广西壮族自治区贵港市港南区木格镇高级中学高三数学理测试题含解析

广西壮族自治区贵港市港南区木格镇高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若是夹角为的单位向量，且,，则A.1

B.

C.

D.参考答案：C2.已知x∈R，i为虚数单位，若(1－2i)(x＋i)为纯虚数，则x的值等于()A．－

B．－2

C．2

D．参考答案：B3.已知等差数列{an}的公差和首项都不为0，且、、成等比数列，则（）A.7 B.5 C.3 D.2参考答案：B【分析】根据三项成等比数列可构造出关于和的方程，解方程得到；根据等差数列通项公式，利用和表示出所求式子，化简可得结果.【详解】设等差数列公差为、、成等比数列

即，解得：本题正确选项：B4.给出下列命题：①直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；②直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；③异面直线，不垂直，则过的任何平面与都不垂直；④若直线和共面，直线和共面，则和共面.其中错误命题的个数为(

)A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：D略5.执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A．120

B．720C．1440

D．5040参考答案：B6.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则()A．－3

B．－1

C．1

D．3参考答案：C略7.在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是（

）A．B．

C．

D．参考答案：B8.设抛物线的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且，若，则的值为（

）A. B.2 C. D.3参考答案：D过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得==，又∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴==，.故选：D．

9.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．

B． C． D．参考答案：C10.下列函数中，与函数定义域相同的函数为A．

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线在点处的切线方程为___________；参考答案：略12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a=1，，则A=

参考答案：60°13.若，其中是虚数单位，则实数的值是____________.

参考答案：由得，所以。14.已知向量均为单位向量，若它们的夹角是，则等于

.参考答案：略15.若存在正数使成立，则的取值范围是参考答案：16.若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点坐标为_________参考答案：答案：

17.已知直线：,若直线与直线垂直，则的值为______动直线：被圆：截得的最短弦长为

.参考答案：或

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数f（x）=x﹣﹣2lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明：f（x2）＜x2﹣1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的定义域为（0，+∞），函数的导数，令f′（x）=0，①当△≤0，②当△＞0，a＜1时，若a≤0，若a＞0，分别判断导函数的符号，得到函数的单调性．当0＜a＜1时，（2）求出函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞），直接推出结果．（3）通过（1），（2），推出0＜a＜1，构造新函数g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，利用新函数的单调性证明求解即可．【解答】（本小题满分14分）（1）解：函数的定义域为（0，+∞），，…（1分）令f′（x）=0，得x2﹣2x+a=0，其判别式△=4﹣4a，①当△≤0，即a≥1时，x2﹣2x+a≥0，f′（x）≥0，此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（2分）②当△＞0，即a＜1时，方程x2﹣2x+a=0的两根为，，…（3分）若a≤0，则x1≤0，则x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；…（4分）若a＞0，则x1＞0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．…综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；当a≥1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）（2）解：由（1）可知，函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞）有两不等实根，故0＜a＜1．…（7分）（3）证明：由（1），（2）得0＜a＜1，，且1＜x2＜2，．…（8分），…（9分）令g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，则，…（10分）由于1＜t＜2，则g′（t）＜0，故g（t）在（1，2）上单调递减．…（11分）故g（t）＜g（1）=1﹣2ln1﹣1=0．…（12分）∴f（x2）﹣x2+1=g（x2）＜0．…（13分）∴f（x2）＜x2﹣1．…（14分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．19.(本题满分12分)已知集合，实数使得集合满足，求的取值范围.参考答案：解：A=(3,4)…………………..2分

a5时，B=，满足AB；…………………..6分

a<5时，B=，由AB，得a4，故4a<5，……………..10分

综上，得实数a的取值范围为a4.………12分20.（本小题满分13分）已知椭圆:的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线交椭圆于两点，在直线上存在点,使得为等边三角形,求的值.

参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)或(Ⅰ)因为椭圆:的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点,

所以,椭圆的方程为………………4分(Ⅱ)设,则（i）当直线的斜率为0时，的垂直平分线就是轴，轴与直线的交点为,又，所以是等边三角形,所以满足条件；………………6分(ii)当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为所以，化简得

解得所以………………8分又的中垂线为，它的交点记为

由解得则………………10分因为为等边三角形，所以应有代入得到，解得（舍），

综上可知，或………………13分21.在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线（t为参数）与圆C交于A，B两点，且，求m的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出圆C的普通方程，可得圆C的极坐标方程；（2）求出直线l的普通方程，利用勾股定理，建立方程，即可求出m的值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（φ为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，极坐标方程为ρ=4cosθ；（2）直线（t为参数），消去参数可得y﹣x+m=0，圆心C到直线的距离d=，|AB|=2=，∴m=0或4．22.（本题满分13分）已知函数在处的切线方程为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）试证明：参考答案：（Ⅰ）

直线的斜率为2，且过点