2019年湖南省张家界市中考数学试卷（解析版）

2019年湖南省张家界市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）（2019•张家界）2019的相反数是（）

A.2019B.-2019C.」一D.-二一

20192019

【考点】14：相反数.

【专题】511：实数.

【分析】由相反数的定义即可得到答案.

【解答】解:2019的相反数是-2019.

故选：B.

【点评】本题运用了相反数的知识点，准确掌握定义是解题的关键.

2.（3分）（2019•张家界）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当

权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美

国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（）美元.

A.6X1O10B.O.6X1O10C.6X109D.0.6X109

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】运用科学记数法的知识可解.

【解答】解：600亿=6X101°.

故选：A.

【点评】本题运用了科学记数法的知识点，掌握好n与数位之间的关系是解此题的关键.

3.（3分）（2019•张家界）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图

C.D.

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形；U1：简单几何体的三视图.

【专题】558：平移、旋转与对称；55F：投影与视图.

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图以及轴对称图形、中心对称图形的概念，可

得答案.

【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形.故错误；

是轴对称图形，也是中心对称图形.故错误；

C>是轴对称图形，不是中心对称图形.故正确；

。、是轴对称图形，也是中心对称图形.故错误.

故选：C.

【点评】本题考查了几何体的三视图以及中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图

形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对

称中心，旋转180度后与原图重合.

4.（3分）（2019•张家界）下列运算正确的是（）

A.a2,a3=cz6B.a^+a3—a5

C.（a+b）2=a2+Z>2D.（cz3）2=cz6

【考点】35：合并同类项；46：同底数幕的乘法；47：暴的乘方与积的乘方；4C：完全

平方公式.

【专题】512：整式.

【分析】根据同底数塞的乘法法则，完全平方公式，幕的乘方公式进行运算即可；

【解答】解：/./=/+3=/；人错误；

/+/=/+/.B错误;

（a+b）2=a^+b~+2ab；C错误;

（a3）2=a3X2=a6；。正确；

故选：D.

【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幕的乘法，幕的乘方和积的乘方，完全

平方公式是解题的关键.

5.（3分）（2019•张家界）下列说法正确的是（）

A.打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件

B.天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨

C.两组数据平均数相同，则方差大的更稳定

D.数据5,6,7,7,8的中位数与众数均为7

【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W7：方差；XI：随机事件；X3：

概率的意义.

【专题】542：统计的应用.

【分析】事件发生的可能性越大，概率越接近与1,事件发生的可能性越小，概率越接近

于0.事件发生的可能性越大，概率越接近与1,事件发生的可能性越小，概率越接近于

0.

【解答】解：4打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A错误;

B.天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B错误；

C.两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C错误；

D,数据5,6,7,7,8的中位数与众数均为7,正确.

故选：D.

【点评】本题考查了概率及其应用，正确理解概率的意义是解题的关键.

6.（3分）（2019•张家界）不等式组的解集在数轴上表示为（）

Ix>-1

A.-2-10123"B.

A\l/7777\

C.-2-10123D.

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式2x-2W0,得：xWl,

则不等式组的解集为-

故选:B.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

7.（3分）（2019•张家界）如图，在△ABC中，NC=90°,AC=8,DC=^-AD,2。平分

3

ZABC,则点D到AB的距离等于（)

B

CDA

A.4B.3C.2D.1

【考点】KF：角平分线的性质.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】过点。作于E,求出8,再根据角平分线上的点到角的两边的距离

相等解答.

【解答】解：如图，过点。作DELAB于E,

VAC=8,DC=—AD,

3

.•.CD=8X」^=2,

1+3

：/C=90°,8。平分/ABC,

:.DE=CD=2,

即点D到AB的距离为2.

故选：C.

CDA

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的

关键.

8.（3分）（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形048c绕点。

顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1G,依此方式，绕点。连续旋转2019次得到正方

形。42019比019c2019,那么点A2019的坐标是（）

A.(返，-足)B.(1,0)C.(-返，-四)D.(0,-1)

2222

【考点】D2：规律型：点的坐标；R7：坐标与图形变化-旋转.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】探究规律，利用规律解决问题即可.

【解答】解：：四边形OA8C是正方形，且OA=1,

:.A(0,1),

:将正方形042c绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OAiBiCi,

发现是8次一循环，所以2019+8=252…余3,

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所

连线段的夹角等于旋转角.也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解

题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分)

9.(3分)(2019•张家界)因式分解：/y-y=y(尤+1)(xT).

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】首先提公因式y,再利用平方差进行二次分解即可.

【解答】解：原式=y(x2-1)=y(x+1)(x-1),

故答案为:y(x+1)(x-1).

