新人教版高中数学必修第二册：强化练5 空间中的平行关系

专题强化练5空间中的平行关系

一、选择题

1.（2020河北衡水中学高三下月考,"）若l,m是两条不同的直线,m垂

直于平面a,则TJ_m"是"Ilia”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2020山西大同第一中学高三下月考,*）设m、n是两条不同的直

线,a、0是两个不同的平面，则ail0的一个充分条件是（）

A.mlia,n±p,m±nB.mlla,n±p,mIIn

C.mlia,nlip,mllnD.m±a,n±p,mIIn

3.（2020广东惠州高三上期末,"）平面a过正方体ABCD-AiBiCiDi

的顶点A,aII平面CBiDi,an平面ABCD=m,an平面ABBiAi=n,贝！Jm、

n所成角的正弦值为（）

A.二B.-C.-D.更

2232

4.（2020云南曲靖高三上期末,"）在四面体A-BCD

中,AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4,用平行于AB,CD的平面截此四

面体，得到截面EFGH,则截面EFGH面积的最大值为（）

A.-B.-C.-D.3

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二、填空题

5.（2020陕西西安西北工业大学附属中学高三下月考,"）如图,正方体

ABCD-AiBiCiDi的棱长是a,S是AiBi的中点,P是AiDi的中点，点Q

在正方形DCQDi及其内部运动，若PQII平面SBQ则点Q的轨迹的

长度是.

6.（2020四川内江高二上期末,"）如图所示，在长方体

ABCD-AiBiCiDi中,E是棱CCi上的一个动点，若平面BEDi交棱AAi

于点F,给出下列命题：

①四棱锥Bi-BEDiF的体积为定值；

②对于棱CCi上任意一点E,在棱AD上均有相应的点G,使得CGII平

面EBDi；

③O为底面ABCD的对角线AC和BD的交点，在棱DDi上存在点H,

使OHII平面EBDi；

④存在唯一的点E,使得四边形BEDiF的周长取得最小值.

其中为真命题的是.（填序号）

三、解答题

7.(2020广东广州白云高三下月考,*)如图，在三棱锥B-ACD

o

中,BDJ_平面ACD,且BD=l,BC=AD=2zCD=V3,zADC=30,E.F分

别为AABD'CBD的重心.

(1)求证:人。1平面8££

(2)求四面体B-DEF的体积.

8.(2020山东滕州第一中学高一线上测试*)如图，在四棱柱

ABCD-AiBiCiDi中,M是线段BiDi上的一个动点,E,F分别是BC,

CM的中点.

⑴求证:EFII平面BDDiBi；

(2)在棱CD上是否存在一点G,使得平面GEFII平面BDDiBi?若

存在,求出与的值;若不存在,请说明理由.

9.(2020辽宁抚顺六校协作体高二上期末,")如图，正三棱柱

ABC-AiBiCi的底面边长和侧棱长都为2,D是AC的中点,在线段AiCi

上是否存在一点E,使得平面EBiCll平面AiBD?若存在，请指出点E在

线段AiCi上的位置;若不存在,请说明理由.

10.(2019安徽滁州部分高中高一下期末*)如图,四边形ABCD是平

行四边形,E,F,G分别为线段BC,PB,AD的中点.

⑴证明:EFII平面PAC;

(2)证明:平面PCGII平面AEF;

(3)在线段BD上找一点H,使得FHII平面PCG,并说明理由.

答案全解全析

一、选择题

1.B若l_Lm,m_La,则Illa或lua;若llia,m_l_a，则l_Lm.，T_Lm”是Tlla"

的必要而不充分条件，故选B.

2.D对于选项A、B,若nua,则故A、B不符合；

对于选项C,若anp=l,mllnlll,m,n为a,0外的直线,显然有mila,n邛，故C不符

合；

对于选项D,若则n_La，又n_L0，所以。邛,故D符合.

3.D如图，延长BiAi至A3使AZALBIAL延长DiAi至A为使ABALDIAL连接

AA2AA3,A2A3,AiB,AiD.

易证AA2IIAiBIID1CAA3IIAiDIIBiC.

二平面AA2A3II平面CBIDL即平面AA2A3为平面a.

易得milA2A3,直线AA2即为直线n,所以m、n所成的角即为AA2、A2A3所成

的角.显然有AA2=AA3=A2A3,所以m、n所成的角为60°,其正弦值为亨.故选D.

