2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编 52立体几何与空间向量第四讲（学生版+解析版）

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题52立体几何与空间向量第四讲

1.[2019年贵州预赛】已知正三棱锥侧面与底面所成二面角的余弦值为J,则此三棱锥的高h与其内切球半径

6

r之比”()

A.5B.6C.7D.8

2.【2018年福建预赛】如图，在正方体48C。一4山©。|中，M、E分别为棱BC、Mi的中点，N为正方形

BiBCG的中心./为平面与平面OBE的交线，则直线/与正方体底面ABC。所成角的大小为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.【2018年福建预赛】如图，在三棱锥中，SA=SB=AB^BC=CA=6,且侧面ASB，底面A8C,则三棱锥S一

ABC外接球的表面积为()

4.【2018年贵州预赛】在空间直角坐标系中，已知0(0,0,0),4(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则

到面OAB、面O8C、面OAC、面ABC的距离相等的点的个数是()

A.1B.4C.5D.无穷多

5.【2018年贵州预赛】若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为苧，则此截面与圆柱底面所成的锐二

面角是（）

1122

A.arcsin-B.arccos-C.arcsin-D.arccos-

3333

6.【2018年湖南预赛】下列四个说法正确的是（）

A.两两相交的三条直线必在同一平面内

B.若四点不共面，则其中任意三点都不共线

C.在空间中，四边相等的四边形是菱形

D.在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形

7.【2018年湖南预赛】已知〃、匕表示两条不同的直线，a,0表示两个不同的平面.下列选项中说法正确的是

（）.

①若a||b,bua,则a||a②若ala,bla,则b||a

③若aJ.a,b_L/?,a||b则a||0④若a||0,aua,bu0,贝ija||£）

A.①②B.③④C.②③D.③

8.【2018年湖南预赛】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且AB//CD,正方体的六

个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为根〃，那么加+〃=

A.8B.9C.10D.11

9.【2018年湖南预赛】如图，L、M、N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系

是（）

A.垂直B.相交不垂直

C.平行D.重合

10.【2018年湖南预赛】如图所示，点S在平面ABC外，SB±AC,SB=AC=2,E、F分别是SC和AB的

C-TD玛

11.【2018年湖南预赛】将半径为3,圆心角为g的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为

A.国B.亘

33

47r

C.-D.2兀

3

12.【2018年湖南预赛】若三棱锥P-ABC中，PAJ_平面ABC,AB1BC,PA=AB=2,庆02四,三棱锥P-ABC

的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为

A.127rB.16TTC.207rD.247r

13.12018年陕西预赛】已知四面体48CD内接于球，且力。是球的直径.若448c和48co都是边长为1的等

边三角形，则四面体ABCO的体积是（）

A.立B・立C.更D.更

612612

14.[2018年陕西预赛】已知四面体ABCD内接于球，且4D是球的直径.若ZL4BC和/BCD都是边长为1的等

边三角形，则四面体力BCD的体积是（）

A.匹B.匹C.亚D.3

612612

15.[2018年陕西预赛】已知四面体4BC0内接于球，且4。是球的直径.若44BC和/BCO都是边长为1的等

边三角形，则四面体力BCD的体积是（）

A.立B・立C.更D.西

612612

16.【2018年贵州预赛】在空间直角坐标系中，已知0（0,0,0）,A（l,0,0）,B（0,1,0）,C（0,0,

1）,则到面OAB、面OBC、面OAC、面ABC的距离相等的点的个数是（）

A.1B.4C.5D.无穷多

17.【2018年贵州预赛】若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为言，则此截面与圆柱底面所成的锐

二面角是（)

AA.arcs.in-1Bn.arccos-iC".arcs.in-2Dc.arccos-2

3333

18.【2018年吉林预赛】三棱锥P-ABC的底面AABC是边长为3的正三角形，已知PA=3,PB=4,

PC-5,则三棱锥P-ABC的体积为()

A.3B.V10C.VT1D.2V3

19.【2018年天津预赛】下面左边的平行四边形ABCD是由6个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可以

得到如右图所示的粽子形状的六面体，在这个六面体中，AB与CD夹角的余弦值是().

5

D.

6

20.[2017年天津预赛】正四棱锥的底面边长为2017,侧棱长为2000,则侧棱与底面所成的角与下面哪个角

的差的绝对值最小().

