新教材高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数

Chapter4

第四章指数函数与对数函数

4.1指数

4.1.1"次方根与分数指数塞

【学习目标】1.理解〃次方根、〃次根式的概念2能正确运用根式运算性质化简、求值3学会

根式与分数指数幕之间的相互转化.

知识梳理梳理教材夯实基础

----------------------------------------------------------------------------------------------------------V------------------------------

知识点一“次方根、”次根式

1.a的”次方根的定义

一般地，如果x"=a,那么x叫做a的"次方根，其中且"WN”.

2.a的〃次方根的表示

n的奇偶性。的〃次方根的表示符号a的取值范围

“为奇数缶

〃为偶数10,+8)

3.根式

n

式子也叫做根式，这里W叫做根指数,。叫做被开方数.

知识点二根式的性质

1.赤=O(nWN*,且">1).

2.(%)"=£((a20,〃WN*,且〃>1).

n

3.亚=“(〃为大于1的奇数).

__[a,

4.y[a"=\a\=]~(n为大于1的偶数).

\—a,a<0

知识点三分数指数零的意义

巴n

正分数指数幕

规定：。〃=亚(。>0,m,〃£N*,且心1)

*11

分数指数幕规定：a"------m,,且心

负分数指数基m3H>0,1)

an亚

0的分数指数基0的正分数指数事等于20的负分数指数基无意义

知识点四有理数指数幕的运算性质

整数指数基的运算性质，可以推广到有理数指数累，即：

(1)。'。'=屋+'(4>0,r,sGQ)；

(2)3丁=〃/4>0,r,sCQ)；

(3)3力「=屋勿伍>0,b>0,rGQ).

思考辨析判断正误

1.当"6N*时，(不与)"都有意义.(X)

63

2.(-2)4=(-2)2.(X)

3.a?.-=a(X)

m

—tTl

4.分数指数露a"可以理解为"个。相乘.(X)

|题型探究------------------启迪思维探究重点

一、〃次方根的概念

例1(1)若81的平方根为“，一8的立方根为b,则a+b=.

答案7或一11

解析81的平方根为-9或9,

即〃=-9或9,

一8的立方根为一2,即〃=—2,

；.a+b=-11或7.

4

(2)若正工有意义，求实数x的取值范围.

4___

解2有意义,

/.X—220,

・・・G2,

即x的取值范围是［2,+8).

反思感悟(1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一

个.

(2)符号：根式缶的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数a的符号共同确定.

①当”为偶数，且a20时，赤为非负实数；

②当"为奇数时，、。的符号与a的符号一致.

跟踪训练1(1)已知丁=8,则x等于()

777

A.2^2B.V8C.-^8D.±78

答案B

7

解析因为7为奇数，8的7次方根只有一个通.

4

(2)若N2x+5有意义,则x的取值范围是；

5_______

若道不有意义，则X的取值范围是.

答案

二、利用根式的性质化简或求值

例2化简:

(1)((3-兀)4；

QN(a-b¥(a>b)；

(3)(A/«—1)2+^/(1—a)2+^(l—a)3.

考点根式的化简

题点根据根式的意义进行化简

4

解(1H(3一兀)4=13—兀|=兀一3.

(2)•:a>b,/.yj(a~b)2=\a—h\=a—b.

(3)由题意知a—120,即1.原式=〃-1+|1—a\+1—〃=〃一1~\~a—1+1—a=a—1.

反思感悟(1)"为奇数时(缶)"=亚=4,4为任意实数.

(2)〃为偶数时,心0,才有意义，且

而a为任意实数时后均有意义，且折=间.

跟踪训练2化简:

7

⑴4(—2)7；

4___________

⑵M(3〃-3)4(〃W1)；

34_________

(3啦+、(1—”.

考点根式的化简

题点根据根式的意义进行化简

解(lA/(-2)7--2.

4_______

⑵：.yl(3a-3y=\3a-3\=3\a-l|=3-3<a.

1,aWl,

2a~1,a>\.

三、根式与分数指数鬲的互化

例3(1)下列根式与分数指数幕的互化正确的是()

A.—5=(-X)5(QO)

61

Bz\/p=y3(y<0)

c.”=4@(x>0)

_13

D.x3=—ylx(x=^O)

答案C

解析-5=-/。>0)；

611

正=(及|2)6=-丁3(),<0)；

⑵将下列根式化成分数指数累的形式（其中6Z>0,b>0）.

3

③(出产/P.

34112

解=〃12；

J』11

②原式=*•扭=那；

(1A21373

③原式=凉-a1-h2=a^b2.

\/

反思感悟根式与分数指数寐的互化

(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.

(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数露的形式，然后利用有理数

指数赛的运算性质解题.