【点评】此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，关键是掌握提取公因式后利用

平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底.

10.(3分)(2019•张家界)已知直线a〃6,将一块含30°角的直角三角板A8C按如图所

示方式放置(NBAC=30°),并且顶点A,C分别落在直线a,b上，若/1=18°,则

Z2的度数是48°.

a

【考点】JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】根据平行线的性质和直角三角形的性质解答即可.

【解答】'：a//b,

：.Z2=Z]+ZCAB=IS°+30°=48°,

故答案为：48°

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和直角三角形的性质解答.

11.（3分）（2019•张家界）为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计

了七（1）班40名学生的捐书情况：

捐书（本）345710

人数5710117

该班学生平均每人捐书6本.

【考点】W2：加权平均数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】根据加权平均数的定义计算可得.

【解答】解：该班学生平均每人捐书3X5+4X7+5X10+7X11+10X7=6（本），

40

故答案为：6.

【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义.

12.（3分）（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，菱形048c的顶点。为坐标原点,

顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数y=K的图象上，已知菱形的周长是8,

X

ZCOA=60°,则左的值是一

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KM：等边三角形的判定与性质；L8：

菱形的性质.

【专题】31：数形结合；33：函数思想；556：矩形菱形正方形.

【分析】菱形0A8C的周长为8,可得边长为2,过C作无轴的垂线，构造直角三角形，

利用30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，可以求出表示C点坐标的线段的

长，从而确定点C的坐标，再依据点C在反比例函数的图象上，代入关系式可以求出k

的值.

【解答】解：过点C作。垂足为。，

'：ZCOA=60°

：.ZOCD^90°-60°=30°

又：菱形0ABe的周长是8,

：.OC=OA=AB=BC=2,

在RtZiCO。中，OD=L(9C=1,

2

皿=正_心二相,

：.c(1,M),

把C(1,«)代入反比例函数y=X■得：

X

故答案为：V3-

【点评】此题综合利用直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理、

菱形的性质以及反比例函数图象上的点的坐标特征等知识，难度不大，但考查的知识较

多.

13.（3分）（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一

个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”.意思是：一

块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？

根据题意得，长比宽多12步.

【考点】1O：数学常识；AD：一元二次方程的应用.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】根据题意，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题.

【解答】解：设长为x步，宽为（60-x）步，

x（60-%）=864,

解得，xi=36,无2=24（舍去），

...当尤=36时，60-x=24,

，长比宽多：36-24=12（步），

故答案为：12.

【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程,

利用方程的知识解答，注意长比宽要长.

14.（3分）（2019•张家界）如图：正方形A8CD的边长为1,点E,尸分别为BC,C。边的

中点，连接AE,BF交于点、P,连接尸£）,则tan/AP£>=2.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】首先证明△ABE0△3CR再利用角的关系求得/BPE=90°,证明A、尸、F、

。四点共圆，^ZAFD=ZAPD,可得结论.

【解答】解：连接4凡

,:E,尸分别是正方形ABC。边8C,C£»的中点，

在△ABE和△85中，

rAB=BC

<NABE=NC，

tBE=CF

.'.RtAABE^RtABCF(SAS),

：.ZBAE=ZCBF,

XVZBAE+ZBEA^9Q°,

：.ZCBF+ZBEA=90°,

；.NBPE=NAPF=90°,

VZADF=9Q°,

ZA£)F+ZAPF=180°,

...A、P、F、。四点共圆，

ZAFD=ZAPD,

tanNAP。=tanZAFD--^--2,

DF

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的性质、

三角函数的定义，解决的关键是证明NAPF=90°.

三、解答题(本大题共9个小题，满分58分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后

的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效)

15.(5分)(2019•张家界)计算：(3.14-n)0+|-/2-1|-2cos45°+(-1)2019.

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幕；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】511：实数.

【分析】分别计算出(3.14-it)0=1,|-/2-1|=V2-1>2cos450=2X*_=a，+(-

1)2019=1即可求解；

【解答】解：(3.14-TT)°+lV2-11-2cos45°+(-1)2019

=1+M-1-2xl±L-1

2

=_1;

【点评】本题考查实数的运算；熟练掌握零指数累的运算，特殊三角函数值是解题的关

键.

2

16.（5分）（2019•张家界）先化简，再求值：（生虫-1）+*-2x+l,然后从0,1,2

x-2x-2

三个数中选择一个恰当的数代入求值.

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】513：分式.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的

值代入计算可得.

【解答】解：原式=（区心-三2）.31）「

x-2x-2x-2

=xT.x-2

x-2（x-1）2

=1

x-1,

当尤=0时,原式=-1.

