八年级数学下册第18章 平行四边形 单元检测（解析版）

第18章平行四边形单元检测一、单选题1．（襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA=OC，OB=ODB．当AB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD，故A正确，∵四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，不能推出四边形ABCD是菱形，故B错误，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，故C正确，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形.故D正确.故答案为：B.【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD；

（2）根据菱形的判定“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知当AB=CD时，四边形ABCD是菱形错误；

（3）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可知当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形；

（4）根据对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形可知，当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形.2．（八下·温州期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若AB=AC=2，则四边形ADEF的周长为（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴AD=12AB=1，AF=1∴DE=12AC=1，EF=1∴四边形ADEF的周长=AD+DE+EF+AF=4，故答案为：C.【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的概念计算，得到答案.3．（2021八下·甘井子期中）▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，仍不能使它成为矩形的是（）A．∠BAD=90° B．AC=BDC．AB=AD D．∠ABC+∠ADC=180°【答案】C【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断是否为矩形，故此选项符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；故答案为：C.【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可。4．（八下·苍南期末）在▱ABCD中，∠B+∠D=216°，则∠A的度数为()A．36° B．72° C．80° D．108°【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AD∥BC，∠B=∠D，

∴∠B=216°÷2=108°，

∴∠A=180°-∠B=180°-108°=72°；

故答案为：B.【分析】由平行四边形的对角相等，得到∠B的度数，再根据对边平行，同旁内角互补可求∠A得度数。5．（八下·临泽期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=ODC．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC【答案】C【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；故选：C．【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．6．（八下·科尔沁期末）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB=7，BE=5，则MN=（）A．112 B．132 C．6 【答案】B【解析】【解答】解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=7，BE=5，∴GF=GB=5，BC=7，∴GC=GB+BC=5+7=12，∴CF=GF∵M，N分别是DC，DF的中点，∴MN=12CF=13故答案为：B．

【分析】连接CF，先利用勾股定理求出CF的长，再利用三角形中位线的性质可得MN=12CF=137．（八下·珠海期中）下列说法错误的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】B【解析】【解答】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不合题意；B、两条对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，符合题意；C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，不合题意；D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，不合题意；故答案为：B．【分析】直接利用平行四边形的判定方法以及菱形的判定方法和三角形中位线的性质、直角三角形的性质分别判断得出答案．8．（八下·六合期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB∥CD，∠C=∠A D．AB=AD，CB=CD【答案】C【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定可知：A、若AB∥CD，AD=BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．C、可判定是平行四边形的条件，故C正确．D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．故选C．【分析】根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可．9．（八下·苏州期末）如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=8，∠B=60°.分别以点B、D为圆心，大于12A．4521 B．4 C．35【答案】A【解析】【解答】解：由作法得EF垂直平分BD，∴FB=DF，连接BD交EF于O点，过D点作DH⊥BC于H，连接DF，如图，则OB=OD，EF⊥BD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，CD=AB=4，∴∠DCH=∠ABC=60°，在RtΔDCH中，∵CH=1∴DH=3设BF=x，则DF=x，FH=10-x，在RtΔDFH中，(10-x)2+(2在RtΔDBH中，BD=(2∴OB=27在RtΔBOF中，OF=(∵AD//BC，∴∠EDO=∠FBO，在ΔDOE和ΔBOF中，∠EDO=∠FBOOD=OB∴ΔDOE≅ΔBOF(ASA)，∴OE=OF，∴EF=2OF=4故答案为：A.【分析】利用作图知EF垂直平分BD，利用垂直平分线的性质，可得FB=DF，连接BD交EF于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接DF，可得OB=OD，EF⊥BD；利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AD∥BC，同时可求出CD的长及∠DCH的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CH的长及DH的长；设BF=x，可表示出DF，FH的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值及BD的长，即可得到OB的长；利用勾股定理求出OF的长；然后用ASA证△DOE≌△BOF，利用全等三角形的性质可证得OE=OF，即可求出EF的长.10．（2022八下·范县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，①PD=2EC；②四边形PECF的周长为8；③AP⊥EF；④AP=EF；⑤EF的最小值为22其中正确结论的序号为（）A．①②③⑤ B．②③④ C．②③④⑤ D．②③⑤【答案】C【解析】【解答】①∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四边形ABCD是正方形∴∠DBC＝45°∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，∴PD＝2DF∴PD=2EC故①不符合题意；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，又∵PE=CE∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故②符合题意；③如图1延长FP交AB于G，延长AP交EF于H，在正方形ABCD中，∴CD∥AB又∵PF⊥于CD∴∠AGP=90°；由②知四边形PECF是矩形，∴∠EPF=90°∴∠AGP=∠EPF；由①知PF=DF，又∵AG=DF∴AG=PF∴四边形BGPE是正方形，∴PG=PE∴△AGP≌△FPE∴∠BAP=∠PFE又∵∠APG=∠FPH，∠BAP与∠APG互余∴∠FPH与∠PFE互余∴∠PHF=90°即AP⊥EF故③符合题意；④由③知，△AGP≌△FPE∴AP=EF故④符合题意；⑤当AP⊥BC时，AP最小；A∴EF的最小值为22．故⑤综上：②③④⑤符合题意．故答案为：C．【分析】结合图形，利用正方形的性质，勾股定理等计算求解即可。二、填空题11．（十堰）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为．【答案】14【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，∴△OCD的周长=5+4+5=14，故答案为14．【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，由三角形的周长计算方法即可算出答案。12．（八上·鄞州月考）两边长分别为5，12的直角三角形，其斜边上的中线长为.【答案】6或6.5【解析】【解答】分两种情况①当5和12都是直角边时，根据勾股定理求得斜边长为13，即可得斜边上的中线长为6.5；②当12为斜边，5为直角边时，即可得斜边上的中线长为6.故答案为：6或6.5.

