第17讲线段角相交线和平行线（完整版）4

第17讲线段、角、相交线和平行线THANKS1．线段沿着一个方向无限延长就成为____；线段向两方无限延长就成为____；线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分．2．直线的基本性质：______________________；线段的基本性质：_________________；连接两点的______________，叫做两点之间的距离．射线直线两点确定一条直线两点之间线段最短线段的长度3．有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，也可以把角看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．(1)1周角＝____平角＝____直角＝____，1°＝____，1′＝____．(2)小于直角的角叫做____；大于直角而小于平角的角叫做____；度数是90°的角叫做____．4．两个角的和等于90°时，称这两个角___________，同角(或等角)的余角相等．两个角的和等于180°时，称这两个角__________，同角(或等角)的补角相等．24360°60′60″锐角钝角直角互为余角互为补角5．角平分线和线段垂直平分线的性质：角平分线上的点到_________________．线段垂直平分线上的点到线段___________________．到角两边的距离相等的点在角平分线上．到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．6．两条直线相交，只有___________．两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的每一对角叫做对顶角，对顶角____．角两边的距离相等两个端点的距离相等一个交点相等7．两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线互相____，其中的一条直线叫做另一条直线的____，它们的交点叫做____．从直线外一点到这条直线的________________，叫做点到直线的距离．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____________．8．垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的______________．9．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行．垂直垂线垂足垂线段的长度垂线段最短垂直平分线10．平行线的判定及性质：(1)判定：①在同一平面内，________的两条直线叫做平行线；②__________相等，两直线平行；③_________相等，两直线平行；④________________，两直线平行；⑤在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；⑥平行于同一直线的两直线平行．不相交同位角内错角同旁内角互补(2)性质：①两直线平行，_______________；②两直线平行，________________；③两直线平行，________________．同位角相等内错角相等同旁内角互补1．两条直线的相互位置在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，“在同一平面内”是其前提，离开了这个前提，不相交的直线就不一定平行了，因为在空间里存在着既不平行也不相交的两条直线，如正方体的有些棱所在的线既不相交也不平行．2．线段、射线、直线点通常表示一个物体的位置，无大小可言．点动成线，线有弯曲的，也有笔直的，弯曲的线叫做曲线；而笔直的线，若向两边无限延伸，没有端点且无粗细可言就叫做直线；射线是直线的一部分，向一方无限延伸，有一个端点；线段也是直线的一部分，有且只有两个端点．3．两个重要公理(1)直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．“有”表示存在性；“只有”体现唯一性，直线公理也称直线性质公理．(2)线段公理：两点之间，线段最短．命题点1：点到直线的距离1．(2017·北京)如图所示，点P到直线l的距离是(

)A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度B2．(2017·随州)某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分(如图)，发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是(

)A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行A3．(2017·广东)已知∠A＝70°，则∠A的补角为(

)A．110°B．70°C．30°D．20°4．(2017·绥化)如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝55°，下列条件中能判定AB∥CD的是(

)A．∠2＝35°B．∠2＝45°C.∠2＝55°D．∠2＝125°AC5．(2017·新疆)如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠AEC等于(

)A．20°B．50°C．80°D．100°C余角、补角及角平分线【例1】

(1)(2017·常德)若一个角为75°，则它的余角的度数为(

)A．285°B．105°C．75°D．15°(2)(2017·河池)如图，点O在直线AB上，若∠BOC＝60°，则∠AOC的大小是(

)A．60°B．90°C．120° D．150°DCA

【点评】

如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于180°时，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．角平分线上的点到角的两边的距离相等．[对应训练]1．(1)(2017·内江)如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于(

)A．19°

B．38°C．42°D．52°DC

(3)(2017·孝感)如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有(

)A．4个B．3个C．2个D．1个A平行线的判定与性质

【例2】

(1)(2017·宿迁)如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4度数是(

)A．80°B．85°C．95°D．100°B(2)(2017·金华)如图，已知l1∥l2，直线l与l1，l2相交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝____．20°(3)(导学号：65244021)如图①，点E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED.(一)探究猜想：①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？③猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．(二)拓展应用：如图②，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界，其中区域③④位于直线AB上方)，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系．(不要求证明)解：(一)①∠AED＝70°②∠AED＝80°③猜想：∠AED＝∠EAB＋∠EDC，证明：延长AE交DC于点F，∵AB∥DC，∴∠EAB＝∠EFD，∵∠AED为△EDF的外角，∴∠AED＝∠EDF＋∠EFD＝∠EAB＋∠EDC

(二)根据题意得：点P在区域①时，∠EPF＝360°－(∠PEB＋∠PFC)；点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB＋∠PFC；点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB－∠PFC；点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC－∠PEB[对应训练]2．(1)(2017·天门)如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是(

)A．25°

B．35°C．45°D．50°(2)(2017·宁波)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为(

)A．20°

B．30°C．45°D．50°DD(3)如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．解：OA∥BC，OB∥AC.∵∠1＝50°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2，∴OB∥AC，∵∠2＝50°，∠3＝130°，∴∠2＋∠3＝180°，∴OA∥BC5.列方程(组)求线段的长)试题线段AB上有两点M，N，AM∶MB＝5∶11，AN∶NB＝5∶7，MN＝1.5，求AB的长度．审题视角

几何计算题未给出图形的，在分析解题之前须先作出图形，其主要数量关系应作正确标注．这个问题涉及较复杂的比例计算，能应用比例性质求得已知线段和未知线段的关系，进而求得未知线段长度．一般运算较繁杂，这时若适当设未知元然后列方程(组)，解方程(组)可使计算清晰、简洁．这是我们学习几何的重要工具，