新教材 人教B版高中数学必修第四册 第十章 复数 教学案

第十章复数

10.1复数及其几何意义.................................................-1-

10.1.1复数的概念.................................................-1-

10.1.2复数的几何意义.............................................-9-

10.2复数的运算.....................................................-18-

10.2.1复数的加法与减法...........................................-18-

10.2.2复数的乘法与除法...........................................-26-

*10.3复数的三角形式及其运算..........................................-35-

10.1复数及其几何意义

10.1.1复数的概念

学习目标核心素养

1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要

性.（重点）

2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、

通过复数的概念学习，提升

纯虚数等，明确复数的分类.（重点、难点）

数学抽象素养.

3.理解复数的代数表示法.（重点）

4.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件

解决有关问题.（易混点）

情境趣味导学情境导学。探新知预习素养感知

畲情境引入"助学助教

第一次认真讨论复数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他

是1545年开始讨论复数的，当时复数也被称为“诡辨量”.几乎过了100年笛卡

尔才给出这种“虚幻之数”取了个名字——虚数.又过了140年，欧拉还是说这

种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary,即虚幻的缩写）来表示它的单

位.后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他仍感到这种数虚无缥缈.1830年

高斯详细论述了用直角坐标系上复平面上的点表示复数ci+bi,使复数有了立足之

地，人们才最终承认了复数.到今天复数已经成为现代数学科技中普遍运用的数

量工具之一.如复数在流体力学、热力学、机翼理论等领域都有广泛应用，它已

渗透到代数学、数论、微分方程等数学分支，随着科学和技术的进步，复数理论

已越来越显出它的重栗性，在证明机翼上升力的基本定理中起了重要作用，并在

解决堤坝渗水问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依

据.

思考：我们如何正确理解虚数单位i?

新知初探bl

1.复数的概念及分类

(1)数系的扩充及对应的集合符号表示

自然数I-廛前一|有理数I-阿薮厦薮

N---->Z--->Q------>R------>C

［拓展］

数系扩充时，一般要遵循以下原则：

(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；

(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定

律)依然适用；

(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变；

(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的问题.

(2)复数的有关概念

实部虚部

z=a+bi(atbE.R)

复数的定义

把形如Q+历的数叫

做复数(。,6都是我,

i是虚数单位)

虚多承位

规定12=二1

(3)复数的分类

f实数伍=0)

①复数a+0i(a,£>GR)<'纯虚数(。=0)

虚数(5W0)”

非纯虚数(aWO)

2.两个复数相等的充要条件

在复数集C={a+bi|a,6WR}中，任取两个复数a+历,c+di(a,b,c,d£R),

规定a-\-bi与c+di相等的充要条件是a=c且。=d.

思考：两个实数可以比较大小，复数集中不全是实数的两个数能否比较大小？

为什么？

［提示］不能比较大小，如i和0.

若i>0,则

即一1>0,不成立.

若iVO,则i-i>O-i,

即一1>0,不成立.

初I试身康G

1.思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)

⑴若a,6为实数，则z=a+/为虚数.()

(2)若a为实数，则z=a一定不是虚数.()

(3)历是纯虚数.()

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.

()

［答案］(1)X(2)V(3)X(4)V

2.若复数2—历屹GR)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()

22

A.-2B.C.—D.2

D［复数2一历的实部为2,虚部为一。，由题意知2=一(一。)，：.b=2.］

3.如果(x+y)i=x—1,则实数x,y的值分别为.

1,-1[V(x+y)i=x-l,

x+y=O,

**.x=l,v=­1.]

x-l=O,

4.已知a是实数,i是虚数单位，若z=a2—l+(a+l)i是纯虚数，则a=

1「.,z=/—l+(q+l)i是纯虚数,

a2—1=0,

解得a=L]

4+IWO,

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素养形成

、类型1复数的概念

【例1】(1)给出下列三个命题：①若zdC,则z220；②2i—1的虚部是2i；

③2i的实部是0.其中真命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

(2)(一题两空)已知复数z=〃一(2—外的实部和虚部分别是2和3,则实数a,

万的值分别是。=,b=.

(3)下列命题正确的是(填序号).

①若x,y^C,则x+yi=l+2i的充要条件是x=l,y=2；

②若实数。与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

③实数集的补集是虚数集.

