八年级数学下册第17章 勾股定理 单元检测（解析版）

第17章勾股定理单元检测一、单选题1．下列各式中，正确的是（）A．(-4)2=4 B．(-4)2=-4 C．【答案】A【解析】【解答】解：A.(-4)2B.(-4)2C.16=4D.±4故答案为：A.【分析】根据二次根式的化简法则，分别化简四个选项判断正误即可得到答案.2．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有()A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC于E，∵AB=AC=5，BC=8，∴BE=EC=4，∴AE=3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C），∴AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，∵AD为正整数，∴AD=3或AD=4，当AD=4时，E的左右两边各有一个点D满足条件，∴点D的个数共有3个．故答案为：C．【分析】过A作AE⊥BC于E，利用等腰三角形的性质及勾股定理气促胡AD=3，当D与E重合时，AD最短，从而可得AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，由于AD为正整数，据此即得结论.3．（2022八上·越城期末）如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】【解答】解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，∴任意两个格点间的距离为22+22=8，32+1∴任意两个格点间的距离不可能是7，故答案为：A.【分析】利用方根纸的特点及勾股定理算出任意两点间距离的所有情况，即可判断得出答案.4．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=5 B．a=7，b=24，c=25C．a=4，b=5，c=6 D．a=6，b=8，c=10【答案】C【解析】【解答】解：A，32+42=25=（5）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；B，72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；C，42+52=41≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项正确；D，62+82=100=102，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；故选：C．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|<|b| B．a>-b C．b>a D．a>-2【答案】C【解析】【解答】A、如图所示：-3＜a＜-2，1＜b＜2，故此选项不符合题意；B、如图所示：a＜-b，故此选项不符合题意；故答案为：C．【分析】通过观察数轴可得a<b，且|a|>|b|，据此逐项进行判断.6．如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高4m，两树相距15m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（）A．8m B．10m C．13m D．17m【答案】D【解析】【解答】解：如图，设大树高为AB=10=2m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，连接AC，则四边形EBDC是矩形，∴EB=CD=4m，EC=15m，AE=AB﹣EB=12﹣4=8（m），在Rt△AEC中，AC=AE2+E故小鸟至少飞行17m．故选：D．【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．7．如图所示，一只蚂蚁在正方体的一个顶点A处，它能爬到顶点B处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为（）A．8 B．2+1 C．5 D．3【答案】C【解析】【解答】解：将正方体展开，如图所示：在直角△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2，BC=1，∴AB=AC故选C．【分析】先把正方体展开，连接AB，再根据勾股定理求出AB的值即可．8．（2022八下·东川期末）若△ABC三边a、b、c满足|a-3|+(b-4)A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A【解析】【解答】解：∵|a-3|+(b-4)∴a-3=0，∴a=3，∴a2∴△ABC是直角三角形；故答案为：A．【分析】利用非负数之和为0的性质求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理证明即可。9．等边△ABO在平面直角坐标系内的位置如图所示，已知△ABO的边长为6，则点A的坐标为（）A．（﹣3，3） B．（3，﹣33）C．（﹣3，33） D．（﹣3，﹣33）【答案】C【解析】【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，∵∠AOB=60°∴∠CAO=30°，∴CO=12∴由勾股定理可知：AC=33，∴A（﹣3，33），故选（C）【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，然后根据三线合一即可求出AC和OC的长度．10．