高考数学（文）课时作业（二十二）第22讲正弦定理和余弦定理的应用

课时作业(二十二)第22讲正弦定理和余弦定理的应用时间/45分钟分值/100分基础热身1.在相距2km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为 ()A.6km B.2kmC.3km D.2km2.一艘船向正北方向航行,在位置B处看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 ()A.5海里/时 B.53海里/时C.10海里/时 D.103海里/时3.如图K221,从地面上C,D两点望山顶A,测得的仰角分别为45°和30°,已知CD=100m,点C位于BD上,则山高AB等于 ()图K221A.50(3+1)m B.503mC.502m D.100m4.在直径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为m.

图K2225.如图K222,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km,水的流速为2km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min,则客船在静水中的速度为km/h.

能力提升6.如图K223,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()图K223A.30° B.45° C.60° D.75°7.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 ()A.102海里 B.103海里C.203海里 D.202海里8.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°方向前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是 ()A.50m B.100m C.120m D.150m图K2249.如图K224,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,α(α<β),则A点离地面的高度AB等于 ()A.asinB.aC.asinD.acos图K22510.如图K225所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不可到达,要测出AB的距离,在A所在的岸边选定一点C,若测出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则A,B两点间的距离为m.

图K22611.如图K226,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10000m,速度为50m/s.某一时刻驾驶员从飞机上看山顶的俯角为15°,经过420s后驾驶员看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为m.(取2≈1.4,3≈1.7,6≈2.4)

图K22712.如图K227,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西60°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在北偏西15°的方向上,此时的仰角为30°,则此山的高度CD=m.

13.(15分)某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点A,B,且AB长为80m,当航模在C处时,测得∠ABC=105°,∠BAC=30°,经过20s后,航模直线航行到D处,测得∠BAD=90°,∠ABD=45°.假设A,B,C,D在同一水平面上,请你根据以上条件求出航模的速度.(答案保留根号)图K22814.(15分)如图K229所示,某高速公路CE旁边B处有一栋楼房,某人在距地面100m的32楼阳台A处,用望远镜观测路上的车辆,上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上且俯角为30°的C处,10s后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上且俯角为45°的D处.(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80km/h,试问该客车是否超速?(2)又经过一段时间后,客车到达楼房的正西方向E处,问此时客车距离楼房多远?图K229难点突破图K221015.(5分)如图K2210所示,据气象部门预报,在距离码头O南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,则该码头受到热带风暴影响的时间为 ()A.14h B.15hC.16h D.7.5h图K221116.(5分)如图K2211所示,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是.(人的高度忽略不记)

课时作业(二十二)1.A[解析]如图,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,所以ACsin60°=2sin45°,所以AC=22×32=6(km).2.C[解析]设两个灯塔的位置为C,D,船半小时后到达A处,如图所示.依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在Rt△ABC中,得AB=5,于是这艘船的速度是50.5=10(海里/时).故选C3.A[解析]设AB=xm,则由题意知,∠D=30°,∠ACB=45°.在Rt△ABC中,BC=AB=xm.在Rt△ADB中,DB=CD+BC=(100+x)m,DB=3AB,即100+x=3x,解得x=50(3+1).故选A.4.53[解析]轴截面如图,则光源的高度h=15tan60°=53(m)5.62[解析]设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为vkm/h.由题意知,sinθ=0.61=35,从而cosθ=45,由余弦定理得110v2=110×22+122×110×26.B[解析]依题意可得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD=A=(305)2+(2010又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.7.A[解析]如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得BCsin30°=ABsin45°,解得BC=1028.A[解析]设水柱的高度是hm,水柱底端为C,顶端为D.在Rt△ACD中,∠CAD=45°,∴AC=CD=hm.在Rt△BCD中,∠CBD=30°,∴BC=3hm.在△ABC中,∠BAC=60°,AC=hm,AB=100m,根据余弦定理得,(3h)2=h2+10022·h·100·cos60°,即h2+50h5000=0,即(h50)(h+100)=0,∴h=50,故水柱的高度是50m.9.A[解析]因为DC=DBCB=ABtanαABtanβ,所以a=ABtanαABtanβ,所以AB=10.206[解析]∠ABC=180°75°45°=60°,所以在△ABC中,由正弦定理得ABsin45°=60sin60°,所以AB=60×sin45°sin60°=206(11.2650[解析]如图,设A,B分别为飞机在某时刻和420s后的位置,C为山顶,作CD垂直于AB的延长线于点D.由题意知,∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).又在△ABC中,BCsinA=ABsin∠ACB,所以BC=2100012×sin15°=10500(62)(m).因为CD⊥AD,所以CD=BCsin∠DBC=10500(62)×22≈7350(m).故山顶的海拔高度为1000012.1006[解析]在△ABC中,AB=600m,∠BAC=30°,∠ACB=75°30°=45°,由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,即BCsin30°=600sin45°,所以BC=3002m.在△BCD中,∠CBD=30°,CD=BCtan∠CBD=3002·tan30°=1006(m),13.解:在△ABD中,因为∠BAD=90°,∠ABD=45°,所以∠ADB=45°,所以AD=AB=80m,所以BD=802m.在△ABC中,∠BCA=180°105°30°=45°,由正弦定理得BCsin30°=AB所以BC=ABsin30°sin45°=80×1222=在△DBC中,由题知∠CBD=60°,由余弦定理得DC2=DB2+BC22DB·BCcos60°=(802)2+(402)22×802×402×12=9600(m)所以DC=406m,航模的速度v=40620=26(m/s故航模的速度为26m/s.14.解:(1)在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AB=100m,则BC=1003m.在Rt△ABD中,∠BAD=45°,所以BD=100m.在△BCD中,∠DBC=75°+15°=90°,则DC=BD2+BC所以客车的速度v=CD10=20m/s=72km/h,所以该客车没有超速(2)由(1)易知在Rt△BCD中,∠BCD=30°,又因为∠DBE=15°,所以∠CBE=105°,所以∠CEB=45°.在△BCE中,由正弦定理可知EBsin30°=BC所以EB=BCsin30°sin45°=506(即此时客车距离楼房506m.15.B[解析]记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达B点位置,在△OAB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°,根据余弦定理得OB2=6002+400t22×600×20t×22.令OB