(1)B(2)+725(3)③[(1)对于①，当z©R时，z2N0成立，否则不成立,

如2="Z2=—1<0,所以①为假命题；

对于②，21-1=-1+21,其虚部为2,不是2i,所以②为假命题；

对于③，2i=0+2i,其实部是0,所以③为真命题.

(2)由题意，得片=2,—(2—0)=3,所以。=力尼，b=5.

(3)①由于x,y都是复数，故x+yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数

相等的充要条件，故①是假命题.

②当。=0时，0=0为实数，故②为假命题.

③由复数集的分类知，③正确，是真命题.]

厂....••规W<75法......--'

判断与复数有关的命题是否正确的方法

（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题

型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.

（2）化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为历的形式,

更要注意这里6均为实数时，才能确定复数的实、虚部.

［跟进训练］

1.对以下命题：

①l+i2=0；

②若a,bWR,且a>。，则a+i>"+i；

③若好十V=。，则》=丁=0；

④两个虚数不能比较大小.

其中，正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

B［对于①，因为i2=—l,所以l+i2=0.故①正确.

对于②，两个虚数不能比较大小，故②错.

对于③，当x=l,y=i时/+y2=0成立，故③错.④正确.］

卜类型2复数的分类

【例2】（1）复数z=/—Z；2+（a+|a|）i（a,Z，©R）为纯虚数的充要条件是（）

A.\a\=\b\B.a<0且a=—6

C.a>0且aWZ?D.<7>0且。=±6

（2）已知机©R,复数+i加2+2二-3）i,当机为何值时，

①z为实数？②z为虚数？③z为纯虚数？

［思路探究］依据复数的分类列出方程（不等式）组求解.

a2—Z72=0,

⑴D［要使复数z为纯虚数，贝M,：.a>0,a=±6.故选D.］

a+\a\^O,

⑵［解］①要使Z为实数，需满足加2+2加一3=0,且粤早有意义，即机

—1W0,解得加=—3.

②栗使z为虚数，需满足加2+2机一3W0,且皿早有意义，即加一1W0,

m—1

解得用W1且加W—3.

③要使Z为纯虚数，需满足见空学=0(mW1),且加2+2加一3W0,解得加=0

或m=-2.

［母题探究］

若把本例⑴中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？

［解］复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,

即|a|=—a,所以aWO.

厂.......规律c方法........................

含参数的复数问题解题技巧

(1)判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先，参

数的取值要保证复数有意义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充

要条件求解.

(2)对于复数2=。+历(a,6©R),既要从整体的角度去认识它，把复数z看成

一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.

(3)形如历的数不一定是纯虚数，只有限定条件少©R且人W0时，形如历的

数才是纯虚数.

复数相等的充要条

件

［探究问题］

1.a=0是复数z=a+历为纯虚数的充分条件吗？

［提示］因为当a=0且Z?WO时，z=a+历才是纯虚数，所以a=0是复数z

=a-\-bi为纯虚数的必要不充分条件.

2.3+2i>3+i正确吗？

［提示］不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小.

【例3］⑴若3+y)+yi=(x+l)i,求实数x,y的值；

(2)关于%的方程3X2—p;-1=(10—%—2x2)i有实根，求实数a的值.

［思路探究］根据复数相等的充要条件求解.

［解］(1)由复数相等的充要条件，

J=A'+1,

⑵设方程的实根为x=m,

则原方程可变为3m2—^m—1=(10—m—2m2)i,

,a

3m一一1=0,

所以*

10—m-2m2=0,

解得

所以实数a的值为11或一行"•

...••规^0^法・.....

复数相等问题的解题技巧

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方

程组求解.

(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供

了条件，同时这也是复数问题实数化的体现.

［跟进训练］

2.已知f+yZ—G+a—y—ZliuO,求实数x,y的值.

A^+y2—6=0,①

［解］由复数相等的条件得方程组＜

x—y—2=0,②

由②得x=y+2,代入①得y2+2y—1=0.

解得yi=_］+啦，竺=一］一位.

所以xi=yi+2=l+,\/2,X2=y2~\~2=1~y[2.

x=1+隹X=1一隹

即＜或<

=—1+^2=—1—^/2.

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

心必备素养二

知识：

1.区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要

把复数与实数加以区别.对于纯虚数历("WO,>©R)不要只记形式，要注意6W0.

2.应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形

式，即分离实部与虚部，然后列出方程(组)求解.

3.若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，

则它们必是实数.

方法：

确定不同数集间的包含关系时，可借助维恩图进行数形结合.