(A)30°(B)40°(C)50°(D)60°

21.[2017年辽宁预赛】已知长方体的表面积为争所有棱长的总和为24,则长方体的体对角线

与棱所成角的最大值为()

/A\1V2V3/门、瓜

(A)arccos-(B)arccos—(C)arccos—(D)arccos—

22.【2017年陕西预赛】如图，在棱长为1的正方体4BC0-AiBiGDi中,P、Q、R分别是棱48、AD.A①的

中点.以△PQR为底面作一个直三棱柱,使其另一个底面的三个顶点也都在正方体4BCD-的表面上.

则这个直三棱柱的体积为()

(A)|⑻卷9帚①语

23.【2017年黑龙江预赛】一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的(

)

(A)外接球的半径为苧(B)体积为百

(C)表面积为京+V3+1(D)外接球的表面积为等

24.【2017年贵州预赛】已知正四面体ABCZ)的棱长为a(a>3)如图所示，点E、F、G分别在棱

AB.AC,4D匕则满足后尸=96=3,尸6=2的4£7话的个数共有()

(A)l(B)2(C)3(D)4

25.【2017年湖南预赛】已知点P为正三棱柱ABC—4$心上底面△为BiG的中心，作平面BCD1AP,与棱

交于。，若441=2AB=2,则三棱雉D-ABC的体积为()

(A瑶也焉(常①)噂

26.【2016年陕西预赛】如图，在棱长为1的正四面体A8CD中，G为△BCD的重心，M为线段AG的中

点.则三棱锥M-BCD的外接球的表面积为().

A

A/B.|C.亨D-V

27.【2016年浙江预赛】已知正三棱锥S-ABC的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2。若过直线4B的

截面将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（）。

A・萼B.嗜C.fD.^

28.【2016年辽宁预赛】已知正方体A3CO—A4GA的棱长为1，在对角线4。上取点M,在CQ上取

点N,使得线段MN平行于对角面ACGA，则M/V的最小值是（）

A.坐B.1C.V2D.乎

29.【2016年湖南预赛】一个色子由1~6六个数字组成，根据图所示三种状态显示的数字，可推得“？”的数

字为（）.

A.6B.3C.ID.2

30.【2015年浙江预赛】如图1,在正方体4BCD-4B1GD1中，已知M为B位的中点.则二面角M—CD1一4

的余弦值为（）.

图1

31.（2015年天津预赛】在正方体的十二条面对角线和四条体对角线随机地选取两条对角线.则这两条对角

线所在的直线为异面直线的概率等于（）

A.-B.-C.-D.以上结果均不对

302015

32.[2015年四川预赛】已知正三菱锥P-ABC的底面ABC为正三角形，该正三菱锥的外接球的球心O满

足成+OB+OC=0.则二面角A-PB-C的余弦值为（）

A.-B.—C.-D.—

6853

33.（2015年辽宁预赛】在长方体力BCD-aB1C1D1中，AB=AAX=1,AD=2.则异面直线与当劣间的

距离为（）

A.1B,-12C.-D.-3

34.【2015年湖南预赛】半径为R的球的内部装有四个半径均为r的小球.则r可能的最大值为（）

A.gRB.客RC.D.与R

2+V33+V61+^32+V5

35.[2015年黑龙江预赛】某几何体的三视图如题（6）所示，其侧视图是一个边长为1的等边三角形，俯

视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为（）

IXZI△

正祝图费函

第视图

1

(A)1(D)-

8

36.【2015年黑龙江预赛】如图，在四棱锥P-4BCD中，底面力BCD为正方形，边长为a,=a,PA=PC=

四a.若在此四棱锥中放入一个球，则球的的最大半径为（）。

P

A.(V2-l)aB.V2a

C.(1-孝)aD.a

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专题52立体几何与空间向量第四讲

1.[2019年贵州预赛】已知正三棱锥侧面与底面所成二面角的余弦值为，，则此三棱锥的高h与其内切球半

O

径r之比]—（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】过正三棱锥V-ABC的侧棱VC及高VG作截面交AB于M,则内切球O与侧面相切的切点N在VM

上（如图）.

