2021-2022学年湖南省名校联考联合体（长郡中学长沙市一中等）高一下学期3月联考数学试题

20212022学年湖南省名校联考联合体（长郡中学，长沙市一中等）高一下学期3月联考数学试题一、单选题1．若，为第四象限角，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用平方关系即可得解.【详解】解：因为，为第四象限角，所以.故选：D.2．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平方差公式展开，即可得出答案.【详解】.故选：B.3．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由两角差的正弦公式计算即可.【详解】.故选：A.4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量的加减法法则进行计算.【详解】由题意得，，所以.故选：D.5．在中，已知，那么一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等边三角形【答案】B【解析】利用正弦函数进行边化角，再利用正弦函数的两角和公式求解即可【详解】解：已知，则：，整理得：，则：，所以：.故选：B6．如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】由题可得，即求.【详解】由题把图形看作平面直角坐标系的一部分则，∴.故选：D.7．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，An，若P点坐标为（0，1），则（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】在同一坐标系中作出和g(x)=x﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3，A4，A5根据为的一个对称点，得到关于对称，关于对称，再用中点坐标公式得到求解.【详解】由题意作出图象如图，共得5个交点，根据余弦函数的中心对称性可知，和，和关于对称，，，∴.故选：A.8．在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，结合余弦定理可求，结合三角形的面积公式可求，再由，结合，均为单位向量，和平行线分线段成比例可得，，结合基本不等式可求．【详解】，，化简可得，，，，，且，均为单位向量，过分别作，，垂足分别为，，则，，，，两式相加可得，由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，解可得，则的最大值为．故选B．【点睛】本题综合考查了余弦定理，平面向量的运算法则，三角形的面积公式，基本不等式的综合应用，二、多选题9．已知向量，，则（

）A．B．向量在向量上的投影向量是C．D．与向量同向的单位向量是（，）【答案】ACD【分析】根据题意，依次分析选项，即可得出答案.【详解】对于A，向量，，，则有，故，A正确；对于B，向量，，则，，则向量在向量上的投影向量是，B错误；对于C，向量，，，则，C正确；对于D，设要求向量为，且，，则有，解得，则要求向量为，D正确.故选：ACD.10．已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足，下列结论正确的是（

）A．P0点的坐标为（2，1）B．复数的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点P在一条直线上D．P0与z对应的点P间的距离的最小值为【答案】ACD【分析】对于A，利用复数的几何意义即可得出在复平面内对应的点.对于B，复数的共轭复数对应的点，即可判断.对于C，设点，，由复数z满足，根据几何意义即可判断正误.对于D，与对应的点P间的距离的最小值为点到直线的距离，代入即可判断.【详解】复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，因此A正确；复数的共轭复数对应的点与点关于虛轴不对称，因此B不正确，设点，，由复数z满足，结合复数的几何意义，可知复数对应的点P到点与点的距离相等，则复数对应的点P在线段的垂直平分线上，因此C正确；与对应的点P间的距离的最小值为点到直线的距离，因此D正确.故选：ACD.11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图，将该函数的图象向x轴负方向平移个单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍(纵坐标不变)，得到函数f(x)的图象.下列结论正确的是（

）A．当≤x≤时，f(x)的取值范围是[－1，2]B．f(－)＝C．曲线y＝f(x)的对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)D．若|x1－x2|<，则|f(x1)－f(x2)|<4【答案】AD【分析】根据函数的图象求出，对于选项A,．的取值范围是，A正确；对于选项B，计算得，B错误；对于选项C，函数的对称轴是，C错误．对于选项D，函数的最小正周期为，D正确．【详解】由图可知，，，∴．，由于，∴．∴函数的解析式是．根据题意，．∴当时，的取值范围是，A正确；，∴B错误；函数的对称轴是，∴C错误．∵的最小正周期为，∴D正确．故选：AD12．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．若ab=2bcosC，则（