厂^^以致用G

1.下列命题中是假命题的是()

A.自然数集是非负整数集

B.实数集与复数集的交集为实数集

C.实数集与虚数集的交集是{0}

D.纯虚数集与实数集的交集为空集

C[复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与

虚数集没有公共元素，C是假命题.]

2.设x©R,i是虚数单位，贝U“x=2”是“复数z=(f—4)+(x+2)i为纯虚

数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

元2—4=0

C[若复数Z=(f—4)+(x+2)i(xGR)为纯虚数，贝M'解得x=

+2W0,

2.，“x=2”是“z是纯虚数”的充要条件.故选C.]

3.下列命题：

①若a©R,则(a+l)i是纯虚数；

②若(%2—l)+(x2+3x+2)i(x©R)是纯虚数，则x=±l；

③两个复数不能比较大小.

其中假命题的序号是.

①②③［当a=-1时，(<?+l)i=O,故①错误；若(x2—l)+(/+3x+2)i是纯

%2—1=0,

虚数，贝M〜,即x=i,故②错；两个复数当它们都是实数时，是可

R+3x+2W0,

以比较大小的，③中忽视了这一特殊情况，故③错.］

4.若复数z=(m+1)+(——9)i<0,则实数m=.

m2—9=0,

-3[Vz<0,A1m—3.]

m-\-1<0,

5.实数机分别取什么数值时，复数z=(〃/2+5机+6)+(〃，一2机一•15)i,

(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？(4)是0?

［解］由/+5m+6=0得，机=—2或加=-3,由机2—2机—15=0得m=5

或m=—3.

(1)当机2—2加—15=0时，复数z为实数，.•.m=5或机=-3.

(2)当加2—2机一15W0时，复数z为虚数，且机3.

nr一2m一15W0,

⑶当,,时，复数z是纯虚数，：.m=-2.

mz+5m+6=0

m2-2m-15=0,

⑷当^+5m+6=。时,复数z是°，"=T

10.1.2复数的几何意义

学习目标核心素养

1.了解复平面、实轴、虚轴、共辗复数等通过复数的几何意义的学习，提升

概念.(易混点)直观想象、逻辑推理素养.

2.掌握复数的几何意义，并能适当应

用.(重点'易混点)

3.掌握复数模的定义及求模公式.(重

点)

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畲情境引入，助学助教

我们知道，实数与数轴上的点—对应，因此，实数可用数轴上的点来表示，

那么复数是否也能用点来表示呢？

思考：(1)复数相等的充要条件表明，任何一个复数a+bi(a,6©R)都可由一

个有序实数对(。，切唯一确定，而有序实数对(。，0)与平面直角坐标系中的点是一

一对应的，那么，我们怎样用平面内的点来表示复数呢？

(2)我们知道平面直角坐标系中的点A与以原点。为起点、A为终点的向量次

是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？

广^新知初探bl

1.复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.

在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，x轴称为实轴,y轴上的点除原点

外，对应的都是纯虚数，因此称y轴为虚轴.

无轴的单位是1,y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复

数0.

2.复数的几何意义

平面直角坐标系中的点Z(a,勿唯一确定一个以原点。为始点，Z为终点的向

量成则

(1)复数z=。+历<一一对应>复平面内的点Z(a,

(2)复数z=a+历<对应,平面向量放.

3.复数的模、共聊复数

(1)复数的模

设近=a+历(a,b@R),则向量旅=(a,力的长度称为复数z=。+历的模(或

绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|=d西层.

(2)共胡复数

①如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共辗

复数.复数z的共辗复数用，表示.

②在复平面内，表示两个共辗复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个

复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共辗复数.

［拓展］

在复平面内，共扼复数表示的两个点关于实轴对称.

m试身至「

1.思考辨析(正确的打“♦”，错误的打“X”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()

(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()

(3)复数的模一定是正实数.()

［答案］(1)V(2)X(3)X

2.复数z=-1—2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

C［z=-1—2i对应点Z(—1,—2),位于第三象限.］

3.已知复数z=(m—3)+(/n—l)i的模等于2,则实数机的值为()

A.1或3B.1C.3D.2

A［依题意可得4(7〃-3)2+(m一1)2=2,解得"2=1或7"=3.］

4.若复数zi=3+ai,Z2=6+4i(a,Z?©R),且zi与Z2互为共辗复数，则z=a

+bi的模为.

a=-4,

5[*.*zi=3+tzi,Z2=〃+4i互为共机复数，

[b=3,

；.z=-4+3i,

•••M=A/(-42)+32=5.]