（2021八上·毕节期末）下列命题中，是真命题的有（）①以1、2、3为边的三角形是直角三角形，则1、2、3是一组勾股数；②若一直角三角形的两边长分别是5、12，则第三边长为13；③二次根式nm④在实数0，﹣0.3333……，π3，0.020020002，5，0.23456…，3⑤东经113°，北纬35.3°能确定物体的位置.A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．④⑤【答案】D【解析】【解答】解：①以1、2、3为边的三角形是直角三角形，但1、2、3不是勾股数，故该项不是真命题；②若一直角三角形的两边长分别是5、12，则第三边长为13或119，故该项不是真命题；③二次根式nm④在实数0，﹣0.3333……，π3，0.020020002，5，0.23456…，3⑤东经113°，北纬35.3°能确定物体的位置，故该项是真命题；故答案为：D.【分析】①勾股数就是满足其中两个数的平方和等于第三个数的平方的三个正整数，据此进行判断；②分两种情况：12为直角边或12为斜边，利用勾股定理分别计算，再判断即可；③最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母和被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可；④无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，据此逐一判断；⑤地图上确定物体的位置：经度和纬度，据此判断即可.二、填空题11．一个直角三角形的两条直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边长为cm。【答案】13【解析】【解答】由勾股定理得：斜边长52【分析】由勾股定理，直角三角形的斜边的长，等于两直角边平方和的算数平方根，即可算出答案。12．如图，一旗杆被大风刮断，旗杆的顶部着地点到旗杆底部的距离为4m，折断点离旗杆底部的高度为3m，则旗杆的高度为m.【答案】8【解析】【解答】解：依题可得：AC=4，AB=3.∴BC=A∴旗杆的高度为：AB+BC=3+5=8(米).13．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为．【答案】42或32【解析】【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=A在Rt△ACD中，CD=∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=A在Rt△ACD中，CD=A∴BC=9﹣5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32故答案是：42或32．【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．14．某校校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图）．学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点A＇安装灯带，已知此三棱柱的高为5m，底面边长为2m，则灯带的长度至少为m．【答案】61【解析】【解答】解：解：将三棱柱展开如图，连接A’A，则A’A的长度就是彩带的最短长度，三棱柱的高为5m，底面边长为2m，∴灯带的长度至少为：A'A=5故答案为61.【分析】先画出三棱柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解.15．（2022八下·大兴期中）如图，点C为线段AB延长线上一点，正方形AEFG和正方形BCDE的面积分别为8和4，则△EDF的面积为．【答案】2【解析】【解答】解：如图所示，连接正方形BCDE的对角线CE，BD，且CE交BD于点O，∴∠BEC=45°，CE⊥BD，∵正方形AEFG和正方形BCDE的面积分别为8和4，∴正方形AEFG的边长为8=22，正方形BCDE的边长为∴EF=AE=22∵点C是线段AB延长线上一点，∴∠ABE=90°，∴AB=AE∴Rt∆ABE是等腰直角三角形，∴∠AEB=45°，∵∠AEF+∠AEB+∠BEC=180°，∴点F、E、C在同一直线上，∵CE⊥BD，∴OD=12∴S∆EDF故答案为：2．【分析】连接正方形BCDE的对角线CE，BD，且CE交BD于点O，由正方形的性质可得∠BEC=45°，CE⊥BD，根据正方形的面积可求出EF=AE=22，BE=CD=BC=2，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AB=2，即得Rt∆ABE是等腰直角三角形，从而得出点F、E、C在同一直线上，由正方形的性质及勾股定理可求出OD=12BD=三、解答题16．如图，△ABC的边AB=8，BC=5，AC=7．求BC边上的高．【答案】解：作AD⊥BC于D，由勾股定理得，AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，∴AB2-BD2=AC2-CD2，即82-（5-CD）2=72-CD2，解得，CD=1，则BC边上的高AD=AC【解析】【分析】作AD⊥BC于D，由勾股定理得AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，从而可得AB2-BD2=AC2-CD2，即得82-（5-CD）2=72-CD2，据此求出CD的长，利用勾股定理求出AD的长即可.17．（2021八上·佛山期中）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠D=90°．【答案】解：如图，连接AC，∵∠B=90°，AB=20，BC=15，∴AC=∵CD=7，AD=24，∴CD2∴A∴△ADC是直角三角形，AC是斜边∴∠D=90°【解析】【分析】连接AC，由∠B=90°，AB=20，BC=15，利用勾股定理得出AC的值，由CD=7，AD=24，得出AC2=625，由此得出△ADC18．