跟踪训练3把下列根式表示为分数指数累的形式，把分数指数幕表示为根式的形式：

(1)(。一加々3>6)；(2届-1>；

1-

(3)—;(4)(。一份7.

y[cr

--1

解(l)(a-Z?)4=--------；

q(a-b)3

3_________5

(2)A/(X-1)5=(X-1)3；

1二

(3)--a3；

(4)(a-b)7=q(a—b)3.

随堂演练层础巩固学以致用

--------------------------%--------

1.已知N(a—b)2=a—b,则()

A.a>bB.a》b

C.a<hD.aWb

答案B

2

解析y/(a—h)=\a-h\=a—h9

所以a—〃20,所以故选B.

4________4___________54

2.在6/(—4)2"；(2h/(-4)2n+l,⑤沂，④而中，〃6N",qCR时各式子有意义的是()

A.①②B.①③

C.@@③④D.①②④

答案B

3.化简小工距的结果为()

A.—y[aB.—\j—aC.yj-aD.yfa

考点根式与分数指数幕的互化

题点根式化为分数指数幕

答案A

解析显然

2\11

。6=一。36=-a2=—也.

4。©’_4(_2)3+弓)。_9/=.

答案f

解析原式=2-4义

=2+91—；=%

23o

5.化简叱(["=

4______

答案yja-i

解析要使原式有意义，则〃-1>0.

4(1一4)2.[昌/=|1一外(«-1)4

31____

=(«—1)•(«-1)I=(a-1)4—y4ja—\.

■课堂小结

1.知识清单：

(1)〃次方根的概念、表示及性质.

⑵根式的性质.

(3)根式与分数指数森的互化.

2.常见误区：

(1)根式中根指数要求n>\且〃EN”.

（2）对于g,当n为偶数时，“NO.

课时对点练-------注-重-双-基强、-化-落-实

X基础巩固

1.已知机i°=2,则相等于（）

io1010

A.\[2B.一mC.F）D.士也

考点〃次方根及根式概念

题点”次方根及根式概念

答案D

解析；加°=2,是2的10次方根.

又；10是偶数，...2的10次方根有两个，且互为相反数.

10

二%=±啦.故选D.

_______4_______

2.若2<a<3,化简d（2—a）2+d（3—a），的结果是（）

A.5~2aB.2a~5C.1D.-1

考点根式的化简

题点条件根式的化简

答案C

解析*.*2<a<3,>'>a—2>0,a—3<0,

_______4_______

yf（2—a）2+yj（3—a）4=\2—a|+|3—a\

—a—2+3—a—1.

3.下列各式既符合分数指数基的定义，值又相等的是（）

12-

A.（一1日和（―1户B.0-2和（）2

C.2彳和44D.4株利⑥-3

答案C

12132

解析选项A中，（一邛和（一中均符合分数指数嘉的定义，但（―甲=尸=-1,（-1）6

6

=4（—1>=1,故A不满足题意；

选项B中，0的负指数嘉没有意义，故B不满足题意；

选项D中，屋,和&J-虽符合分数指数嘉的定义，但值不相等，故D不满足题意；

选项C中，2^=4]=。相=25=也，满足题意.

故选C.

2

4.(1；)。—(1—0.5-2)+ej的值为(

)

A.B.TC.jD.1

答案D

47

解析原式=1一(1-22)+(|)2=---

9

3-

5.设a>0,将广一表示成分数指数基的形式,其结果是（）

£573

A.aaB.*C.D.后

答案C

52_57

=/•〃6=a6=〃6

6.若xWO,则仅|~\/P+I.=.

答案1

解析Tx#。，.,.原式=|.v|—口+呼=1.

7.若山1+山2+6y+9=0,则(f0i9y=

答案T

解析因为"\/『+2x+1+4十+6y+9=0,

所以4。+1)2+4。+3)2=叮+1|+卜+3|=0,

所以x=—1,y=-3.

所以(f39y=[(-1)2。19「3=(-1尸=一1

9,计算下列各式的值.

2

64户3125Y3

(1)1212；(2)—；(3)100004；(4)

149J27

解(1)11(2)j(3斤击

10.计算:

4

⑴81X;(2)2^3XX

3

2居+、0.125「1；

(3)

34___________3___________

(4)叱-8)3+4(小一2)4—7(2一小)3.

考点根式的化简

题点根据根式的意义进行化简

4

217

2x-x-

解(1)原式=%34X332==36.

1

2!1J.1!

(2)原式=2X3XX3%=2义3于丁k=6.

=-3--3+i2=3'

⑷原式=-8+仍一2|一（2一小）

=-8+2—小一2十小

=-8.

土综合运用

4_________

11.已知二次函数“¥）=尔+云+0.1的图象如图所示，则-（4—2）4的值为（）

-To~

A.a~\~bB.—(〃+〃)

C.a-bD.b-a

答案D

解析由题图知次-1)=。-b+0.1<0,

.\a-b<0.

12.若代数式42x—1十52—x有意义,则d4y_4x+]+2{(冗-2)4=

答案3