疑难问题解惑合作探究。释疑睚学科素养形成

、券型1复数与复平面内点的关系

【例1】(1)复数z=—l+2i所对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

(2)复数,=1+731和z=1—小i在复平面内的对应点关于()

A.实轴对称

B.一、三象限的角平分线对称

C.虚轴对称

D.二、四象限的角平分线对称

(3)已知z=(m+3)+(/n—l)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数机的取

值范围是()

A.(—3,1)B.(-1,3)

C.(1,+8)D.(—8,—3)

(1)B(2)A(3)A[(1)由复数的几何意义知z=—l+2i对应复平面中的点为

(-1,2),而(一1,2)是第二象限中的点，故选B.

(2)复数2=l+/i在复平面内的对应点为Zi(l,小).

复数z=l—/i在复平面内的对应点为Z2(l,一小).

点Zi与Z2关于实轴对称，故选A.

(3)z=(m+3)+(m—l)i对应点的坐标为(m+3,m~l),该点在第四象限，所

加+3>0,

以S解得一3VmVl.故选A.]

.....规^0^法・.....

解答复数与复平面内点的关系问题的一般思路

(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标.

⑵根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系.

［跟进训练］

1.在复平面内，若复数z=(m2—m—2)+(m2—3m+2)i对应点(1)在虚轴上；

(2)在第二象限；(3)在直线y=x上.

分别求实数机的取值范围.

［解］复数z=(m2—m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m—2,虚部为m2—

3m+2.

(1)由题意得病一机一2=0.解得m=2或m=—1.

m2—m—2V0,f—1<m<2,

(2)由题意得19,・•・丁

“2—3机+2>0,［加>2或加V1,

—11.

(3)由已知得m2—m-2=m2—3m+2./.m=2.

综上所述，(1)当加=2或加=—1时，复数z对应的点在虚轴上；

(2)当一IV加VI时，复数z对应的点在第二象限；

(3)当m=2时，复数z对应的点在直线y=x上.

、类型2复_数__的__几__何__意__义_______________________

【例2】在复平面上，复数i,l,4+2i的对应的点分别是A,B,C,求平行

四边形ABCD的D点所对应的复数.

［思路探究］思路一写出A,B,C的坐标一设出的坐标(x,y)

f由AC,的中点重合列方程组一解方程组得x,y一得。对应的复数

利用=+

思路二：写出的坐标一

记，求防的坐标

［解］法一：由已知得A(0,l),3(1,0),C(4,2),

则AC的中点E(2,I),

由平行四边形的性质知E也是3。的中点，

设D(x,y),

1

~17=2,fx=3,

贝1K...<

v+O3［y=3.

、2=「

即0(3,3),

：.D点对应复数为3+3i.

法二：由已知：OA=(0,1),加=(1,0),求=(4,2),

.,.就=(-1,1),反?=(3,2),

耳力=就+就=(2,3),

，应)=加+方力=(3,3),

即点。对应复数为3+3i.

厂........规法............................

复数几何意义包含的两种情况

(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这

一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.

(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这

一点，可把复数问题转化为向量问题.

［跟进训练］

2.(1)在复平面内，复数6+5i,—2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段

A3的中点，则点C对应的复数是()

A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i

(2)设。为原点，向量次，彷对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量或

对应的复数为()

A.-1+iB.1-iC.-5-5iD.5+5i

(1)C(2)D[⑴由题意知A(6,5),3(—2,3),，C(2,4),.•.点C对应的复数为

2+4i,故选C.

(2)由题意知，次=(2,3),仍=(—3,-2),

.•.就=温一仍=(5,5),

对应的复数为5+5i,故选D.］

'券型3复数的模

［探究问题］

1.复平面内的虚轴的单位长度是1,还是i?

［提示］复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i.

2.若复数(a+l)+(a—l)i(aCR)在复平面内对应的点尸在第四象限，贝Ua满

足什么条件？

\a'\~1>0,

［提示］〃满足J1…即—IVQVI.

a~K0,

【例3】(I)已知复数z的实部为I,且|z|=2,则复数z的虚部是()

A.~y［3B.小iC.±V3iD.±^3

(2)求复数zi=6+8i及Z2=—9+i的模，并比较它们模的大小.

［思路探究］(I)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解.

(2)用求模的公式直接计算.