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB/C/D/的位置，连接CC/，设【答案】证明：四边形BCC′D′为直角梯形，∴S梯形BCC′D′=12（BC+C′D′）•BD′=(a+b)又∵∠AB′C′=90°，Rt△ABC≌Rt△AB′C′∴∠BAC=∠B′AC′.∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°；∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=12∴(a+b)2∴a【解析】【分析】由题意知，四边形BCC′D′的面积从整体来看是一个直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从四边形的构成来看，是由三个直角三角形组成，根据三角形的面积公式来进行表示；由两种表示方法的结果相等可列等式，整理即可求解．四、综合题19．如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16，（1）若E是边AB的中点，求线段DE的长（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．【答案】（1）解：∵AC＝21，AD＝16，∴CD=21-16=5，∵DC²+BD²=5²+12²=169，BC²=13²=169，∴DC²+BD²=BC²，∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=152∵∠ADB=90°，E为斜边AB的中点，∴DE=12AB=1（2）解：当DE⊥AB时，DE有最小值.此时AB×DE=AD×DB，即20DE=16×12，解得DE=485【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，从而利用勾股定理求得AB=20，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DE长；（2）点到直线的距离垂线段最短，所以当DE⊥AB时，DE有最小值，从而分别利用两个直角边和斜边及其上的高求三角形ABD的面积，即可求得DE长.20．（2021八下·东阳期末）已知关于x的方程：x2﹣（6+m）x+9+3m＝0.（1）求证：无论m为何值，方程都有实数根.（2）若该方程的两个实数根恰为斜边为5的直角三角形的两直角边长，求m的值.【答案】（1）证明：对于关于x的方程x2-（6+m）x+9+3m=0，∵a=1，b=-（6+m），c=9+3m，∴△=b2-4ac=（6+m）2∴无论m为何值方程都有两个实数根；（2）解：∵直角三角形的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，∴AB+AC=m+6，AB•AC=9+3m，∵△ABC是直角三角形，∴AB2+AC2=BC2，∴（AB+AC）2-2AB•AC=BC2，即（m+6）2-2×（9+3m）=52，解得：m=-7或m=1，又∵AB•AC=9+3m，m为正数，∴m的值是1.【解析】【分析】（1）首先根据△=b2-4ac表示出△，然后根据其结果的正负即可确定方程根的情况；

（2）根据根与系数的关系可得AB+AC=m+6，AB•AC=9+3m>0，根据勾股定理可得AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB•AC=BC2，代入求解可得m的值.21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm．（1）求△ABC向右平移的距离AD的长；（2）求四边形AEFC的面积．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=AC2+BC2=5cm．∵∴AD=AE﹣DE=3cm（2）解：作CG⊥AB于G，如图，由三角形的面积公式得：CG•AB=AC•BC，∴5×CG=3×4，∴CG=125，∴四边形AEFC的面积=12（CF+AE）×CG=12×（3+8）×125答：四边形AEFC的面积是665cm【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB，根据平移的性质，AB=DE=5cm，根据AD=AE﹣DE即可算出答案；

（2）作CG⊥AB于G，如图，根据三角形的面积公式由CG•AB=AC•BC，得出CG的长，再根据四边形AEFC的面积=1222．（2022八上·长春期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．（1）请结合图①，写出完整的证明过程；（2）如图②，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=2，P是射线BC上一点，以AP为直角边在AP边的右侧作△APD，使∠APD=90°，AP=PD．过点D作DE⊥BC于点E，当DE=2时，则BD=【答案】（1）证明：∵△ABE≌△DEC，∴∠ABE=∠DEC，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∴∠BEC=90°，∴△BEC是等腰直角三角形，∴S△BEC∵S△BEC∴c2∴c2（2）2【解析】【解答】解：（2）如图②，过点A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，AB=2∴AH=BH=CH=1，∵∠APH+∠PAH=90°=∠APH+∠DPE，∴∠PAH=∠DPE，在△APH和△PDE中，∠PAH=∠DPE∠AHP=∠DEP∴△APH≌△PDE(AAS)，∴DE=PH=2，AH=PE=1，∴BE=BH+