【分析】由题意可分两种情况求解：①当5和12都是直角边时，根据勾股定理求得斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解；②当12为斜边，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解。13．（青浦模拟）如果点D、E分别是△ABC的AB、AC边的中点，那么△ADE与△ABC的周长之比是．【答案】1：2【解析】【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的AB、AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DEBC∴L△ADEL△ABC＝故答案为：1：2．【分析】根据中位线的定理即可求出答案．14．（九上·金台期中）顺次连接矩形各边中点所得四边形为.【答案】菱形【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，∴EF=GH=12AC，FG=EH=1∵矩形ABCD的对角线AC=BD，∴EF=GH=FG=EH，∴四边形EFGH是菱形.故答案为：菱形.【分析】如图，连接AC、BD，根据三角形中位线定理可得EF=GH=12AC，FG=EH=115．（八下·福绵期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝2，则AE的长为.【答案】83【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝8，AB∥CD，∴∠ADF＝∠ECF，∵点F为边DC的中点，∴DF＝CF＝4，又∵∠DFA＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴AF＝EF，∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，又∵DG⊥AF，∴AG＝GF，∵GF＝DF2-FG2∴AG＝GF＝23，∴AF＝43＝EF，∴AE＝83，故答案为：83.【分析】由“ASA”可证△ADF≌△ECF，可得AF＝EF，由平行线的性质和角平分线的性质可得AD＝DF，由等腰三角形的性质和勾股定理可求AG＝GF＝23，即可求解.三、解答题16．（2021八下·新昌期末）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，BD=2，EF是△ABC的中位线.求证：四边形BDFE是矩形.【答案】证明：∵EF是△ABC的中位线，∴EF//BC，∵BD=2，∴EF=BD.∴四边形BDFE是平行四边形.∵AB=3，BC=4，AC=5，∴AB∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°.∴四边形BDFE是矩形.【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得EF∥BC，EF=12BC，结合已知可得EF=BD，然后根据一组对边平行且相等的四边形时平行四边形可得四边形BDEF是平行四边形，计算可得AB2+BC2=AC217．（舟山）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。求证：矩形ABCD是正方形【答案】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°∵△AEF是等边三角形∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，又∠CEF=45°，∴∠CFE=∠CEF=45°，∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形。【解析】【分析】证明矩形ABCD是正方形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，则可证一组邻边相等18．（八下·长春期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF=CE．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC；又∵点E、F分别是AD、BC的中点，∴AE∥CF，AE=CF=12∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），∴AF=CE（平行四边形的对边相等）．【解析】【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．四、综合题19．（2021八下·镇海期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD.点E，F在对角线AC上，且AE=CF，DF//BE，（1）求证：△ABE≅△CDF；（2）连接BD，交AC于点O，若BD⊥AC，四边形ABCD周长为16，AC=43，求∠DAB【答案】（1）证明：（1）∵DF//BE，∴∠DFE=∠BEF，∴∠DFC=∠AEB，∵CD//AB，∴∠DCF=∠BAE，在ΔABE和ΔCDF中，∠AEB=∠CFDAE=CF∴ΔABE≅ΔCDF(ASA).（2）解：∵ΔABE≅ΔCDF，∴AB=CD，∵AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形.∴AB=CD=BC=DA，OA=OC，∵四边形ABCD周长为16，∴AD=4，∵AC=43∴OA=23∴OD=A∴OD=1∴∠DAO=30°，∴∠DAB=2∠DAO=60°.【解析】【分析】（1）由平行线的性质易得∠DCF=∠BAE，结合已知用角边角可证△ABE≌△CDF；