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和

运算法则.

17.（5分）（2019•张家界）如图，在平行四边形中，连接对角线AC,延长A8至点

E,使连接。£,分别交8C,AC交于点RG.

（1）求证：BF=CF-,

（2）若BC=6,DG=4,求PG的长.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判

定与性质.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO〃C。，AD=BC,得到△EBFS/XEA。，根

据相似三角形的性质证明即可；

（2）根据相似三角形的性质列式计算即可.

【解答】（1）证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

J.AD//CD,AD=BC,

.,.△EBFs^EAD,

.BF=EB=1

"ADEA2，

:.BF=^AD=LBC,

22

：.BF=CF；

（2）解：：四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//CD,

:AFGCsADGA,

.FG=FC即电呈

"DGW~TT

解得，FG=2.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形

的判定定理和性质定理是解题的关键.

18.（6分）（2019•张家界）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元,

乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的

总金额为9000元.

（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，

求可能的购买方案？

【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用.

【专题】521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2尤-40）棵，由题意可得，30x+20

（2x-40）=9000；

（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10-y）棵，根据题意可得，30y+20（10-y）W230,

根据y的范围确定购买方案即可；

【解答】解：（1）设购买甲种树苗X棵，购买乙种树苗（2X-40）棵，

由题意可得，30x+20（2x-40）=9000,

70x=9800,

x=140,

购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵；

（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10-y）棵，

根据题意可得，30v+20（10-y）W230,

10yW30,

；.yW3；

购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；

购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；

购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；

购买方案4：购买甲树苗。棵，乙树苗10棵；

【点评】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用；能够准确列出方程，

根据题意确定不等式是解题的关键.

19.（6分）（2019•张家界）阅读下面的材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第

一位的数称为第一项，记为小，排在第二位的数称为第二项，记为。2,依此类推，排在

第〃位的数称为第W项，记为许.所以，数列的一般形式可以写成：ai,。2,。3,…，

an，….

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个

数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.如：数列1,3,

5,7,…为等差数列，其中。1=1,42=3,公差为d=2.

根据以上材料，解答下列问题：

（1）等差数列5,10,15,…的公差d为5,第5项是25.

（2）如果一个数列。2,。3,…，an-,是等差数列，且公差为d,那么根据定义可

至:ci2~。1=d,a3~a2=d,U4~a3=d,,,,,cin***.

所以

ai—ai+d

a3=a2+d=(m+d)+d=m+2d,

O4=a3+d=(fli+2c?)+d=a\+3dt

由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an=a\+（n-\）d.

（3）-4041是不是等差数列-5,-7,-9…的项？如果是，是第几项？

【考点】37：规律型：数字的变化类.

【专题】2A：规律型.

【分析】（1）根据公差定义进行计算得d，再推算第5项便可；

（2）由a2=m+d,。3=。1+2","4=ai+3d…可知:序列号”比d的系数小1,故：an—

<71+（n-1）d.

（3）先根据样例求出通项公式，再将-4041代入通项公式求出力若w为正整数就可以

断定-4041是此等差数列的某一项，反之则不是.

【解答】解：（1）根据题意得，1=10-5=5；

Va3=15,

cz4=a3+d—15+5=20,

ci5=aA+d—20+5=25,

故答案为：5；25.

(2)Vai=a\+d

a3—a2+d—(ai+d)+d—a1+2d,

a4=a3+d=(m+2d)+d=a\+3d)

.".an=ai+(w-1)d

故答案为：n-1.

（3）根据题意得，

等差数列-5,-7,-9…的项的通项公式为：砺=-5-2（〃-1）,

则-5-21）=-4041,

解之得：71=2019

-4041是等差数列-5,-7,-9…的项，它是此数列的第2019项.

【点评】本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理

解题目呈现的数学思想及数学方法.

20.（6分）（2019•张家界）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景

区.在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿AC路线对索道进行检修维

护.如图：已知A8=500米，8C=800米，与水平线A41的夹角是30°,8C与水平

线的夹角是60°.求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结

果精确到1米，参考数据：73^1,732）

【考点】T8：解直角三角形的应用.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过

测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.根据题目已知特点

选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到

实际问题的答案.

【解答】解：如图，过点2作于点"

在RtZkABH中，A8=500,NBAH=30°,

500=250（米），

：.AiBi=BH=250（米），

在RtZXBBiC中，BC=800,ZCBBi=60°,

.B,CV3

••--,~--sinz^CBB.=sinGO0=—^~,

Dp/U1N

•••8IC=^BC=4'X800=40075（米），

检修人员上升的垂直高度CAi=CBi+AiBi=40073+250^943（米）

答：检修人员上升的垂直高度CAi为943米.

