湖南省娄底市涟源第四中学2022年高二数学文下学期摸底试题含解析

湖南省娄底市涟源第四中学2022年高二数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在上的最大值和最小值分别是（

）A

B

C

D参考答案：A略2.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是A．若，则B．若，，则_ks5uC．若，，则D．若，，，则参考答案：B略3.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()．A．(k＋3)3

B．(k＋2)3

C．(k＋1)3

D．(k＋1)3＋(k＋2)3参考答案：A4.i是虚数单位,复数对应的点位于A第一象限

B第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B5.已知，，，…，依此规律可以得到的第n个式子为（）A.B.C.D.参考答案：D【分析】根据已知中的等式：，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．【详解】观察已知中等式：，，，…，则第n个等式左侧第一项为n，且共有2n-1项，则最后一项为：，据此可得第n个式子为：故选：D．【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳各数的关系，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．6.完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是()A．①分层抽样，②简单随机抽样

B．①简单随机抽样，②系统抽样C．①系统抽样，②分层抽样

D．①②都用分层抽样参考答案：A略7.若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣3参考答案：C【考点】两条直线平行的判定．【分析】根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值．【解答】解：∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴=，解得m=2或﹣3，故选C．8.在下列四个正方体中，能得出的是

（

）参考答案：A略9.两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数为0.98

B．模型2的相关指数为0.86

C．模型3的相关指数为0.68

D．模型4的相关指数为0.58参考答案：A略10.曲线的极坐标方程化为直角坐标为（

）。A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列结论中：①函数有最大值为；②函数y=2﹣3x﹣（x＜0）有最大值2﹣4；③若a＞0，则．正确的序号为．参考答案：①③【考点】基本不等式．【专题】函数思想；综合法；不等式．【分析】由基本不等式求最值的规则，逐个验证可得．【解答】解：由0＜x＜可得0＜1﹣2x＜1，∴y=x（1﹣2x）=?2x?（1﹣2x）≤（）2=，当且仅当2x=1﹣2x即x=时取等号，故函数有最大值为，①正确；∵x＜0，∴﹣x＞0，∴y=2﹣3x﹣=2+[（﹣3x）+（）]≥2+2=2+4，当且仅当（﹣3x）=（）即x=时取等号，故函数y=2﹣3x﹣（x＜0）有最小值2+4，②错误；∵a＞0，∴（1+a）（1+）=2+a+≥2+2=4当且仅当a=即a=1时取等号，故③正确；故答案为：①③【点评】本题考查基本不等式，逐个验证是解决问题的关键，属基础题．12.某市有、、三所学校共有高二学生人，且、、三所学校的高二学生人数成等差数列，在进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二学生中抽取容量为的样本进行成绩分析，则应从校学生中抽取________人.参考答案：分层抽样所抽取样本的数量与总体数量成比例，既然、、三所学校的高二学生人数成等差数列，那么分别所抽取的样本的容量也成等差数列，由等差中项易得应从校学生中抽取人.13.已知函数的最小正周期为,则的单调递增区间为

▲

．参考答案：略14.已知的可行域如图阴影部分,其中,在该区域内取得最小值的最优解有无数个，则=_______________.参考答案：2略15.在△ABC中，若c2＞a2+b2，则△ABC必是

（填锐角，钝角，直角）三角形．参考答案：钝角【考点】余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件利用余弦定理求得cosC＜0，可得△ABC必是钝角三角形．【解答】解：△ABC中，若c2＞a2+b2，则由余弦定理可得cosC=＜0，故C为钝角，故△ABC必是钝角三角形，故答案为：钝角．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．16.设双曲线的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为．参考答案：2【考点】双曲线的应用．【分析】先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为，及又c2=a2+b2，求出离心率．【解答】解：∵直线l过（a，0），（0，b）两点，∴直线l的方程为：+=1，即bx+ay﹣ab=0，∵原点到直线l的距离为，∴=．又c2=a2+b2，∴a2+b2﹣ab=0，即（a﹣b）（a﹣b）=0；∴a=b或a=b；又因为b＞a＞0，∴a=b，c=2a；故离心率为e==2；故答案为2．17.观察下列各式：①，②，③，……，根据以上事实，由归纳推理可得：若定义在上的偶函数的导函数为，则=

.参考答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）己知圆C:(x–2)2

+y2=9,直线l：x+y=0.(1)求与圆C相切,且与直线l平行的直线m的方程;(2)若直线n与圆C有公共点，且与直线l垂直，求直线n在y轴上的截距b的取值范围;参考答案：(1)

∵直线m∥直线x+y=0,∴设m:x+y+c=0,∵直线m与圆C相切，∴3=,解得c=–2±3

得直线m的方程为：x+y–2+3=0,或x+y–2–3=0.(2)由条件设直线n的方程为：y=

x+b,

代入圆C方程整理得：2x2+2(b–2)x+b2–5=0,

∵直线l与圆C有公共点，∴△=4(b–2)2–8(b2–5)=–4b2–16b+56≥0,即：b2+4b–14￡0解得：–

2–3￡b￡–2+3略19.（本小题满分10分）已知等差数列的前n项的和记为，.（1）求数列的通项公式；（2）求的最小值及其相应的的值.参考答案：略20.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=t，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.（1）若t=1，求异面直线AC1与A1B所成角的大小；（2）若t=5，求直线AC1与平面A1BD所成角的正弦值；（3）若二面角的大小为120°，求实数t的值.参考答案：解：（1）当时，，，，，，则，，故，所以异面直线与所成角为．（2）当时，，，，，，则，，

设平面的法向量，则由得，不妨取，则，此时，设与平面所成角为，因为，则，所以与平面所成角的正弦值为．（3）由得，，，

设平面的法向量，则由得，不妨取，则，

此时，又平面的法向量，故，解得，由图形得二面角大于，所以符合题意．所以二面角的大小为，的值为．

21.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；（3）求三棱锥D﹣PAC的体积．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，易证PO∥BD1，由线面平行的判定定理即可证得直线BD1∥平面PAC；（2）由于四边形ABCD为正方形，BD⊥AC，易证AC⊥平面BDD1，由面面垂直的判定定理即可证得平面PAC⊥平面BDD1；（3）由VD﹣PAC=VA﹣PDC即可求得三棱锥D﹣PAC的体积．【解答】解：（1）设AC∩BD=O，连接OP，∵O，P分别为BD，D1D中点，∴BD1∥OP…3′∵OP?平面PAC，BD1?平面PAC，∴BD1∥平面PAC…5′（2）∵D1D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴D1D⊥AC…7′又AC⊥BD，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1…9′∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1…10′（3）∵PD⊥平面ADC，∴VD﹣PAC=…14′【点评】本题考查直线与平面平行的判定与平面与平面垂直的判定，熟练掌握这些判定定理是解决问题的关键，考查学生转化与空间想象的能力，属于中档题．22.（本题满分11分）张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则．