2.【2018年福建预赛】如图，在正方体ABCD-AiBiGOi中，M、E分别为棱BC、8S的中点，N为正方形

B1BCC的中心./为平面4MN与平面。出E的交线，则直线/与正方体底面A8CO所成角的大小为（）

B

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【解析】

如图，由正方体的性质与条件，易得面48CD,面48CD

面ABCD,面。1£_1_面A8CD

/./±®ABCD,/与面48CZ）所成角的大小为90。.选D.

3.【2018年福建预赛】如图，在三棱锥中，SA=SB=AB=BC^CA^6,且侧面ASB_L底面48C,则三棱锥S-

ABC外接球的表面积为（）

c

A.607rB.56兀C.527cD.48兀

【答案】A

【解析】

如图，设。为A3中点，。|为△A8C的外心，。2为△SAB的外心，。为三棱锥S—A8C外接球的球心，球

。的半径为R

R

由SA=SB=A8=BC=CA=6,知△S48、ZiABC是边长为6的正三角形.

：.SDA.AB,CD1.AB,CD=SD=3®0|在C£>上，。2在5。上，且。2£>=0。=b，COi=273.

:侧面ASB_L底面A8C,00」面ABC,

.,.SD±WABC,O1DLO\D,SD//00\.

:.四边形。2。0。为正方形，。01=。2。=75.

/.R=0C=/。1。2+0修2=V3+12=V15.

，三棱锥S—ABC外接球的表面积为4兀/?2=607t.选A.

4.【2018年贵州预赛】在空间直角坐标系中，已知0(0,0,0),4(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则

到面OAB、面OBC、面O4C、面A8C的距离相等的点的个数是()

A.1B.4C.5D.无穷多

【答案】C

【解析】

四面体0ABe的内切球球心以及四个“旁切球”的球心到面OAB.面OBC、面OAC.面ABC的距离相等，

故满足条件的点的个数是5.故答案为：C.

5.【2018年贵州预赛】若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为华，则此截面与圆柱底面所成的锐二

面角是()

1122

A.arcsin-B.arccos-C.arcsin-D.arccos-

3333

【答案】B

【解析】

由题意知，截面椭圆的短轴长26与圆柱底面直径相同，则截面与圆柱底面所成的锐二面角。满足：cos0=

*=其中2。为椭圆的长轴长.

即cos8=],所以0=arccos(故答案为：B.

6.【2018年湖南预赛】下列四个说法正确的是()

A.两两相交的三条直线必在同一平面内

B.若四点不共面，则其中任意三点都不共线

C.在空间中，四边相等的四边形是菱形

D.在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形

【答案】B

【解析】

对于选项A,如果三条直线交于一点，则此时三条直线不一定在同一平面内，故A不对；

对选项B,若四点不共面，则一定不存在三点共线，若有三点共线，则第四点与此线确定一个平面，这样就

会出现四点共面，与已知条件不符合，故B正确；

对于选项C,在空间中四边相等的四边形可能是空间四边形，故C不对；

对于选项D,空间四边形中也存在三个角是直角的情况，故D不对.

故选：B.

7.【2018年湖南预赛】已知八人表示两条不同的直线，a,0表示两个不同的平面.下列选项中说法正确的是

().

①若a||b,bua,则a||a②若a_La,b_La,则bIIa

③若a_La,b_L£,a||b则a||口④若a||/?,aua,bu0,则a||b

A.①②B.③④C.②③D.③

【答案】D

【解析】

①若a||ua,则a||a不一定成立，可能a在a内，故①错；

②若a_La,b_La,则b||a或,bua,故②错；

③若a1a,b1/3,a||b则aII0故③对；

④若a||p,aua,bu夕，则a||b或aHb异面故④错；

故选D.

8.【2018年湖南预赛】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且AB//CD,正方体的六

个面所在的平面与直线CE,所相交的平面个数分别记为机n,那么m+〃=

A.8B.9C.10D.11

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意直线CE在平面a上与底面正方形四条边都相交故机=4,直线所与正方体的左右两个

侧面平行，与正方体的前后两个侧面、上下两个底面相交，故篦=4,所以加+〃=8.

考点：直线与平面的位置关系.

