最短路径模型

最短路径模型——旋转最值类根本模型图:当点P是⊙O外一点，直线PO分别交⊙O于点A、B两点，那么线段PA的长是点P到⊙O的最短距离，线段PB的长是点P到⊙O上的点的最长距离.当点P是⊙O内一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，那么线段PA的长是点P到⊙O上的点的最短距离，线段PB的是点P到⊙O上的点的最长距离.总结：用旋转思想解决线段最值问题的本质是利用三角形三边关系解决问题.特点：旋转类最值一般涉及到平面上一定点到圆上一动点的最大值〔或最小值〕，属于单动点问题，有时动点的运动路径圆〔或圆弧〕并不直接给出，此时需要根据条件把“隐圆”勾画出来，具体来说“隐圆”一般有如下呈现方式：①定点定长；②定弦定角.【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，那么B′D的最小值是〔〕．A．B.6C.D.4【典例2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连结BE交AG于点H，假设正方形的边长是2，那么线段DH长度的最小值是.【针对训练】1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴，y轴上，当点A在轴正半轴上运动时，点C随之在轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为〔〕.A．B．C．D．32.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，那么线段CE的最小值为〔〕.A．B.C.D.43.如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的运点，连接PQ，那么PQ长的最大值与最小值的和是〔〕.A.6B.C.9D.4.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，那么CE的最小值为〔〕.A.B.C.5D.5．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG，那么CG的最小值为〔〕．A．B．C.D.6．如图，△ABC、△EFG是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FG相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是A．B．C.D.7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，那么A′C长度的最小值是.8．如图，△ABC为等边三角形，AB=2，假设点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，那么线段PB长度的最小值为．9.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点〔点M不与B，C重合〕，CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．以下五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤假设AB=2，那么S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是〔〕A．2B．3C．4D．510.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，那么线段CP长的最小值为〔〕A．B．2C．D．11.二次函数，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，那么m+n的值为〔〕A．B．2C．D．12.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C〔0，1〕为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．那么△PAB面积的最大值是〔〕A．8B．12C．D．13.如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为〔〕A．5B．7C．8D．14.将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如下图放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，假设CA=5，AB=6，AB=1：3，那么MD+的最小值为．15.如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为〔﹣1，0〕，半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，那么切线长PQ的最小值是．16.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，那么A′C的长的最小值是．17.如下图，点C〔1，0〕，直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，那么△CDE周长的最小值是．18.如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，那么四边形PCDE面积的最大值是．19.如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一动点〔不与A、B重合〕，点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论：①；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为．其中正确的选项是〔把你认为正确结论的序号都填上〕．20.如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动〔不与A、B重合〕，将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出以下结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是．21.如图，正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点〔均不与顶点重合〕，当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．22.如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，那么PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是．23.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．24.如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．〔1〕求证：AC2=AE•AB；〔2〕过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；〔3〕设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．25.如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB．〔1〕求证：EF⊥AG；〔2〕假设点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立〔只写结果，不需说明理由〕？〔3〕正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当，求△PAB周长的最小值．26.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与