专题15对数函数

20232024高一数学必修第一册20232024高一数学必修第一册专题15对数函数№考向解读专题15对数函数№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第四章指数函数与对数函数专题15对数函数→➊考点精析←1对数函数①对数函数的概念函数y=logax(a>0,a≠1)②图像与性质图像a>10<a<1定义域(0,值域R过定点(1,0)奇偶性非奇非偶单调性在(0,+∞在(0,+∞变化对图像的影响在第一象限内，α越大图象越靠低；在第四象限内，α越大图象越靠高．2底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）3反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．知识点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．4反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．→➋真题精讲←1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知，且，则（

）.A．3 B．6 C．12 D．18【答案】B【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到，从而得到，计算出.【详解】由得：，由换底公式可得：，则，所以，因为，所以故选：B2．（2023·江苏·二模）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用对数函数的单调性和指数以及对数的运算，并借助中间量进行比较，即得答案．【详解】，，所以，由于，所以，即，而，所以，故选：D．3．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知函数f（x）的定义域为R，且，，当时，，则）=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件可得函数是奇函数也是周期函数，利用周期性和奇偶性，有，代入已知解析式求解即可.【详解】由，有，可得，所以的周期为2.令，代，可得，所以，故函数为奇函数，所以因为，所以，所以.故选：B4．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数，．下列说法正确的为（

）A．若，则函数与的图象有两个公共点B．若函数与的图象有两个公共点，则C．若，则函数有且仅有两个零点D．若在和处的切线相互垂直，则【答案】BCD【分析】解方程得到A错误，解方程得到，解得B正确，计算零点个数为2得到C正确，根据斜率的关系得到，D正确，得到答案.【详解】对选项A：，故（无解）或，，错误；对选项B：，故或，故，且，解得，正确；对选项C：取，则，，，则，设，在上恒成立，则在上单调递增，则，故，，则，或，正确；对选项D：当和同时为正或者同时为负时不成立，不妨设，，，，则，故，正确.故选：BCD5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【分析】构建函数根据题意分析可得，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据的单调性，分类讨论分析判断.【详解】原式变形为，构造函数，则，∵，当时，，则，即；当时，，则，即；故在上单调递减，在上单调递增，对于A：取，则∵在上单调递增，故，即满足题意，但，A错误；对于B：若，则有：当，即时，则，即；当，即时，由在时单调递增，且，故，则；综上所述：，B正确；对于C：若，则有：当，即时，显然成立；当，即时，令，∵，当且仅当，即时等号成立，∴当时，所以，即，由可得，即又∵由在时单调递增，且，∴，即；综上所述：，C正确；对于D：取，，则，∵在上单调递减，故，∴故，满足题意，但，D错误.故选：BC.【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：（1）积型：，①构造形式为：，构建函数；②构造形式为：，构建函数；③构造形式为：，构建函数.（2）商型：，①构造形式为：，构建函数；②构造形式为：，构建函数；③构造形式为：，构建函数.→➌题型突破←【题型一】对数函数定义的判断1.已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.【题型二】利用对数函数的定义求参数2.已知对数函数，则______．【答案】2【解析】由对数函数的定义，可得，解得．故答案为．3.函数y=f(x)满足；函数g(x)满足，且，，则函数F(x)的表达式可以是_____【答案】【解析】因为不妨取（且）又，所以，所以，所以；又，不妨取（且），又，所以，所以，所以，又因为所以故答案为：【题型三】对数函数的图象及应用4.函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，解得，且，所以函数的定义域为.故选：D.【题型四】对数函数的值域与最值5.已知函数的值域为，则实数的取值范围是_________【答案】【解析】函数，所以当时，，所以时，得取遍所有大于1的数，故其指数得取遍所有大于0的数.因为，，当时，不成立；当时，其开口向下，有最大值，无法去到正无穷，舍去；当时，其开口向上，对称轴大于0，故需对称轴对应的值小于等于0，故有：且，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.6.若(为自然对数)，则函数的最小值为（

