(完整版)5-3.4相似矩阵

相似矩阵的定义相似矩阵的性质利用相似变换将方阵对角化第三节

相似矩阵称为对A进行相似变换

设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似其中可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。对A进行运算一、相似矩阵的概念定义（1）自反性A~A（其中k是正整数）（5）若A~B，（2）对称性若A~B，则B~A（3）传递性若A~B，B~C，则A~C相似是关于A的多项式二、相似矩阵的性质k个特别地，若有可逆矩阵P,使为对角矩阵，即则，而对于矩阵有利用上述结论可以很方便计算矩阵A的多项式(6)若n阶矩阵A~B,则有秩A=秩B;而可逆矩阵是若干个初等矩阵的乘积,(1)式左端就相当于对A施行一系列的初等行变换和列变换,因而秩不变.(8)若A~B,则A,B或都可逆或都不可逆,且若A可逆,则相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证这表明A与B有相同特征值设A与B相似，推论定理6问题：即如何将方阵A对角化例1三、矩阵的相似对角化的条件P的列向量是与A相似的对角阵中相应对角元素的特征向量线性相关性？A与对角阵相似

A有n个线性无关的特征向量反之？关键是

P可逆吗？

A能否与对角阵

相似取决于

A能否有

n

个线性无关的特征向量且相似变换阵P定理7n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件

为A有n个线性无关的特征向量.为P的列向量推论(P.155)

若A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似。反之不真

若A

有重特征值,不能马上断言A是否与对角阵相似,只要k重特征值正好对应k个线性无关的特征向量即可这时要看重根对应的特征向量.例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？解四、对角化的方法解之得基础解系求得基础解系解之得基础解系故不能相似为对角矩阵.

对应的特征向量分别为例2设2阶矩阵A

的特征值为1,−5,与特征值求A.解

例3已知与相似,

求x,y.解因为相似矩阵有相同的特征值,而故x=0,y=1.特征值2,y,-1.根据特征值的性质,有故A、B有相同的例4若可相似对角化，求解一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质性质1

实对称矩阵的特征值都是实数.证§5.4实对称矩阵的相似矩阵两式相减：实对称矩阵的相异特征值所属的特征向量必正交。证性质2

一般地,能保证矩阵相异特征值所对应的特征向量线性无关但不能保证它们是正交的实对称矩阵A一定与对角矩阵相似‬

定理8

特征值λ

的重数k≥

λ对应的线性无关的特征向量的个数n–R(λE-A)个

n阶实对称矩阵A的k重特征值λ

所对应的线性无关的特征向量恰有k个。R(λE-A)=n－k例

定理9

实对称阵A一定与对角阵正交相似.证将它们正交规范化后所构成的矩阵记为P，二、实对称矩阵的相似对角化用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：解例1例2利用正交矩阵将对称矩阵对角化。解：A的特征多项式为故A的特征值为定义设n阶方阵A,B,如果存在可逆矩阵P，使得

则称A与B合同（或相合）

合同也是矩阵之间的一种关系，它满足反身性，对称性和传递性由Th9及正交矩阵的性质知，实对称矩阵必与对角矩阵合同.可以证明，对角矩阵必与形如的对角矩阵合同.推论

任一实对称矩阵必与对角矩阵合同(其中1与-1的个数分别是A的特征值个数与负特征值的个数)§5二次型及其标准形旋转变换二次齐次多项式二次曲线可逆线性变换对于n元的二次齐次多项式，能否存在一个线性变换将其变为只含平方项的二次齐次多项式正交变换一、二次型及其标准形的概念称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．例如都为二次型；为二次型的标准形.1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2．用矩阵表示三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．解例１设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．证明即为对称矩阵.说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤例2求一个正交变换

x=

Py，把二次型化为标准形.利用正交矩阵将对称矩阵对角化.于是问题转化为：解：A的特征多项式为故A的特征值为相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足正交矩阵为所做正交变换为标准形为：解例3用正交变换化实二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．

问题有没有其它方法，也可以把实二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．

1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤

2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.例2

所做可逆变换为含有平方项含有的项配方而我们曾用正交变换化标准形为：比较解例4由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得所用变换矩阵为二次型的标准形不唯一，但它们具有共性：注：(1)所含平方项个数相同，都等于矩阵A的秩；(2)平方项的系数正负项数相同。定义：称标准形中正系数个数为正惯性指数；

负系数个数为负惯性指数；正惯性指数减去负惯性指数为符号差.例的正惯性指数为2，负惯性指数为1，符号差为1.惯性定理第六节正定二次型正定矩阵；正定二次型定义矩阵的正定与负定是怎样定义的？一、实二次型的分类负定矩阵；负定二次型，如何证明A是正定阵？A正定

xTAx>0判别法I：

用定义例1证判别法II：用标准型二、二次型正定的判别方法正惯性指数=n证“”：“”：反证证推论1例2判别法III：

用特征值推论2

实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆矩

阵P,使(负定)例4判别法IV：

用顺序主子式定