9.【2018年湖南预赛】如图，L、M、N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系

是（）

A.垂直B.相交不垂直

C.平行D.重合

【答案】C

【解析】

分别取另三条棱的中点A,B,C,将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL,因PQIIAL.ALc平面LMN,

PQC平面LMN,故PQII平面LMN,同理，由PRIICN,可得PR||平面LMN,

因PQ,PR为平面PQR内两相交直线，故平面PQR『平面LMN.

故选C.

10.【2018年湖南预赛】如图所示，点S在平面ABC外，SB±AC,SB=AC=2,E、F分别是SC和AB的

中点，则EF的长是（）

A.1B.V2

C.在D.i

22

【答案】B

【解析】

取BC的中点D,连接ED与FD：E、F分别是SC和AB的中点，点D为BC的中点ED〃SB,FD〃AC,

而SB1AC,SB=AC=2则三角形EDF为等腰直角三角形，则ED=FD=1即EF=V2.

故选B.

II.【2018年湖南预赛】将半径为3,圆心角为g的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为

A.叵B.叵

33

C.-D.2兀

3

【答案】A

【解析】

设圆锥的底面半径为r,高为h,则2TTT=卑x3;r=1,h=V32-1=2V2,

设内切球的半径为R.则一(一=--,./?=―,V=-HR3=-TT(—)3=—7T,选A.

2y/2-R3233、2，3

12.【2018年湖南预赛】若三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,AB_LBC,PA=AB=2,AC=2V^,三棱锥P-ABC

的四个顶点都在球0的球面上，则球O的表面积为

A.12兀B.167TC.207TD.247T

【答案】A

【解析】

由题意，PAL平面ABC,PA=AB=2,AC=2VI...平面ABC是直角三角形，补形底面为长方形....球心到

圆心的距离为1,底面长方形的外接圆r=夜,...RZI+l,即R=B,.♦.球0的表面积S=4nR2=127r.

故选：A.

13.(2018年陕西预赛】已知四面体4BCD内接于球，且ZD是球的直径.若2MBe和/BCD都是边长为1的等

边三角形，则四面体力BCD的体积是()

A.叱B.江c.D.更

612612

【答案】B

【解析】

四面体以等腰直角448D为底，高为号，故体积为=

14.【2018年陕西预赛】已知四面体4BCD内接于球，且4D是球的直径.若2MBe和Z1BCO都是边长为1的等

边三角形，则四面体2BCD的体积是()

A.立B.立C.更D.更

612612

【答案】B

【解析】

四面体以等腰直角/L4BD为底，高为当，故体积为gx号x；奈

15.(2018年陕西预赛】已知四面体4BC0内接于球，且力。是球的直径.若4aBe和/BCD都是边长为1的等

边三角形，则四面体4BCD的体积是()

A.立B.立C.在D.出

612612

【答案】B

【解析】

四面体以等腰直角2L4BC为底，高为立，故体积为三x立x1=叱.

232212

16.【2018年贵州预赛】在空间直角坐标系中，已知。(0,0,0),A(l,0,0),8(0,1,0),C(0,0,

1),则到面OAB、面OBC、面OAC、面ABC的距离相等的点的个数是()

A.1B.4C.5D.无穷多

【答案】C

【解析】

四面体048c的内切球球心以及四个“旁切球”的球心到面OAB、面OBC、面OAC,面ABC的距离相等，

故满足条件的点的个数是5.故答案为：C.

17.【2018年贵州预赛】若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为乎，则此截面与圆柱底面所成的锐

二面角是()

1122

A.arcsin-B.arccos-C.arcsin-D.arccos-

3333

【答案】B

【解析】

由题意知，截面椭圆的短轴长2b与圆柱底面直径相同，则截面与圆柱底面所成的锐二面角，满足：

cosO=*=(其中2a为椭圆的长轴长.

由已知，=言=合竽席一0=

即cos®=：,所以0=arccosg.故答案为：B.

18.【2018年吉林预赛】三棱锥P-ABC的底面ZkABC是边长为3的正三角形，已知PA=3,PB=4,PC=5,

则三棱锥P-ABC的体积为（）

A.3B.V10C.VTTD.273

【答案】C

【解析】

=XX

^P-ABC~^A-PBC|Q3X4^XJ??-（I）=VTl.