4.B设截面分别与棱AD、BD、BC、AC交于点E、F、G、H,由直线ABII平面

EFGH,且平面ABCn平面EFGH=GH,平面ABDCI平面EFGH=EF,得

GHllAB,EFllAB,

AGHIIEF,

同理可得EHIIFG,

二四边形EFGH为平行四边形.

,:AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4,

.,.△ACD8BCD,过点A作AM_LCD于M,连接BM,则BM±CD,VAMABM=M,

...CDJ_平面ABM,又ABu平面ABM,...CDJ_AB,.•.EF_LFG,.•.四边形EFGH为

矩形.

设BF:BD=BG:BC=FG：CD=x,0<x<l,则FG=3x,HG=3(l-x),

于是S«!®EFGH=FG-HG=9X(1-X)=-9^X-^+^,0<X<1,

当时,四边形EFGH的面积取得最大值*故选B.

二'填空题

5.答案fa

解析如图所示,在线段DiCi上取点M,使得DiM^DiQ连接PM;在线段CD

上取点N,使得CN=#D,连接MN.设H为DiQ的中点，连接AiH,SH,CH,PN,

则有PMllAiH.AiHllSCi,

APMIlSCi,

PM（J平面SCiB,SCiu平面SCiB,

，PMII平面SCiB,

易得SBIICH,CHIIMN,...MNIISB,同理可得MNII平面SCiB,二

PMClMN=M,PM,PNu平面PMN,

...平面SCiBll平面PMN,又平面PMNCI平面DCCiDi=MN,

当点Q在线段MN上时，有PQll平面SBCi,.•.点Q的轨迹为线段MN.

VMN=CH=Ja2+g）2=ya,

.•.点Q的轨迹的长度是等.

6.答案①③④

解析①/i-BEDiF=%-BEDi+，B「BFDi=2%斑。1・

又三棱锥Bi-BEDi的体积等于三棱锥Di-BBiE的体积，底面BiBE的面积不变，高

DiCi不变，，三棱锥Di-BBiE的体积不变，，四棱锥Bi-BEDiF的体积不变，为定

值，故①正确；

②当点E在点C处时,CG与平面EBDi相交，故②错误；

③由0为底面ABCD对角线AC和BD的交点，得DO^DB,设H为DDi的中点,

则在ADIDB中QHIIDIB,又OHC平面EBDiQiBu平面EBDJ.OHII平面EBDi,

故③正确；

④四边形BEDiF的周长为2（BE+EDi）,则分析BE+EDi即可，将侧面BCQBi沿着

棱CCi展开，使得B在DC延长线上，此时B的位置设为P,则线段DF与CCi的

交点即为四边形BEDiF的周长取得最小值时的唯一点E,故④正确.

故答案为①③④.

三'解答题

7.解析（1）证明:如图，延长BE、BF分别与AD、CD交于点G、H,连接GH.

n

•••E、F分别为AABDFCBD的重心,

，G、H分别为DA,DC的中点，

.••GHIIAC,又GHu平面BEF,AC4平面BEF,，ACII平面BEF.

(2》ACD中，根据余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcoszADC=4+3-6=l,.\

AC=1(负值舍去)，

/.AD2=AC2+CD2,.,.CD±AC.

•••BD_L平面ACD,ACu平面ACD,.\BD±AC,XCDDBD=D,，AC，平面BDC.

易知EFllGHllAC,；.EF_L平面BDC.

EF=|GH=|AC=1,SABDF=|SABDH=|X^=^,

5J3DD4o

VB-DEF=|SABDF-EF=^|.

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8.解析Q)证明:连接BM.：E,F分别是BC,CM的中点,，EFIIBM,又EFC平面

BDDiBi,BMu平面BDDIBL；.EFII平面BDDiBi.

(2)棱CD上存在一点G使得平面GEFII平面BDDiBi,理由如下：

假设在棱CD上存在一点G,使得平面GEFII平面BDDiBi.

•.,平面GEFCI平面ABCD=EG,平面BDDiBiCI平面ABCD=BD,，EGIIBD,

又..1是BC的中点,...G是DC的中点，

此时易证得平面GEFII平面BDDiBi,.•.棱CD上存在一点G,使得平面GEFII平面

BDDiBi,且舟L

9.解析存在.理由如下：

假设存在点E,使得平面EBiCll平面AiBD.

•平面AA1C1CD平面AiBD=AiD,平面AAiCiCCI平面EBiC=EC,/.AiDllEC,

由AiCiIIAC得A正IICD,

四边形AiDCE是平行四边形,...AiE=C