2022版线性代数证明题题库

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2022版线性代数证明题题库

1.设方阵A满足T—A—2E=0,证明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A+2E)1

证明：由A2_A_2E=O=A(A_E)=2EnA_l=g(A_E)

又由一A—2E=O=(A+2E)A-3(A+2E)=-4E=(A+2E)(A-3E)=-4E

.■.(A+2£)-l=-(3E-A)

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2、设/为方阵，若存在某个正整数左上2使A*=0,证E-A可逆且并写出其逆矩阵的表达式(E为"阶单位阵).

(可逆阵为E+A+A?+…+A"】)

证明：(E—A)(E+A+A2+...+A*-)=E—A*

=0(E-A)(E+A+A2+...+)=E

故E-A可逆，其逆矩阵为E+A+A2+...+Ai

AB

3、设为”阶方阵，试证明：=\A+B\\A-B\.

BA1111

ABA+BB+AA+B0

证明=\A+B\\A-B\

BABABA-B

CAB、

4、设AB为”阶方阵，试证明:可逆的充要条件是(A+5),(A-5)都可逆.

IB4

ABA+BB+AA+B0

证明=\A+B\\A-B\,

BABABA-B

,ABA

可逆<=>其行列式不等于0〈=>(A+B),(A—3)的行列式也不等于0<=>(A+5),(A—3)也者B可逆。

5.设A为可逆方阵，试证明：A的伴随矩阵也可逆且(4*厂=„*.

证明:矩阵A可逆0小0,且AA*=|A|En俞A*=E，故A的伴随矩阵也可逆，且(■)

又由矩阵A可逆oA」1也可逆且=百，

而川.(*)*=阴忸o(1)*=甲|A=备，则(A*厂=⑷)*。

lAl

6.设〃阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：⑴若凶=0,则,*卜0；(2)|A*|=|4-1.

证明:

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（1）用反证法证明.假设|A*|W0则有A*（A*）-1=E

由此得A=AA*（A*）T=|4|E（A*）T=O：.A*=O

这与|A*|WO矛盾，故当|H=0时有|A*|=0

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⑵由于A-1=闵A*,则AA*=\A\E取行列式得到：IA（A*J=同”

若则|A*|=|A「T若=o由⑴知A*=o此时命题也成立

故有㈤=ML

7.设A为〃阶矩阵，若Ac=O只有零解，证明：方程组A/x=O也只有零解，其中左为正整数.

证明:•.•4=0只有零解nR（A）=〃，可逆=阈20.则W]=|A[#0

R（A"）="=>=0只有零解.

8、设%,%,%为Ax=0的基础解系。证明£]=%+2%,，2=2%+3%,夕3=3%+/也是Ax=。的基础解

系。

证明：只要证笈,A，凤是线性无关即可，

令kxf3x+k^/32+k3/33=0左]（tZ]+2%）+左2（2%+3%）+左3（34+%）=0

（k[+左3）%+（2左]+2kqec2+（3左2+3左§）。3=°又4,a、,a、线性无关,故左]=&=%=0

二.后,尸2,凤线性无关。即尸i=%+2%,/2=2%+3%，夕3=3%+%也是Ax=0的基础解系。

9.设在向量组中外W0且每个小（i=2,3,,m）都不能由…,4-1线性表示，

证明该向量组线性无关。

证明：（反证法）假设该向量组线性相关，即存在不全为零的数匕状2,…，心使得

ks+k2a2+---kmam=0成立。

假设々，42,…，⑥从右向左第一个不为0的数为与，则上式变为ks+k2a2+…kjdj=0,

即a=一’（占%+七出+…%,i'i）与题设矛盾，故假设不成立，即该向量组线性无关。

房一

10.若向量组a,民/线性无关证明。+民/?+7，7+。也线性无关

证明：设有一组数左],《，匕，使得：勺（a+4）+eO+7）+&（7+a）=0成立。

整理得：a（%+&）+/?（匕+左2）+/（&+^3）=0o

女1+%3=0

因为向量组a,国/线性无关，故可得：仁+%2=0。

%2+%3=0

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又由于该齐次线性方程组的系数行列式110=200故方程组只有零解,

011

也即是左=修=%=0,从而a+夕,尸+7,y+a线性无关..

11.证明：当。=-1或0或1时，向量组％=(a』/)、?=(1,。,一1)‘，%=(1，—1，。厂•线性相关.

a11

证明：以所给向量为列向量的矩阵记为4由|A|=1a—1=。(。一l)(a+l)

1-1a

知，当a=-1、0、1时,兄(0<3,此时向量组线性相关.

12.设%,%,…,凡是一组〃维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一〃维向量都可由它们线性表示.

证明：必要性：设a为任一n维向量.因为ai,a2,•…，防线性无关，而ai,。2,••、a是n+1个n维向量，是线

性相关的，所以a能由ai,a2,•••,斯线性表示，且表示式是唯一的.

充分性：已知任一n维向量都可由ai,02,…,环线性表示，故单位坐标向量组ei,e2,•…，/能由ai,02,■--,an

线性表示，于是有n=R(ei,62,•••,en)</?(ai,02,■■■,an)<n,即R(ai,a2,■■■,an)=n,所以ai,a2,■--,an线性无关.