故答案为：c

19.【2018年天津预赛】下面左边的平行四边形ABCD是由6个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可以

得到如右图所示的粽子形状的六面体，在这个六面体中，AB与CD夹角的余弦值是（）.

A.0B.1C.1D.!

【答案】C

【解析】

如图所示，取中间的虚线EF,将平行四边形分为两部分，各由三个小正三角形构成.左端的三个小正三角

形折起来（B和F重合），恰好是一个无底的正三棱锥，AB、EF是它的两条底边；同理，右端的三个小正

三角形折起来（D和E重合）构成粽子的另一半，CD、EF也是边线.因此，折起来后，AB、CD是正三角

形的两条边，它们夹角的余弦值为去

故答案为：C

D

B

20.[2017年天津预赛】正四棱锥的底面边长为2017,侧棱长为2000,则侧棱与底面所成的角与下面哪个角

的差的绝对值最小（).

(A)30°(B)40°(C)50°(D)60°

【答案】B

2017

【解析】提示：注意锥顶在底面的射影是底面的中心，易知侧棱与底面所成的角的余弦值为烹，它约等于

乎，但比当略大.因此该角度略小于45°,故选B.

21.(2017年辽宁预赛】已知长方体的表面积为手所有棱长的总和为24,则长方体的体对角线

与棱所成角的最大值为()

/A\1V2\/3/仁、V6

(A)arccos-(B)arccos-y(C)arccos(D)arccos-y

【答案】D

【解析】提示:设过同一顶点的棱长分别为a,b,c(a>b>c).

a+b=6—c

朋『(ab+be+ca)=—

{,z、j45.

Lab-c£+6c=—

4(a+b+c)=244

故a、b为方程42-(6-C)X+C2-6c+^=0的两根.

于悬4=(6—c)2—4(/—6c+—)》0,

解得l<c<3.

由于c+b+c)=2,故1<c<2.

又M+力2+/=(Q+力+c)2-2(ab+be+ca)=y,

则cos。=:=­c,HP—<cos0<—,arccos—<S<arccos—.

v,a2J+d2+c299999

22.【2017年陕西预赛】如图，在棱长为1的正方体ABCD-4遇£。1中,P、Q、R分别是棱AB、AD.441的

中点.以△PQR为底面作一个直三棱柱,使其另一个底面的三个顶点也都在正方体4BC0-4B1GD1的表面上.

则这个直三棱柱的体积为()

闻|喈①珞

【答案】c

【解析】提示:易知，直三棱柱另一个底面的三个顶点P1，Q1、R1分别是正方形8。681，。。。16,418住1。1的

中心，则直三棱柱PQR-PR%的侧棱PA=\ACr=y.

又SAPQR—f(')=f,所以/QR-P1Q1&=S^PQR，PP1=/

23.【2017年黑龙江预赛】一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的(

)

(A)外接球的半径为半(B)体积为百

(C)表面积为述+V3+1(D)外接球的表面积为等

【答案】D

【解析】提示：几何体是有一个侧面和底面垂直的三棱锥,

体积是：x|x2x1xV3=/,

表面积是(x2xV3+1x2xl+2x|xV2xj|=V7+V3+1,

外接球半径是竽，外接球表面积是等.

24.【2017年贵州预赛】已知正四面体4BC0的棱长为a(a>3)如图所示，点E、F、G分别在棱

AB.AC,力。上.贝IJ满足EF=EG=3,FG=2的4EFG的个数共有()

(A)l(B)2(C)3(D)4

A

【答案】C

【解析】提示:设AE=x,AF=y,AG=z,则：

x2+y2-xy=9x=2xz=-

22

{y+z-yz=9=>{y=1+V6^{?213

z2+x2-zx=4z=2'+z-2

由于圆工2+z2=学与函数2=三的图象在第一象限内有两个交点，故原方程组共有三组解，

42x

因此满足条件的^EFG的个数为3.

故选C.

25.[2017年湖南预赛】已知点P为正三棱柱ABC-A/iG上底面△&B1G的中心，作平面BCD14P,与棱

4公交于。，若=2AB=2,则三棱雉。-ABC的体积为()

(A度(B瑁(C片(D片

【答案】4

【解析】提示:如图,设平面A&P与边BC,BiG分别相交于点

G

在矩形中=2,AE=&邑=苧MJ=y.