(l)D［设复数z的虚部为。，V|z|=2,实部为I,：.l+b2=4,：.b=^^3,

选D.］

(2)［解］因为zi=6+8i,Z2=-9+i,

所以|z11=-^62+82=10,

|z2|=^/(-9)2+l2=V82-

因为10〉病，

所以|Z1|>|Z2|.

厂......规律G方法......................

复数的模的计算问题

(I)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行

计算.

(2)两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.

［跟进训练］

3.⑴已知复数Z满足|z|2—2|Z|—3=0,则复数Z对应点的集合构成的图形是

()

A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆

(2)已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数。的取值范围.

(1)A［由题意可知(0一3)(|z|+l)=0,

即|z|=3或=—

:IzlNO,.,•一=-1应舍去,故应选A.］

(2)［解］,.•z=3+ai(aWR),\z\=^32+a2,

由已知得小彳了<4,

.*.<22<7,

:.aG(■-木,巾).

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

心必备素养二

知识：

1.复数的几何意义

⑴复数2=a+历(a，6GR)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,历)；

(2)复数z=a+bi(a,匕©R)的对应向量放是以原点。为起点的，否则就谈不

上一一对应，因为复平面上与我目等的向量有无数个.

2.复数的模

⑴复数2=。+历(a，6GR)的模|z|=W^PP.

(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离.

(3)互为共辗复数的两个复数的模相等且在复平面内对应的点关于实轴对称.

方法：

如果Z是复平面内表示复数z=。+历(a,6GR)的点，则

(1)当。＞0,人＞0时，点Z位于第一象限；

当aVO,b＞0时，点Z位于第二象限；

当。＜0,6＜0时，点Z位于第三象限；

当。＞0,6＜0时，点Z位于第四象限.

(2)当。=0时，点Z在虚轴上；

当5=0时，点Z在实轴上；

当。=6=0时，点Z为原点.

(3)当6＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；

当。＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内.

(4)当。＞0时，点Z位于虚轴右边的半平面内；

当。＜0时，点Z位于虚轴左边的半平面内.

厂^棠以致用G

1.已知a,那么在复平面内对应于复数a—历，一。一历的两个点的位

置关系是()

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.关于原点对称D.关于直线y=x对称

B[在复平面内对应于复数。一历，一。一历的两个点为(a,—0)和(一a,~b)

关于y轴对称.]

2.在复平面内，复数z=l—i对应的点的坐标为()

A.(1,i)B.(1,-i)C.(1,1)D.(1,-1)

D[复数z=l—i的实部为1,虚部为一1,故其对应的坐标为(1,-1).]

3.(一题两空)已知复数z=3+2i,则，=；

1-1=.

3—2iV13[Vz=3+2i,.*.7=3-2i,|z|=^32+22=V13.]

4.已知复数zi=a+2i,Z2=—2+i,如果|zi|＜|z2|,那么实数a的取值范围是

(-1,1)[团=亚+4,|z21r(—2)2+P=小,

又因为|zi|V|z2|,所以"片+4〈小,解得一IVaVL]

5.实数x取什么值时，复平面内表示复数z=x2+x—6+(x2—2x—15)i的点Z：

⑴位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x—厂3=0上.

［解］因为x是实数，所以f+x—6,/—2x—15也是实数.

W+x—6<0,

(1)当实数x满足1,即一3VxV2时，点Z位于第三象限.

'•X—2%—15<0,

―+工一6>0,

(2)当实数无满足,

［X2-2X-15<0,

即2VxV5时，点Z位于第四象限.

(3)当实数x满足(f+x—6)—(f—2x—15)—3=0,

即3.x+6=0,x=-2时，

点Z位于直线x~y—3=0上.

10.2复数的运算

10.2.1复数的加法与减法

学习目标核心素养

1.掌握复数的加、减法运算法则，能熟练

地进行复数的加、减运算.(重点)

通过复数的加法与减法的学习，

2.理解复数加、减法运算的几何意义，

提升直观想象、数学运算素养.

能够利用“数形结合”的思想解题.(难

点、易混点)

情境趣味导学情境导学。探新知预习素养感知

畲情境引入•助学助教

我们知道，任意两个实数都可以相加、减，实数的加法运算还满足交换律与

结合律.