）A．C=2B B．B的取值范围是C．B=2C D．的取值范围是【答案】AB【分析】由三角形的正弦定理和两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质化简可得，可判断；再由锐角三角形的定义可判断；再由正弦定理和二倍角的正弦公式，结合余弦函数的性质可判断．【详解】解：由，可得，即，即有，因为三角形为锐角三角形，所以，即，故正确，错误；由，，且，解得，故正确；而，，故错误．故选：．三、填空题13．已知复数，则________．【答案】1【分析】先结合三角函数值化简复数，进而求出复数的模【详解】∵∴.故答案为：114．已知向量，，若，则m=________．【答案】4【分析】直接由向量共线的坐标运算求得结果.【详解】由，得，解得.故答案为：4.15．已知在△ABC中，AB=1，BC=，AC=2，点O为△ABC的外心，若，则有序实数对为________．【答案】【分析】首先根据向量数量积的定义及余弦定理求出，再根据外心的性质得到、，再根据向量数量积的运算律得到方程组，解得即可；【详解】解：，∵O为的外心，∴，，由可得：，解得，所以为.故答案为：16．已知函数（，），，对恒有，且在区间（，）上有且只有一个使，则的最大值为________．【答案】【分析】根据，可得为函数的最值，再根据，求得，再根据函数在区间（，）上有且只有一个使，分析讨论，从而可得出答案.【详解】解：由题意知，，，则，，其中，，故k与同为奇数或同为偶数，在区间上有且只有一个最大值，且要求最大，则包含的周期应该最多，∴，得，即，∴，当时，，为奇数，，此时，当或时，都成立，舍去；当时，，为偶数，，此时，当或时，都成立，舍去；当时，，为奇数，，此时，当且仅当时，成立.综上所述，的最大值为.四、解答题17．已知复数，i为虚数单位．（1）当z是纯虚数时，求m的值；（2）当时，求．【答案】（1）0；（2）．【分析】（1）根据复数有分类求解；（2）由复数的除法法则计算．【详解】（1）由题意，解得；（2）由题意．18．已知，，．(1)求的值；(2)求与的夹角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量数量积运算法则得到，进而求出模长；（2）结合第一问，利用向量夹角坐标公式进行求解.【详解】(1)∵，，，∴，解得:..故；(2)设与的夹角，则，又∵，∴19．设函数．(1)设，求函数的最大值和最小值；(2)设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间．【答案】(1)，；(2)，【分析】(1)化简f(x)解析式，利用正弦函数的图像特性即可求其最大值和最小值；(2)根据正弦型函数为偶函数可知，，据此即可求出，再根据正弦函数单调性即可求g(x)的单调增区间.【详解】(1)，∵，，∴，∴函数的最大值为，最小值为．(2)，∵该函数为偶函数，∴，得，又∵，∴k取0，，∴，令，解得，从而得到其增区间为．20．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.【答案】(1)海里(2)游船应该沿北偏东的方向航行.【分析】(1)三边一角，由余弦定理可以求小岛A到小岛C的距离；(2)两边两角，由正弦定理可以求角.【详解】(1)解：(1)在中，，根据余弦定理得：..所以小岛A到小岛C的最短距离是海里.(2)解：(2)根据正弦定理得：解得在中，为锐角.由得游船应该沿北偏东的方向航行答:小岛A到小岛C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.21．从①cos2A+cosA=0；②sin2B－sin2A+sin2C一sinBsinC=0，③bsinA+cosB=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注：若选择多个条件，按第一个解答计分).在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若_______________.(1)求角A的大小；(2)若D是BC的中点，AD=1，求△ABC面积的最大值.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选条件①时，利用余弦的二倍角公式转化原式为2cos2A+cosA－1=0，求解即可选条件②时，利用正弦定理转化原式为，结合余弦定理即得解；选条件③时，利用正弦定理转化原式为sinBsinA+sinAcosB=sinC，再利用sinC=sin(A+B)，求解即可（2）在△ACD和△BCD中分别使用余弦定理可得，，再结合cos∠ADC=－cos∠BDC，，利用均值不等式即得解【详解】(1)选条件①时，cos2A+cosA=0；得2cos2A+cosA－1=0，解得cosA=或cosA=－1.∵0<A<，∴cosA=－1舍去，cosA=∴A=选条件②时，sin2B－sin2A+sin2C一sinBsinC=0，根据正弦定理：得，由余弦定理得：

∵0<A<，A=

选条件③时，bsinA+cosB=，利用正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=sinC=sin(A+B)，

化简得sinBsinA=cosAsinB.

∵0<B<π，∴sinB≠0，∴.tanA=，

∵0<A<，A=(2)在△ABC中，由余弦定理知，，

①在△ACD中，由余弦定理知，，在△BCD中，由余弦定理知，∵∠ADC+∠BDC=∴cos∠ADC=－cos∠BDC即化简得，，②

由①②，得，∴，当且仅当b=c时，等号成立，

∴△ABC面积

∴△ABC面积的最大值为.22．已知向量，（其中），记，且满足．(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程在上有三个不相等的实数根，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先用三角恒等变换化简，由得到是函数的一个周期，利用最小正周期列出不等式，求出，结合题干中得到；（2）在第一问求解的解析式基础上，求出在的值域，通过换元法得到二次函数根的分布问题，数形结合得到关