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.

21.（7分）（2019•张家界）如图，A3为。。的直径，且42=4/5，点C是窟上的一动点

（不与A,B重合），过点8作O。的切线交AC的延长线于点。，点E是3。的中点,

连接EC

（1）求证：EC是O。的切线；

（2）当/。=30°时，求阴影部分面积.

【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算.

【专题】11：计算题；14：证明题；55A：与圆有关的位置关系；55C：与圆有关的计算.

【分析】（1）连接BC,OC,OE,由E是2。的中点，可得CE=BE,证明

OBE,得/OCE=/OBE=90°,则结论得证；

（2）阴影部分的面积即为四边形OBED的面积减去扇形COB的面积.

【解答】解：（1）如图，连接BC,OC,OE,

,：AB为OO的直径，

AZACB=9Q°,

在RtZXBDC中，•:BE=ED,

：・DE=EC=BE,

VOC=OB,OE=OE,

・•・△OCE咨LOBE(SSS),

：.ZOCE=ZOBE,

・・・5。是。。的切线，

ZABZ)=90°,

：.ZOCE=ZABD=90°,

•・・0C为半径，

・・・EC是OO的切线；

(2)・：OA=OB,BE=DE,

J.AD//OE,

：.ND=NOEB,

・・・/O=30°,

：.ZOEB=30°,ZEOB=60°,

：.ZBOC=120°,

-：AB=4^

：.OB=2M，

・・・BE=2娟•我二6.

・•・四边形OBEC的面积为2SAOBE=2X1-X6X2乃=葭愿，

7T

阴影部分面积为S四边形QBEC-S扇形BOC=1273-120“x(2a)—=1273-4TT.

360

【点评】此题综合考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇

形的面积计算方法.

22.（8分）（2019•张家界）为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动

周，活动周设置了“4文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主

题，每个学生选一个主题参与.为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调

查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图.

（1）本次随机调查的学生人数是60人;

（2）请你补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，“8”所在扇形的圆心角等于108度;

（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们

恰好选中同一个主题活动的概率.

【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法.

【专题】542：统计的应用；543：概率及其应用.

【分析】（1）用“A”的频数除以所占比例即可得出答案；

（2）求出“C”的频数，补全条形统计图即可；

（3）用360°乘以“B”所占的比例即可；

（4）画出树状图，由概率公式即可得出结果.

【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数=15+25%=60人；

故答案为：60；

（2）60-15-18-9=18（人），补全条形统计图如图1所示：

（3）在扇形统计图中，“8”所在扇形的圆心角=360°xW=108°,

60

故答案为：108；

（4）画树状图如图2所示：

共有16个等可能的结果，

小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，

.•.小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率=_£=!

164

【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；读懂题意，画出树

状图是解题的关键.

23.(10分)(2019•张家界)已知抛物线y=o?+6x+c(aWO)过点A(1,0),B(3,0)

两点，与y轴交于点C,OC=3.

(1)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)过点垂足为求证：四边形AD8M为正方形；

(3)点尸为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当APBC面积最大时，求点P的坐

标；

(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+^QC是否存在最小值？若存在，求出这

个最小值；若不存在，请说明理由.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】16：压轴题；31：数形结合；48：构造法；67：推理能力.

【分析】(1)函数的表达式为：y=a(x-1)(x-3)=a(/-4x+3),即可求解；

(2)AM=MB=ABsm45°=y[2=AD=BD,则四边形为菱形，而/AMB=90°,

即可求解；

(3)S»BC=LPHXOB,即可求解；

2

(4)过点C作与v轴夹角为30°的直线过点A作垂足为则WQ=LC。,

2

AQ+LQC最小值=AQ+HQ=A8,即可求解.

2

【解答】解：(1)函数的表达式为：y=a(x-1)(x-3)=a(/-4x+3),

即：3。=3,解得：a=l,

故抛物线的表达式为：y=/-4x+3,

则顶点。(2,-1)；

(2)：OB=OC=4,：.ZOBC^ZOCB=45°,

AM=MB=ABsin450=yf2=AD=BD,

则四边形AOBM为菱形，而乙4MB=90°,

四边形ADBM为正方形；

(3)将点8、C的坐标代入一次函数表达式：并解得:

直线BC的表达式为：y=-x+3,

过点P作y轴的平行线交BC于点H,

设点尸(x,J?-4.r+3),则点H(x,-尤+3),

则S»BC=LPHXOB=3(-X+3-?+4x-3)=3(-x2+3x),

222

v-2<o,故S#BC有最大值，此时尤=W,

22

故点尸(鼻，-3)；

24

(4)存在，理由：

如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH过点A作AHLCH,垂足为X,

则HQ^CQ,

AQ+LQC最小值

2

直线HC所在表达式中的左值为直线HC的表达式为：y=心+3…①

则直线AH所在表达式中的左值为-

3

则直线AH的表达式为：y=-1+s,将点A的坐标代入上式并解得：

-3

则直线AH的表达式为：尸-叵c+Y3…②，

-33

联立①②并解得：x=IT遮,

4

故点”（1-3M,过巨），而点A（1,0）,

44

贝I]AH=3&+遍,

4_

即：AQ+LQC的最小值为孑&返.

24

【点评】本题是二次函数综合运用，涉及到一次函数、特殊四边形性质、图形的面积计

算等，其中（4）,过点C作与y轴夹角为30°的直线CH,则“。=去（?。是本题的难

点.

考点卡片

1.相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如。的相反

数是-a,的相反数是-（m+n）,这时机+〃是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成。义10"的形式，其中。是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：oXIO",其中lWa<10,

〃为正整数

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数加

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

3.数学常识

数学常识

此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解.比如给出一个物体的高度

要会选择它合适的单位长度等等.

平时要注意多观察，留意身边的小知识.

4.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

I.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

5.合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同

系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数

会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字

母和字母的指数不变.

6.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法.

（2）利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为无，再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

7.同底数塞的乘法

（1）同底数累的乘法法则：同底数塞相乘，底数不变，指数相加.

1m+n（m,"是正整数）

（2）推广：am-an-aP=am+n+P",n,p都是正整数）

在应用同底数累的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（/.）3与（°2.）

4,（x-y）2与（尤-y）3等；②0可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只

有相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数幕的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数幕.

8.暴的乘方与积的乘方

（1）幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（/）"=*（1,a是正整数）

注意：①幕的乘方的底数指的是幕的底数；②性质中“指数相乘”指的是幕的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数塞的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的累相乘.

Cab）n=anbn（〃是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

9.完全平方公式

（1）完全平方公式：（。±6）2=。2±2而+庐.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，

其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算

符号相同.

（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的°,6可是单项式，也可以是多项式；②

对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两

项看做一项后，也可以用完全平方公式.

10.提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用.

11.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

12.零指数幕

零指数塞：a°=l（。。0）

由a皿+。m=a"L'"=a°可推出a°=l（aWO）

注意：00WL

13.二元一次方程组的应用

（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

（4）求解.

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

（二）、设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

14.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为a,十位数是b,则这个两位数表示为106+a.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率

为x,则第一次增长后为a（1+尤）；第二次增长后为a（1+x）2,即原数X（1+增长百分率）

2=后来数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用

相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方

程.

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、己知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹！J：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

4.解：准确求出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

6.答：写出答案.

15.在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心,

若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：''小于向左，大于向右”.

【规律方法】不等式解集的验证方法

某不等式求得的解集为x>a,其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其

次在无>。的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立.

16.一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以

得到实际问题的答案.

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中

的不等关系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.

②根据题中的不等关系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④写出符合题意的解.

17.解一元一次不等式组

(1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

(2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

(3)一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

18.规律型：点的坐标

规律型：点的坐标.

19.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数y=g(左为常数，k手0)的图象是双曲线，

①图象上的点(尤，y)的横纵坐标的积是定值上即孙=心

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y=klx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形

的面积是定值I川.

20.二次函数综合题

(1)二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

(3)二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

21.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角

相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁

内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角

相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

22.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

23.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段

相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角

平分线的性质语言：如图，在/A08的平分线上，CD±OA,CE1OB：.CD=CE

24.等边三角形的判定与性质

（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,

它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形,

同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.

（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成

含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形

等.

（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一

般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角

形出发，则想法获取一个60°的角判定.

25.平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

（3）平行线间的距离处处相等.

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.

26.菱形的性质

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（2）菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

（3）菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式.

②菱形面积=专湖.（。、6是两条对角线的长度）

27.正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形,

有四条对称轴.

28.切线的判定与性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（3）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.

29.扇形面积的计算

（1）圆面积公式：S=TTJ

（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

（3）扇形面积计算公式：设圆心角是,圆的半径为R的扇形面积为S,则

s扇形=—^―冗网或S扇形（其中/为扇形的弧长）

3602

（4）求阴影面积常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割补法.

（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.

30.轴对称图形

（1）轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形,

这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称.

（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的

两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至

无数条.

（3）常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.

31.中心对称图形

(1)定