思考：复数中的加法应如何规定，也能满足类似于实数加法的交换律与结合

律？

,新知初探二I

1.复数代数形式的加、减法

⑴运算法则

①设zi=a+Oi,Z2=c+di(a,b,c,dGR),

贝!J21+22=(。+。)+(6+<7)1,ZLZ2=(。-c)+>-<7)i.

②两个共辗复数的和一定是实数.

(2)加法运算律

设Zl,Z2,Z3GC,有①Z］+Z2=Z2+Z］,

②(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).

思考：如何正确理解复数代数形式的加法运算律的合理性？

［提示］可以从以下三个方面理解其合理性：

(1)当6=0,d=0时，与实数加法法则一致；

⑵验证实数加法运算的交换律、结合律，在复数集C中仍然成立;

(3)符合向量加法的平行四边形法则.

2.复数加、减法的几何意义

(1)若复数Zl,Z2对应的向量分别为无1,应2.

y

复数加法复数Z1+Z2是以应1,应2为邻边的平行四边形的

的几何意义对角线透所对应的复数0

复数减法的复数Z1—Z2是从向量应2的终点指向向量厉1的终}

几何意义点的向量及1所对应的复数

X

(2)I|ziI—|Z2|IW|zi+Z2|W|ziI+㈤;

||zi|一|Z2||W|zi-Z2\W|zi|+|Z2|.

naM试身手g

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“x”)

(1)复数与向量一一对应.()

⑵复数与复数相加减后结果只能是实数.()

⑶因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.()

［答案］(l)x(2)X(3)x

2.在平行四边形A3CD中，对角线AC与3。相交于点。，若向量次，彷对

应的复数分别是3+i,-l+3i,则E对应的复数是（）

A.2+4iB.—2+4iC.—4+2iD.4—2i

D［依题意有而=击=而一而，而(3+i)-(—l+3i)=4—2i,即茂对应的复数

为4-2i.故选D.］

3.已知向量。21对应的复数为2—3i,向量。，2对应的复数为3—4i,则向

量虚2对应的复数为.

1-i［存=。完一0Z=(3—4i)—(2—3i)=l—i.］

4.已知2i=3+4i,Z2=4—3i,则(zi+z2)—(zi+z2)=.

2i［zi+z2=3+4i+4—3i=7+i,

7i+72=3-4i+4+3i=7-i,

.,.(zi+z2)—(zi+z2)=7+i—(7—i)=2i.］

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素养形成

寸型L复数的加减法运算

［例1］(1)(1++(2-i)~(1_10=_

(2)已知复数z满足z+1—3i=5—2i,求z.

(3)已知复数z满足|z|+z=l+3i,求z.

⑴1+i心+处(2—i)—『|i)=(1+2—?+(1T+|)i=l+i.］

(2)［解］法一：设2=》+”(羽y@R),因为z+1—3i=5—2i,所以x+yi+(l

—3i)=5—2i,即x+l=5且y—3=-2,解得x=4,y=l,所以z=4+i.

法二：因为z+l—3i=5—2i,所以z=(5—2i)—(l-3i)=4+i.

(3)［解］＜z=x+yi(x,y©R),贝旭=亚装宁，

又|z|+z=1+3i,所以1/+产+x+yi=1+3i,由复数相等得

\ylx2-\-y2-\-x=l,fx=-4,

"解得所以z=-4+3i.

5=3,b=3,

「........规法.............................

复数加、减法运算方法

(1)复数加减运算法则的记忆

①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

②把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项.

(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z=a+历(a,

Z?ER).

［跟进训练］

1.计算：(l)(3+5i)+(3—4i)=；

(2)(—3+2i)—(4_5i)=；

(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=.

(l)6+i(2)-7+7i(3)-lli［(l)(3+5i)+(3-4i)

=(3+3)+(5-4)i=6+i.

(2)(-3+2i)-(4-5i)=(-3-4)+(2+5)i

=-7+7i.

(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)

=(5—2—3)+(—6—2—3)i=—Ui.］

-类型2复数加减法的几何意义

【例2】(1)已知复数zi=2+ai,Z2=a+i(a@R),且复数zi—Z2在复平面内

对应的点位于第二象限，则a的取值范围是.

(2)已知Zl,22@C,|zi|=|Z2|=l,|zi+z2|=小，求|zi—Z2］.

［思路探究］(1)先求出zi—Z2=(2—a)+(a—l)i,再根据复数zi—Z2在复平面

内对应的点位于第二象限得到关于a的不等式组，解不等式组即得a的取值范围.

(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决.

