专训4-应用三角函数解实际问题的是四种常见问题

阶段方法技巧训练（二）专训4应用三角函数解实际问题的四种常见问题习题课

在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．1类型定位问题1．【中考·天津】某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美

景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m，

在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮

沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海

楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼

之间的距离BC.(取1.73，结果

保留整数)根据题意可知AB＝300m.如图所示，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.在Rt△ADB中，因为∠BAD＝30°，所以BD＝

AB＝×300＝150(m)．在Rt△CDB中，因为sin∠DCB＝

，所以BC＝≈173(m)．答：此时游轮与望海楼之间的距离BC约为173m.解：本题也可过C作CD⊥AB于D，由已知得BC＝AC，则AD＝

AB＝150m，所以在Rt△ACD中，AC＝

≈173(m)．所以BC＝AC≈173m.2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE

＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的

防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新

的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度.(结果精

确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)2类型坡坝问题在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°，BE＝20米，∴AE＝20米．在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE＝20米，∴EF＝(米)．∴AF＝EF－AE＝20－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)．即AF的长度约是15米．解：3测距问题类型3．【2017·呼和浩特】如图，地面上小山的两侧有A，B

两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小

山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气

球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据

求A，B两地的距离AB长．(结果用

含非特殊角的三角函数和根式表示

即可)如图，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M.由题意得，AC＝40×10＝400(m)．在Rt△ACM中，∵∠A＝30°，∴CM＝

AC＝200m，AM＝

AC＝200m.在Rt△BCM中，∠CBM＝70°，∴∠BCM＝20°.∴BM＝CM·tan20°.∴AB＝AM－BM＝200－200tan20°＝200(－tan20°)m，因此A，B两地的距离AB长为200(－tan20°)m.解：4测高问题类型4．【2016·海南】如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处

测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼

顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上.(1)求坡角CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)(1)在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，∴DE＝

DC＝2(米)．(2)如图，过点D做DF⊥AB，交AB于点F，则∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，∴∠DBF＝45°，即△BFD为等腰直角三角形.设BF＝DF＝x米，∵四边形DEAF为矩形，

∴AF＝DE＝2米，即AB＝(x＋2)米，解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴BC＝(米)，∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠DCB＝90°，在Rt△BCD中，BD＝

BF＝