山东省济宁市微山一中邹城一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题

山东省济宁市微山一中、邹城一中20172018学年高二下学期期中考试数学（理）试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则其虚部为（）A．1B．2C．2D．2.设函数（为自然对数的底数）.若，则（）A．B．C．D．13.已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形.①、②、③组合成“三段论”.根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）A．正方形是平行四边形B．平行四边形的对角线相等C．正方形的对角线相等D．以上均不正确4.函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．2个C.3个D．4个5.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（）A．1项B．项C.项D．项6.给出下列两个论断：①已知：，求证：；用反证法证明时，可假设.②设为实数，，求证：与中至少有一个不小于；用反证法证明时可假设且.以下说法正确的是（）A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C.①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误，②的假设正确7.下列类比推理中，得到的结论正确的是（）A．把长方体与正方体类比，则有长方体的对角线平方等于长、宽、高的平方和B．把与类比，则有C.向量，的数量积运算与实数，的运算性质类比，则有D．把与类比，则有8.函数（为自然对数的底数）的递增区间为（）A．B．C.D．9.如图所示，阴影部分的面积为（）A．B．1C.D．10.函数在上的最小值是（）A．B．C.D．11.2018年4月我市事业编招考笔试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学同时报考了教育类的高中数学职位，他们的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，甲的成绩大于乙、丙成绩之和.那么四人的成绩最高的是（）A．甲B．乙C.丙D．丁12.已知是定义在上的函数，其导函数满足（，为自然对数的底数），则（）A．，B．，C.，D．，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设复数满足（为虚数单位），则的值为．14.已知力（为自然对数的底数）且和轴正方向相同.若力作用在质点上，并从点处运动到处，则对质点所做的功是．15.设函数在上是增函数，则实数的取值范围是．16.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦曼德尔布罗特（）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照分型的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数.（，为虚数单位）.（Ⅰ）若是纯虚数,求实数的值；（Ⅱ）若，设，试求.18.已知，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，试求函数的最小值.19.我市大学生创业孵化基地某公司生产一种“儒风邹城”特色的旅游商品.该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元；设该公司年内共生产该旅游商品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且满足函数关系：.（Ⅰ）写出年利润（万元）关于该旅游商品（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在该旅游商品的生产中所获年利润最大？20.已知数列满足：，.（Ⅰ）试求数列，，的值；（Ⅱ）请猜想的通项公式，并运用数学归纳法证明之.21.已知：，其中为自然对数的底数，.（Ⅰ）试猜想与的大小关系；（Ⅱ）请对你得出的结论写出证明过程.22.已知函数，，，为自然对数的底数.（Ⅰ）若函数在上存在零点，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数在处的切线方程为.求证：对任意的，总有.试卷答案一、选择题15:BDCAC610:CADBA11、12：DC二、填空题13.14．QUOTE15.16.三、解答题17.解：（Ⅰ）若是纯虚数，则，QUOTE解得.（Ⅱ）若，则.∴QUOTE，∴，，∴.18.（Ⅰ）证明：【法一】∵，QUOTE，∴QUOTE，当且仅当QUOTE时等号成立．∴QUOTE（当且仅当QUOTE时等号成立）.【法二】∵，QUOTE，∴要证QUOTE，只需证QUOTE，只需证QUOTE，只需证QUOTE，即证QUOTE，即证QUOTE，显然，对于QUOTE，总成立.∴QUOTE成立.（Ⅱ）解：由于QUOTE，可将QUOTE看作（Ⅰ）中的QUOTE，QUOTE看作（Ⅰ）中的QUOTE.依据（Ⅰ）的结论，则有QUOTE，当且仅当QUOTE，即QUOTE时，等号成立.所以，所求函数QUOTE的最小值为．19.解：（Ⅰ）依题意，知当QUOTE时，QUOTE，当QUOTE时，QUOTE，∴QUOTE.（Ⅱ）①当QUOTE时，由（Ⅰ）得QUOTE，令QUOTE，得QUOTE.∴当QUOTE时，QUOTE；当QUOTE时，QUOTE，∴当QUOTE时，有QUOTE.②当QUOTE时，QUOTE，当且仅当QUOTE，即QUOTE时，QUOTE.综合①、②知，当QUOTE时，QUOTE取得最大值.即当年产量为千件时，该公司在该旅游商品生产中获得的年利润最大.20.解：（Ⅰ）由题意，得QUOTE，QUOTE，QUOTE.（Ⅱ）依据（Ⅰ），得QUOTE，QUOTE，QUOTE，由此猜想QUOTE.下面用数学归纳法证明之：当QUOTE时，QUOTE，结论成立；假设QUOTE时，结论成立，即有QUOTE，则对于QUOTE时，QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE.∴当QUOTE时，结论成立.综上，可得对QUOTE，有QUOTE成立.21.解：（Ⅰ）依题意，取QUOTE，，得QUOTE，即有QUOTE；取QUOTE，时，有QUOTE，∴QUOTE；取，QUOTE时，QUOTE，QUOTE.又QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，此时有QUOTE.由此猜测QUOTE对一切QUOTE成立.（Ⅱ）证明：要证对一切QUOTE成立，只需证QUOTE，即证QUOTE.设函数QUOTE，QUOTE.∴QUOTE，当QUOTE时，QUOTE恒成立，∴函数QUOTE在QUOTE上单调递增，又，∴QUOTE，即，故有.22.（Ⅰ）解：易得QUOTE.若，有QUOTE，不合题意；若QUOTE，有QUOTE，，满足题设；若QUOTE，令QUOTE，得QUOTE.∴QUOTE在QUOTE上单调递减；在QUOTE单调递增，则QUOTE，∴QUOTE.又QUOTE满足题设，综上所述，所求实数QUOTE.（Ⅱ）证明：易得，QUOTE，则由题意，得QUOTE，解得QUOTE.∴QUOTE，从而QUOTE，即切点为QUOTE.将切点坐标代入QUOTE中，解得QUOTE.∴QUOTE.要证QUOTE，即证QUOTE（QUOTE），只需证QUOTE（QUOTE）.令QUOTE，QUOTE，QUOTE.