）A．3 B．2 C．0 D．6【答案】B【解析】由题意，所以，则，设，，又，而，所以时，，所以函数的最小值为．故选：B．【题型五】对数函数的图象及应用7.函数y=logA．B．C．D．【解析】方法1y=log因a>1，由对数函数的性质易得选B.方法2函数图象变换左移1个单位去掉y故选B．【点拨】涉及对数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.8.函数的图像大致为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，在处取得最小值，排除C、D，当时，为减函数，故选:A．【题型六】对数函数的性质及应用角度1对数函数参数比较大小9.设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（

）.A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确；对于B：要判断的是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确，C错误；故选：C角度2对数型函数综合问题10.已知函数，则______．【答案】2【解析】因为（），所以，所以，故答案为：211.函数y=log12【解析】∵t=x∴内层函数的值域[8,+∞),而y=log12t在∴函数y=log12(【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.12.已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足fx+2=−f(x)，当x∈(0,1]时，fx=2【解析】函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，由fx+2=−f(x)，可得f(x+2)=f(−x)，∴f(x)的有条对称轴由fx+2=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期(注由以上已知，较容易画出y=f(x)的图象，作图步骤如下①画fx=2x－1,x∈(0,1)②④由周期T=4可得)作出在同一坐标系中画y=f(x)和g(x)=log注意到g(9)=1,g(−7)>1，(注意一些临界的位置)从图象不难看出，其交点个数7个．【点拨】①遇到函数综合性质问题(有单调性，对称性，周期性等)，一般通过数形结合的方法处理；②fx+a=fx+bfx+a=ffx+a=−ffx+a=113.已知函数f(x)=log31−x(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)当x∈[−12,12【解析】(1)要使函数f(x)=log3自变量x须满足1−x1+x>0，解得故函数f(x)的定义域为(－1,1)；(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称，且f−x故函数f(x)为奇函数；(3)当x∈[－12，12(注函数图象如右图，由y=2故u(x)=1−x1+x在[−②求复合函数的值域，要分清楚内层函数与外层函数，分别对它们的单调性进行分析再求值域，函数的定义域优先考虑.14.设D是函数y=f(x)定义域的一个子集，若存在x0∈D，使得则称x0是f(x)的一个“准不动点”，也称f(x)在区间D已知f(x)=log12(1)若a=1，求函数f(x)的准不动点；(2)若函数f(x)在区间[0,1]上存在准不动点，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a=1时，可得fx=log可得4x+2x−1=当a=1，函数f(x)的准不动点为x0(2)方法1由定义可得方程log12即方程4x+a⋅2x−1=2令2x=t，x∈[0,1]，则那问题(∗)转化为方程t2+a−1t−1=0在令gt=t所以y=gt在[1,2]上与x则只需要g1g2(一元二次方程根的分布问题，注意数形结合分析)要使t2其对称轴x=−a2，在1≤t≤2上是递增的，当t=1时最小值，可得综上可得实数a的取值范围是(0，方法2与方法1同样得到方程t2+a−1t−1=0在即a=1−t+1t在t∈[1,2]上有解，且a>1由ℎt=1−t+1t在t∈[1,2]上显然是减函数，其值域为由dt=1t−t在t∈[1,2]综上可得实数a的取值范围是(0,1]．【点拨】①在第二问中不要漏了4x②第二问的方法1是采取了“二次方程根的分布问题”的处理技巧，注意结合二次函数图象进行思考；方法2是采取分离参数法转而求最值,→➍专题精练←1．下列函数是对数函数的是A． B．C． D．【答案】C【解析】由对数函数定义可以，本题选C．2.下列函数中与函数值域相同的是()A． B．C． D．【答案】D【解析】函数定义域为R，值域是.A.值域为R；B.值域为；C.值域为；D.值域是，故选：D3．(2021·全国高一单元测试)已知对数式(Z)有意义，则的取值范围为()A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知:，解之得:且.∵Z，∴的取值范围为.故选：C.4.已知函数的值域为，则实数的取值范围是()A． B．C． D．【答案】D【解析】令，由于函数的值域为，所以，函数的值域包含.①当时，函数的值域为，合乎题意；②当时，若函数的值域包含，则，解得或.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.5．