【数学】专题课堂 平行四边形中的分类讨论 2023-2024学年人教版数学八年级下册

精品试卷·第2页（共2页）数学八下专题课堂(五)平行四边形中的分类讨论一、高在形内或形外【例1】平行四边形ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝24°，求∠A的度数．分析：分点E在线段AD上和点E在线段AD的延长线上进行讨论，根据三角形内角和定理、三角形外角和定理及等腰三角形的性质可求出∠A的度数．【对应训练】1．在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝2eq\r(3)，BD＝2，求平行四边形ABCD的面积．二、一内角平分线与一边相交【例2】如果一个平行四边形的内角平分线与边相交，并且这条边被分成3和5两段，求这个平行四边形的周长．分析：利用平行四边形的性质和角平分线可证出∠BAE＝∠BEA，得出AB＝BE，由此求出另一边，从而求出周长．【对应训练】2．平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，求该平行四边形两邻边的长．三、两内角的平分线与一边相交【例3】在▱ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，求AB的长．分析：分AE与DF相交和不相交进行讨论，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质可求出AB.【对应训练】3．在平行四边形ABCD中，CF＝9cm，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝3cm，求▱ABCD的周长．参考答案一、高在形内或形外【例1】平行四边形ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝24°，求∠A的度数．分析：分点E在线段AD上和点E在线段AD的延长线上进行讨论，根据三角形内角和定理、三角形外角和定理及等腰三角形的性质可求出∠A的度数．解：情形一：当E点在线段AD上时，如图①，∵BE是AD边上的高，∠EBD＝24°，∴∠ADB＝90°－24°＝66°，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝(180°－66°)÷2＝57°；情形二：当E点在AD的延长线上时，如图②，∵BE是AD边上的高，∠EBD＝24°，∴∠BDE＝66°.∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝eq\f(1,2)∠BDE＝33°，综上，∠A的度数是57°或33°【对应训练】1．在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝2eq\r(3)，BD＝2，求平行四边形ABCD的面积．解：过D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝2eq\r(3)，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\r(3)，∴AE＝3，在Rt△BDE中，∵BD＝2，∴BE＝eq\r(BD2－DE2)＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，如图①，AB＝4，∴平行四边形ABCD的面积＝AB·DE＝4eq\r(3)；如图②，AB＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝AB·DE＝2eq\r(3)，综上，这个平行四边形ABCD的面积为2eq\r(3)或4eq\r(3)二、一内角平分线与一边相交【例2】如果一个平行四边形的内角平分线与边相交，并且这条边被分成3和5两段，求这个平行四边形的周长．分析：利用平行四边形的性质和角平分线可证出∠BAE＝∠BEA，得出AB＝BE，由此求出另一边，从而求出周长．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE为角平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴①当BE＝3时，CE＝5，AB＝3，BC＝8，则这个平行四边形的周长为2×(3＋8)＝22；②当BE＝5时，CE＝3，AB＝5，BC＝8，则这个平行四边形的周长为2×(5＋8)＝26.综上，这个平行四边形的周长为22或26【对应训练】2．平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，求该平行四边形两邻边的长．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE为角平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴①当AB＝BE＝2cm，CE＝3cm时，则两邻边的长分别为2cm，5cm；②当AB＝BE＝3cm时，CE＝2cm，则两邻边长分别为3cm，5cm.综上，这个平行四边形两邻边的长为2cm，5cm或3cm，5cm三、两内角的平分线与一边相交【例3】在▱ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，求AB的长．分析：分AE与DF相交和不相交进行讨论，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质可求出AB.解：①如图①，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∵EF＝2，∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝8，∴AB＝5；②如图②，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∵EF＝2，∴BC＝BE＋CF＋EF＝2AB＋EF＝8，∴AB＝3.综上所述，AB的长为3或5【对应训练】3．在平行四边形ABCD中，CF＝9cm，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝3cm，求▱ABCD的周长．解：①如图①，在▱ABCD中，∵BC＝AD，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∴BE＝CF.又∵EF＝3cm，CF＝9cm,∴BC＝BE＋CF－EF＝2CF－EF＝15(cm)，∴▱ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝2BC＋2CD＝2BC＋2CF＝2(BC＋CF)＝2(15＋9)＝48(cm)；②如图②，在▱ABCD中，∵BC＝AD，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