（2）由（1）中的全等三角形可得AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，OA=OC，用勾股定理可求得OD的值，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得∠DAO=30°，然后由菱形的性质得∠DAB=2∠DAO可求解.20．（2022八下·威县期末）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，∠AFB=90°，FG∥AB交BC于点G．（1）证明：四边形EFGB是菱形；（2）若AF=5，BF=12，BC=19，求DF的长度．【答案】（1）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴EF∥BG，∵FG∥AB，

∴四边形BEFG是平行四边形，

∵∠AFB=90°，点E是AB的中点，

∴FE=BE=12AB，∴（2）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=12×19=192

在△ABF中，∵∠AFB=90°，∴AF2+BF2=AB2，

∵AF=5，BF=12，∴AB=13

∴EF=12AB=12×13=132，

【解析】【分析】（1）利用菱形的判定方法证明求解即可；

（2）先求出DE是△ABC的中位线，再求出AF2+BF2=AB2，最后计算求解即可。21．（2022八下·顺平期末）如图，正方形ABCD的周长是40．点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，过P点分别作AB、BC的垂线，垂足分别为E，F．（1）求证：四边形PEBF是矩形．（2）请你猜想EF与DP的数量关系，并给出证明．（3）在P点运动过程中，EF的长也随之变化，求EF的最小值．【答案】（1）证明：∵PE⊥AB，PF⊥BC∴∠PEB=∠PFB=90°又∵ABCD是正方形∴∠ABC=90°∴四边形四边形PEBF是矩形（2）解：PD=EF，证明如下：连接PB，∵四边形PEBF为矩形，∴PB=EF，又∵四边形ABCD是正方形，P为AC上任意一点，∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP，∴PB=PD，∴PD=EF；（3）解：由（2）得DP=EF，则EF的最小值，即DP的最小值，当DP⊥AC时，DP取得最小值，∵正方形ABCD的周长为40，∴AD=CD=10∵AD=CD，∠ADC=90°，AC=102+102=102，∵DP⊥AC【解析】【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形即证结论；

（2）PD=EF，理由：连接PB，证明△ADP≌△ABP，根据全等三角形的性质可得PB=PD，由矩形的性质知PB=EF，即证PD=EF；

（3）由（2）得DP=EF，则EF的最小值，即DP的最小值，当DP⊥AC时，DP取得最小值，求出此时DP的长即得结论.22．（2022八下·紫金期末）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AD∥BC，BO=DO．（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；（2）过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE=∠CBD=15°，求∠ABC的度数．【答案】（1）解：∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO．即在△ADO和△CBO中，∠ADO=∠CBOBO=DO∠AOD=∠COB，∴△ADO≅△CBO(ASA)，∴AD=BC（2）解：∵OE⊥BD，即∠BOE=∠DOE=90°，∴在△BOE和△DOE中，BO=DO∠BOE=∠DOE=90°OE=OE，∴△BOE≅△DOE(SAS)∴∠EBD=∠EDB，即∠CBD=∠EDB．∵∠CDE=∠CBD=15°，