13、设向量组A：%,-2,……(Z"的秩为S,向量组向4,。2,…%的秩为t

试证：r+s—mo

证明：设向量组A去掉向量组B后的向量组为C,则R(C)Wm—r,R(A)WR(B)+R(C)

所以R(B)》R(A)-R(C),tNs-R(C)^r+s-m

14.设4=ax+a2,b2=a2+a3,b3=%+4也=4+%，证明：向量组年也也，为线性相关・

证明：由已知条件得：4=4-g,口2=为一%，。3=4一。4，。4="一。1，

于是％—by—b、+—by一仇+4一&=4一4+4一仇+，

从而2—d+&—仇=°，故向量组伪，仇力3,,线性相关.

15、A,B为同型矩阵，证明R(A+3)<R(A)+RCB)。

(AOA(AA+B\八<0A+B}

证明：R(A)+R(B)=R=R”(5分)>R=R(A+B)

<0BJ10BJ(00,

16、已知向量组名,%,…,见线性无关，证明：4=%,尸2=%+%，…血=生+%+%也线性无关。

证明:=KA.

因为：因=120可知K可逆，从而可知厂(A)=r(3),故可证得:

I=%,尸2=%+%,…血=/+%+…+%也线性无关..

17.判断下面命题是否正确？若正确，证明之；若错误，给出反例。

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命题：若向量组4,…(是线性相关的,则%可由％,・,•5,线性表示.

解：命题是错误的.

反例：设G二,=(1,0,0,…,0)a=a=---=a=0

1,23m

满足勾，“2,…，线性相关，但%不能由。2,…，线性表示.

18.设向量组%,%，%线性相关，向量组%，13，*线性无关，试证明:

(1)向量%可由%,%线性表示；⑵向量%不能由%线性表示

证明：(1)因为%，%，%线性无关，故％,%也线性无关。又因为名,%，%线性相关，

可知向量%可由%,%线性表示并且表示方法唯一。

(2)反证：假设存在不全为零的常数匕，左2,左3，使得左6+左2%+左3。3=%，又由于%可由%,%线性

表示。则：(Z4可由%，%线性表示，也即是%，%，%线性相关，与题设矛盾，从而证得向量%不能由%，%,火线

性表示..

19、已知向量组名,%,%线性无关，证明：=%,尸2=4+。2，尸3=%+%+%也线性无关•

[4Iqo0、

0=KA.

证明:B=Aax+%iia.

+%+%/J1L

因为：|K|=lwO可知K可逆，从而可知r(A)=r(B),又因为%,%，%线性无关，

故可证得：4=%,争=%+%，，63=%+%+。3也线性无关。

20、设A,3为九阶反对称矩阵，证明：当且仅当A3=-R4时，A3是反对称矩阵.

证明：因为A3为”阶反对称矩阵，^-A,BT^-B,^AB=-BA,

贝i](A5)，="AT=-3(-A)=8A=-BA,可得AB是反对称矩阵。反之，AB是反对称矩阵,

即若(AB)'=—8A,则有：AB=—(AB)，=—=—(―3)(—A)=BA=—切证毕。

21.设A,3为”阶矩阵，且A为对称矩阵，证明37也是对称矩阵.

证明：已知不=4,则从而3,AB也是对称矩阵.

22.设A,B都是〃阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是AB^BA.

证明：Ar=ABT=B

充分性：AB=BA=>AB=B7^=AB=(AB)r即AB是对称矩阵.

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必要性：(AB)「二人台二⑶丁/^二钻二胡二钻.

23.已知”阶方阵A满足A?A=O,证明：A=0

证明：设A=(旬)，则考查A'A的第i个主对角元为£成=0,故阳=0,即A=0

k=l

24、设4与B都是n阶正交阵，证明AB也是正交阵.

证明：因为A,B是n阶正交阵，故AT=M,B-1^BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B1A-1AB=E,故AB也是正交阵.

25.设/为正交阵，且|川=-1,证明彳=-1是/的特征值.

证明：因为/为正交矩阵，所以/的特征值为-1或1.

因为㈤等于所有特征值之积(2分)，又|川=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即彳=-1是/的特征值.

26.设方阵A满足条件A'AnE,其中是A的转置矩阵，E为单位阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值

的绝对值等于1.

证明：设4的实特征向量x#0所对应的特征值为2,则Ac=疝.

又：

(AX)T(AX)=(2x)7(2x)(3分)

=>xTx=分)

=^>1=A2=>|A|=1(2分)

27.设是矩阵A的不同特征值4，22的特征向量.证明无1+々不是A的特征向量.

证明：(反证法)假设为+%是A的特征向量，相应特征值为2,则有A(七+/)=2(x1+x2)=2Xf+Ax2

而AX]=4X],AX,=22x2故/IX]+/l/l%2=4%+4，即(4一4)%1+(2—A2)x2=0

又西,彳2线性无关，所以4=%=/I矛盾。故证。

28、设木一3A+2E=。，证明A的特征值只能取1