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数（且），若对任意，，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，由图可知，，此时若对任意，，只需，即，即.当，，此时若对任意，，即，，所以只需.令，则，当单调递增，当单调递减，，.综上，.故选:D.6．(2021·江西抚州·高一期末)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】在区间上单调递增，A不符合题意；是奇函数，B不符合题意；在区间上单调递增，D不符合题意；既是偶函数又在区间上单调递减，C符合题意.故选：C7．（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【解析】原式变形为，构造函数，则，∵，当时，，则，即；当时，，则，即；故在上单调递减，在上单调递增，对于A：取，则∵在上单调递增，故，即满足题意，但，A错误；对于B：若，则有：当，即时，则，即；当，即时，由在时单调递增，且，故，则；综上所述：，B正确；对于C：若，则有：当，即时，显然成立；当，即时，令，∵，当且仅当，即时等号成立，∴当时，所以，即，由可得，即又∵由在时单调递增，且，∴，即；综上所述：，C正确；对于D：取，，则，∵在上单调递减，故，∴故，满足题意，但，D错误.故选：BC.8．（2023·广东佛山·统考一模）若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因为，所以，因为，所以，则，令，，则，所以在上单调递增，由，可得，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，又，所以，当且仅当时取等号，当时或，结合与的图象也可得到所以或.故选：AC9．(2021·河南焦作·高一期末)已知函数.若对于任意的，都有，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】B【解析】本题考查对数型函数及其应用，以及利用分离变量法求参数的取值范围，考查数学转化思想.由整理得，所以，即，令，则.令，其图像的对称轴为，所以，则.故选：B．10．(2021·河北石家庄·高一期末)(多选)如图是三个对数函数的图象，则()A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由对数函数图象得，令，，由已知图象得，；而是增函数，.故选：ABC．11．(2021·全国高一课时练习)已知对数函数的图象过点，则_________．【答案】【解析】设，因为函数的图象过点，则，，，．故答案为：12．（2023·广东江门·统考一模）已知，是方程（）的两根，且，则的最大值是________．【答案】【解析】由题意是方程的两根，且，则，，即，所以，()，令，()，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则当时，取最大值，所以的最大值是．故答案为：．13．(2021·全国高一专题练习)函数的单调递减区间是________．【答案】【解析】由得，因此函数的定义域为．，设，又是增函数，在上是减函数，因此的单调递减区间为．故答案为：14．(2021·上海高一期中)函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________.【答案】【解析】对于函数，令，可得，则，故函数的图象恒过定点，因为点在直线上，则，可得，因为、，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.15.求下列函数的定义域(1)；(2)函数(3)【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)若要使函数有意义，则，解得或且，所以该函数的定义域为；(2)若要使函数有意义，则，解得，所以该函数的定义域为；(3)若要使函数有意义，则，解得且，，所以该函数的定义域为.16.已知函数为偶函数．(1)求a的值，并证明在上单调递增；(2)求满足的x的取值范围．【解析】（1）由题意函数为偶函数，∴，即∴对任意恒成立，解得．∴任取，则由，可得，∴，即，∴在上单调递增．（2）由偶函数的对称性可得在上单调递减，∴，∴，解得，∴满足的x的取值范围是．17．已知函数是偶函数.(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：是偶函数，，即对任意恒成立，，．即，因为当，函数有零点，即方程有实数根．令，则函数与直线有交点，，又，，所以的取值范围是．（2）解：因为，又函数与的图象只有一个公共点，则关于的方程只有一个解，所以，令，得，①当，即时，此方程的解为，不满足题意，②当，即时，此时，又，，所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当，即时，由方程只有一正根，则需，解得，综合①②③得，实数的取值范围为：．18.．已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．(1)求的值；(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．【答案】(1)(2)增区间为，减区间为，最大值为【解析】（1）因为有意义时的取值范围为，所以的解集为，所以和是方程的两根．由韦达定理可得，解得．（2）由（1）知，，令，因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值19．已知函数（且）在区间上的最大值