(1)(2,+8)［由题意得ZI—Z2=(2—a)+(a—l)i,

因为复数Z1—Z2在复平面内对应的点位于第二象限，

2—tz<0,

所以彳所以a>2.］

〔a—1>0,

⑵［解］设复数Zl,Z2,Z1+Z2在复平面上对应的点分别为Zl,Z2,Z,由

=阂=1知，以ozi,oz2为邻边的平行四边形是菱形，在aoziz中，由余弦定

理，得

/7|Z1F+|Z2|21|zi+z2|2_1

cosZOZiZ-2|Z)||Z2|~~T

所以NOZiZ=120°,所以NZIOZ2=60。，

因此△OZ1Z2是正三角形，所以|zi—Z2|=IZ2Z11=1.

［母题探究］

若把本例⑵中的条件”|zi+z2|=d§"改为“|Z1—Z2|=l"，则|Z1+Z2|等于多

少？

［解］设复数Zl,Z2在复平面上对应的点分别为Zl,Z2,由|zi|=|Z2|=l,0一

Z2|=l知，以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2,OZ为对角线，△OZ1Z2

为正三角形，由余弦定理，

得|zi+Z2|2=|ZI|2+|Z2|2+2|ZI||Z2|-COSZZIOZ2,

因为NZIOZ2=60。，

所以|zi+z2|=g.

厂.......规律G方法.......................

利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论

⑴技巧

①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.

②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运

用于几何之中.

(2)常见结论

在复平面内，Zl,Z2对应的点分别为A,3,Z1+Z2对应的点为C,。为坐标原

点，则四边形。ACS：

①为平行四边形.

②若|zi+z2|=|zi—Z2|,则四边形。4cs为矩形.

③若|Z1|=|Z2|,则四边形。4cB为菱形.

④若|zi|=|Z2|且|zi+z2|=|zi—Z2|,则四边形OACB为正方形.

、类型3__________复数加减法的几何意义的应

用

［探究问题］

1.在实数范围内。一6>0台a>6恒成立，在复数范围内是否有Z1—Z2>O=Z1

>Z2恒成立呢？

［提示］若Zl,Z2GR,贝IZ1—Z2>O=Z1>Z2成立.否则Z1—Z2>0D=>/zi>Z2.

如果2i=l+i,Z2=i,虽然Z1—Z2=1>O,但不能说1+i大于i.

2.复数|Z1—Z2］的几何意义是什么？

［提示］复数|zi—Z2|表示复数Zl,Z2对应两点Z1与Z2间的距离.

【例3】复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,2,5+3i,由A-3一。一。

按逆时针顺序作演BCD,求|彷

［思路探究］首先由A,C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点3的

坐标求解出点。的坐标.

［解］如图，设WR为W）的对角线的交点，则点R的坐标为仔，2）,

x+2=5,x=3,

所以《即＜

)+0=4,b=4.

所以点D对应的复数为2=3+41,所以砺=而一必=3+41—2=1+41,所以|砺

l=V17.

「........规法.............................

1.解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平

行四边形法则借助复数相等即可求解.

2.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示（点和向量）、复数的模的几何

意义及复数运算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数

学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题.

［跟进训练］

2.已知zGC,且|z+3—4i|=l,求|z|的最大值与最小值.

［解］由于|z+3—4i|=|z—（—3+4i）|=l,所以在复平面上，复数z对应的点Z

与复数一3+4i对应的点C之间的距离等于1,故复数z对应的点Z的轨迹是以C（一

3,4）为圆心，半径等于1的圆.而|z|表示复数z对应的点Z到原点。的距离，

又|0C|=5,所以点Z到原点。的最大距离为5+1=6,最小距离为5—1=4.

即|z|最大值=6,|z|最小值=4.

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

K超备素养G

知识：

1.复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部

相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形.

2.两个复数的和（差）是复数，但两个虚数的和（差）不一定是虚数.

3.向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几

何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法”指向被减向量”的特点，

在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量显对应的复数是ZB—

ZA（终点对应的复数减去起点对应的复数）.

方法：

复数加减混合运算的技巧

（1）类比实数的加减运算，若有括号，则先计算括号内的；若没有括号，则从

左到右依次进行计算.

（2）算式中出现的字母，要先确定其是不是实数，再确定复数的实部和虚部，

最后把实部、虚部分别相加减.

口学以致用力

1.若实数X,y满足(x+i)+(l—yi)=2,则孙的值为()

A.