由笨=弟/。=需V13

4

AD=-JED2-AE2=J（穹-倒/

所以％TBC=[SA4BC•40=3X3X1X苧X：=奈故选4

26.【2016年陕西预赛】如图，在棱长为1的正四面体ABCC中，G为ABC。的重心，M为线段AG的中点.

则三棱锥M-BCD的外接球的表面积为（）.

A

A.乃B.列C.也D.随

248

【答案】B

【解析】

因为G为正△8CD的重心，所以，AG_L平面BCD=AG_LBG.

在放ZSAGB中，AB^\,BG=-x—=—

323

=>AG=\/AB2-BG2=—

3

=MG=—AG=——.

26

在R/MGB中,

MBZMG'+BG2=—

2

0MC=MB巫.

2

则MB2+MC2=12=BC2=A/B_LMC类似地_LM/）,MDLMB.

于是,三棱锥M-8C。的外接球的直径等于以“8、MC、M。为棱的正方体的体对角线长.

设三棱锥M-BCD的外接球半径为R.

则2Z?=V3A/B=y.

故外接球的表面积S=4*号.选B.

27.【2016年浙江预赛】已知正三棱锥S-ABC的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2。若过直线4B的

截面将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（）。

A.运B.途C.虎D.源

10151515

【答案】D

【解析】

设截面与棱SC交于点D.易知，。为棱SC的中点.取4B的中点E,联结EC、DE、SE.则NDEC为截面与底面所成

二面角的平面角，设为仇

在ASEC中，SE=？，EC=—,SC=2.则中线DE=当

在Z1OEC中，应用余弦定理得cos。=答.

28.【2016年辽宁预赛】已知正方体A5CD-A4GA的棱长为1，在对角线4。上取点M,在C"上取

点N,使得线段MN平行于对角面AC£A，则MN的最小值是（）

A.—B.1C.V2D.—

32

【答案】A

【解析】作A//%，于点Mi,作NN'LCD干点、N[,易证M|N|//AC,设。加|=。乂=%，则

2t1、21

MMi=x,NNt=l-x,在直角梯形易得MN?=（及—+（1—2xp=6x--+-,当

\3J3

故选A.

【方法点睛】本题主要考查正方体的性质、线面平行的判定与性质以及求最值问题，属于难题.求最值问题

往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单

调性法求解，若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且

一定要先确定其定义域.

29.【2016年湖南预赛】一个色子由1~6六个数字组成，根据图所示三种状态显示的数字，可推得“？”的数

字为（）.

Z5VIXT/1/T71

A.6B.3C.ID.2

【答案】C

【解析】

试题分析：由图中的前两个状态可知，"？”处的数字可能为什1或6,进一步看状态一可知，不可能为1.由

图中的前两个状态可知，1的周围为2,3,4,5；则“？”处的数字可能为什1或6；从状态一可知，不可

能为1;

考点：空间位置关系

30.【2015年浙江预赛】如图1,在正方体ABCD-AiBiGDi中，已知M为B当的中点.则二面角M-CD1一力

的余弦值为（）.

【答案】c

【解析】

以D为坐标原点，DA.DC、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则

0(0,0,0),4(1,0,0),C(0,l,0),0式0,0,1),M(1,1,0,

则平面4C£>i的法向量?ii=(1,1,1).平面MCDi的法向量n2=(-1,2,2).

故cos(7ii，zi2>=y>即二面角M-CDr-A的余弦值为当

31.[2015年天津预赛】在正方体的十二条面对角线和四条体对角线随机地选取两条对角线.则这两条对角

线所在的直线为异面直线的概率等于()

A.B.C.D.以上结果均不对

【答案】B

【解析】

在正方体的十二条面对角线和四条体对角线中选取两条对角线的取法数为

CM=誓=120.

当两条对角线所在的直线为异面直线时，这两条对角线至少有一条为面对角线.

任取一条面对角线，在其余十一条面对角线中，有五条面对角线与该对角线异面.又因为是成对计算数目，

所以，这种情况下共有詈=30对异面直线.

任取一条面对角线，在四条体对角线中，有两条体对角线与该对角线异面.于是，这种情况下共有12x2=

24对异面宜线.

因此，随机选取的两条对角线所在的直线为异面直线的概率为&'=