2023-2024学年江苏省南京市田家炳高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京市田家炳高级中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点M(m,−1)，N(4,A.−6 B.73 C.232.元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则P(B|A.78 B.67 C.343.已知圆M：(x−2)A.点(3,2)在圆外 B.直线2x+y−4=0平分圆M

C.4.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，M在线段OA.12a−23b+125.(x+4xA.−256 B.256 C.−1120 6.圆O：x2+y2−4=0与圆C：x2A.2 B.22 C.37.直线l过点(−1,0)且与曲线y=A.π6 B.π4 C.π38.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，A.存在点E，使EF/​/平面ABCD

B.三棱锥B1−ACE的体积随动点E变化而变化

C.直线EF二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的有(

)A.某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种

B.某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种

C.两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种

D.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有82种10.下列结论正确的是(

)A.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1,1,1)关于xOy平面的对称点为(1,−1,1)

B.若向量a=(2,0,x),b=(11.已知双曲线C：x24−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2A.双曲线的离心率为62 B.|BF1|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.3名男生，4名女生，全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端的站法有______种.13.已知过点(−2,0)的直线与圆x2+(y−114.已知函数f(x)=2x+k1−x，g(x)=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%．

(116.(本小题15分)

已知数列{an}满足an+1=2an+6⋅2n，a1=4．17.(本小题15分)

(1)若(2x+3)4=a0+a1x18.(本小题17分)

如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面AA1D1D⊥平面ABCD，A1A=D1D=19.(本小题17分)

设A1，A2分别是椭圆Γ：x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点，点B为椭圆的上顶点．

(1)若A1B⋅A2B=−4，求椭圆Γ的方程；

(2)设a=2，F2是椭圆的右焦点，点Q是椭圆第二象限部分上一点，若线段F

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：直线2x−y+3=0，即y=2x+3，其斜率k=2，

因为直线MN与直线2x−y+2.【答案】B

【解析】解：由题意可得，n(A)=C42+C22，n(A3.【答案】D

【解析】解：易知圆心坐标为M(2,0)，圆的半径为r=1．

对于A，点(3,2)到圆心的距离d=(3−2)2+22=5>1，

则点(3,2)在圆外，选项A正确；

对于B，圆心M(2,0)在直线2x+y−4=0上，且圆是轴对称图形，

故圆M关于直线2x+y−4=0对称，选项B正确；4.【答案】B

【解析】解：因为N为BC的中点，则ON=OB+BN=OB+12BC=OB+12(OC−O5.【答案】D

【解析】解：因为(x+4x−4)4=(x−2x)8，

其中(x−2x)8展开式的通项为Tr+1=6.【答案】D

【解析】解：两圆方程相减得：x−y+2=0，

所以直线AB的方程为x−y+2=0，

圆C：x2+y2−4x+4y−12=0化为标准方程：(x−2)2+(y+2)2=20，

7.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．对函数进行求导，设直线l与曲线的切点为(x0,ex0)，切线的斜率为k，利用导数的几何意义可得k=ex0，点斜式表示出切线方程，将点(−1,0)代入可得x0的值，进而可得切线的斜率和倾斜角的值．

【解答】解：因为y=ex，所以y′=ex，

设直线l与曲线的切点为(x0,ex0)，切线的斜率为k，

所以k=e8.【答案】D

【解析】解：对A选项，∵A1C1/​/AC，

∴易得A1C1/​/平面ABCD，又A1C1⊂平面A1C1B，设平面A1C1B∩平面ABCD=l，

则A1C1//l，

假设存在点E，使EF/​/平面ABCD，又EF⊂平面A1C1B，平面A1C1B∩平面ABCD=l，

∴EF/​/l，又A1C1//l，∴EF/​/A1C1，这显然与已知条件相矛盾，∴假设不成立，

∴不存在点E，使EF/​/平面ABCD，∴A选项错误；

对B选项，∵B1到平面ACC1A1的距离为定值，又△ACE的面积也为定值，9.【答案】AC【解析】解：对于A，某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，

不同的选法有C121=12种，故A正确；

对于B，某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，

不同的选法有C72=21种，故B错误；

对于C，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，

两人乘坐车厢的方法共有6×6=36种，故C正确；

对于D，先排列丙、丁、戊有A33种排法，再让甲、乙去插空位，

有10.【答案】BC【解析】解：对于选项A，点(1,1,1)关于xOy平面的对称点为(1,1,−1)，所以选项A错误，

对于选项B，因为a=(2,0,x),b=(1,2,−2)，且a⊥b，所以2×1+0×2−2x=0，得到x=1，所以选项B正确，

对于选项C，因为a=(1,0,1)11.【答案】AB【解析】解：直线l1：y=−153x+153c经过F2(c,0)，设|AF2|=m，|BF2|=n，

由双曲线的定义，可得|AF1|=m+2a=m+4，又|AF1|=|AB|，即m+4=m+n，可得n=4，12.【答案】3720

【解析】解：(特殊元素优先法)：按甲是否在最右端分两类：

第一类：甲在最右端时有N1=A66

(种)

第二类：甲不在最右端时，甲有A51个位置可选，而乙也有A51个位置，而其余全排A55

有N2=A51A51A13.【答案】x=−2【解析】解：圆x2+(y−1)2=12的圆心(0,1)，半径为23，

直线与圆x2+(y−1)2=12相交于A，B两点，|AB|=42，

可得圆心到直线的距离为：d14.【答案】1

【解析】解：若对∀x1∈(0,1)，∃x2∈[1,2]使得f(x1)≥g(x)成立，

只需对∀x∈(0,1)，f(x)≥g(x)min，

因为g(x)=ex−lnx−e+4，x∈[1,2]，则g′(x)=ex−1x在[1,15.【答案】解：(1)设B表示“取到的产品是次品”，A1表示“产品由甲工厂生产”，A2表示“产品由乙工厂生产”，A3表示“产品由丙工厂生产”，

易知A1，A2，A3两两互斥，根据题意得P(A)=0.4，P{A2)=0.4,P(A3)=0.2,

根据全概率公式可得P(B【解析】(1)根据独立事件同时发生的概率计算公式求解；

(216.【答案】(1)证明：已知数列{an}满足an+1=2an+6⋅2n，

则an+12n+1=an2n+3，

又a121=2，

即数列{an2n}是以2【解析】(1)已知数列{an}满足an+1=2an+6⋅2n，则17.【答案】解：(1)∵(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，

令x=1，可得(2+3)4=a0+【解析】(1)对x进行赋值，x=1与x=0时即可求得．

(2)利用二项式定理写出通项公式Tk18.【答案】(1)证明：如图，取AA1的中点M，连接MP，MB，

在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，四边形A1ADD1是梯形，A1D1=2，AD=4，

又点M，P分别是棱A1A，D1D的中点，

所以MP//AD，且MP=A1D1+AD2=3，

在正方形ABCD中，BC/​/AD，BC=4，又BQ=3QC，所以BQ=3．

所以MP//BQ且MP=BQ，所以四边形BMPQ是平行四边形，

所以PQ//MB，又因为MB⊂平面ABB1A1，PQ⊄平面ABB1A1，

所以PQ/​/平面ABB1A1；

(2)在平面AA1D1D中，作A1O⊥AD于O，

因为平面AA1D1D【解析】(1)取AA1的中点M，连接MP，MB，利用已知条件证明四边形B19.【答案】解：(1)A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,1)，

A1B=(a, 1)，A2B=(−a, 1)，A1B⋅A2B=−a2+1=−4，解得a2=5，

即椭圆Γ的方程为x2