的方差为70分2，计算B校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．【答案】(1)85；85；80(2)在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些(3)B校的方差为160，A校代表队选手成绩较为稳定【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答；（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；（3）分别求出A校、B校的方差即可．【详解】（1）A校平均数为：（分），众数85（分）；B校中位数80（分）．填表如下：平均数/分中位数/分众数/分A校858585B校8580100故答案为：85；85；80．（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．（3）B校的方差∴，因此，A校代表队选手成绩较为稳定．【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．【变式5-2】为庆祝中国共产党建党100周年，某中学组织七、八年级全体学生开展了“党史知识”竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩(满分为100分).

收集数据：

七年级：90、95、95、80、85、90、80、90、85、100；

八年级：85、85、95、80、95、90、90、90、100、90.分析数据：平均数中位数众数方差七年级89m9039八年级n90pq根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中m，n，p的值；（2）通过计算求出q的值；（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；【答案】（1）解：m=90，n=90，p=90（2）解：八年级的方差q=1（3）解：八年级的学生成绩好，理由如下：七，八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更稳定，综上，八年级的学生成绩好.【解析】【解答】解：（1）七年级的中位数为90+902=90，故八年级的平均数为：110×(85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]=90，故八年级中90分的最多，故p=90【分析】（1）将七年级的成绩按照由低到高的顺序进行排列，求出中间两个数据的平均数即为中位数m的值，首先求出八年级成绩的总和，然后除以学生数可得平均数n的值，找出出现次数最多的数据即为众数p的值；

（2）直接根据方差的计算公式进行计算可得q的值；

（3）根据中位数、众数、平均数、方差的大小以及意义进行分析判断.一、单选题1．王明同学把5次月考成绩(单位：分，满分100分)整理如下：75，74，78，73，75，关于这组数据的说法正确的是()A．众数为74 B．中位数为74 C．平均数为76 D．方差为2.8【答案】D【分析】分别求出该组数据的众数、平均数、中位数及方差后，选择正确的答案即可．【详解】＝(75+74+78+73+75)＝75；∵排序后为：73、74、75、75、78，∴中位数为：75；∵75出现了2次，最多，∴众数为75，S2＝[(75﹣75)2+(74﹣75)2+(78﹣75)2+(73﹣75)2+(75﹣75)2]＝2.8．故选D．【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及方差后找到正确的选项即可．2．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：选手甲乙丙丁平均数（环）9.39.39.39.3方差0.0250.0150.0350.023则这四人中成绩发挥最稳定的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，对题目进行分析即可得到答案．【详解】因为S甲2＞S丁2＞S丙2＞S乙2，方差最小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．故选B．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．3．一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表（有两个数据被遮盖）：那么被遮盖的两个数据依次是（

）A．80、2 B．80、 C．78、2 D．78、【答案】C【详解】丙的成绩是：5×80-（81+79+80+82）=78；方差是：=2.故选C.4．今年某省启动“关爱留守儿童工程”，某小学为了了解各年级留守儿童数量，对各年级留守儿童进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10、15、10、17、18、20，对于这组数据，下列说法错误的是（

）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是16 D．方差是5【答案】D【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可．【详解】A、平均数为（10+15+10+17+18+20）＝15，不符合题意；B、众数为10，不符合题意；C、中位数为＝16，不符合题意；D、方差为×[2×（10﹣15）2+（15﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）2+（20﹣15）2]＝，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查集中趋势的量与离散程度的量问题，关键掌握三数一差，即众数、平均数、中位数与方差知识，同时会求三数一差．5．某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：）如下图所示：设两队队员身高的平均数依次为，方差依次为，下列关系中完全正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据平均数的定义分别计算出甲、乙的平均数，然后根据方差公式计算出甲、乙的方差，即可对各选项进行判断．【详解】，，，∴，故选：A．【点睛】本题考查了平均数的计算和方差的计算，掌握计算方法是解题关键．二、填空题6．已知一组数据：，则这组数据的方差为_______．【答案】【分析】根据题意得出这组数据的平均数是2，再根据方差，列式计算即可．【详解】解：这组数据的平均数是，这组数据的方差．故答案为：0．【点睛】本题考查了方差：一般地设个数据，，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．7．在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.2，乙的成绩的方差为3.9，由此可知_____的成绩更稳定．【答案】甲【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【详解】解：因为S甲2=1.2＜S乙2=3.9，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．故答案为甲；【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8．一组数据100，103，106，109的方差与另一组数据2，5，8，11的方差______．（填“相等”或“不等”）【答案】相等【分析】先分别计算出两组数据的方差，再进行比较即可．【详解】解：100，103，106，109的平均数为：，所以方差为：，2，5，8，11的平均数为：，所以方差为：，所以两组数据的方差相等，故答案为：相等．【点睛】本题考查方差，当一组数据都加上一个数（或减去一个数）等于另一组数据时，两组数据方差相等．三、解答题9．某校为市体校选拔一名篮球队员教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数．请你根据图中的数据，填写下表姓名平均分众数极差方差王亮77______李刚7______5______你认为谁的成绩比较稳定，为什么？若你是教练，你打算选谁参赛？请利用以上数据或图中信息简要说明理由．【答案】（1）2，7，2.8；（2）王亮的方差小，成绩比较稳定；（3）答案见解析．【分析】（1）根据极差，众数，方差的定义即可解决问题；（2）利用方差判断即可．（3）从平均数，众数