江西省抚州市黎川县黎川一中片区八校联考期中考试2023-2024学年九年级下学期期中数学试题(含解析)

2023-2024学年度第二学期期中考试初三数学试卷一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．的倒数是（

）A． B．2024 C． D．2．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，若去掉上层的一个小正方体，则下列说法正确的是（

）．A．主视图一定变化 B．左视图一定变化C．俯视图一定变化 D．三种视图都不变化3．春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．4．下列运算中，结果正确的是（

）A． B． C． D．5．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（

）A． B． C．

D．6．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（

）A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．分解因式：．8．某细菌的直径米，米用科学计数法表示为米．9．若，是方程的两个根，则的值为．10．如图，电路上有3个开关、、和1个小灯泡，任意闭合电路上2个开关，小灯泡发光的概率为．11．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为．12．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，-4）．C（4，-4），点D在直线BC上，BD=1，点P是y轴上一动点，若AP⊥DP，则点P的坐标是．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）计算：（2）如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点连接、，求证：四边形是菱形．

14．先化简，再求值：，其中．15．如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图（1）中，AB＞BC，作一个度数为30°的圆周角；（2）在图（2）中，AB＝BC，作一个顶点均在⊙O上的等边三角形．16．一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．(1)从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；(2)先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点在函数的图象上的概率．17．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=−的图象相交于A(−1，m)和B(n，−1)两点．(1)m=______，n=______；(2)求出一次函数的解析式，并结合图象直接写出不等式kx+b>−的解集．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．中国自古就是礼仪之邦，平辈行礼，上半身前弯，晚辈行礼，上半身前弯．小贤同学路遇李老师，面向李老师行了一个的作揖礼，李老师面向小贤回了一个的作揖礼（如图1）．现将其简化成如图2所示，已知李老师身高，上半身身高，小贤身高，上半身身高．

(1)求当李老师回礼时，其头部距地面的高度．(2)行礼之时，人与人之间应该保持以上的距离（指头与头之间的水平距离）最为适宜．行礼前，小贤距李老师，请问同时行礼、回礼时，李老师与小贤之间的距离是否适宜？（参考数据：，，）19．去年夏天，全国多地出现了极端高温天气，某商场抓住这一商机，先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空，商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了4元，商店在销售这种太阳伞时，每把定价都是50元，每天可卖出20把．(1)求两次共购进这种太阳伞多少把；(2)商场为了加快资金的回笼速度，打算对第二批太阳伞进行降价销售，经市场调查，如果这种太阳伞每把降价1元，则每天可多售出2把，这种太阳伞降价多少元时，才能使商场每天的销售额最大？每天最大的销售额是多少元？20．某学校要调查学生关于“新冠肺炎”防治知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行测试（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x<85，B．85≤x<90，C．90≤x<95，D．95≤x≤100），七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．七、八年级抽取的学生成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数93b众数c100方差5250.4根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠肺炎”知识较好？请说明理由.（3）该校七、八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．课本再现（1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般”如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则__________度，__________度．（2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补．知识运用（3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点．点是线段的中点，连接，求证：是的切线．

22．已知抛物线：．

(1)下列有关抛物线的结论正确的有（填序号）．①开口向下；②对称轴在y轴的左侧；③与y轴的交点坐标为；④函数值y有最小值；(2)当时，抛物线的顶点坐标为，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为；(3)如图，设抛物线与y轴相交于点C，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的交点为A，抛物线的顶点为P．是否存在实数m，使得∠PCA＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．六、解答题（本大题共12分）23．（1）【问题发现】如图1，在中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为_______；

（2）【拓展探究】在（1）的条件下，如果正方形绕点顺时针旋转，连接，，，线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）【问题解决】当，且（2）中的正方形绕点顺时针旋转到，，三点共线时，求出线段的长．

参考答案与解析

1．C【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．【详解】解：∴的倒数为，故选：C．2．A【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解:去掉最上面的小正方体，其左视图与俯视图不变，即左视图两层下层两个小正方形，上层一个小正方形,俯视图依然还是两层，底层中间有一个正方形，上层有1个正方形；变化的是正视图上层有两个，拿走一个，由两个小正方形组成长方形变为一个小正方形．故答案为：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，掌握简单组合体的三视图是解题关键．3．B【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．【详解】解：根据中心对称图形的定义可得：B选项图为中心对称图形，A，C，D都不是．故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，充分理解中心对称图形的定义是解题的关键．4．C【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、积的乘方运算．根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、积的乘方运算逐项分析，即可求解．【详解】解：，故A选项不符合题意；，故B选项不符合题意；，故C选项符合题意；，故D选项不符合题意．故选：C．5．C【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式．【详解】由图可得，甲烷的化学式中的有1个，有（个，乙烷的化学式中的有2个，有（个，丙烷的化学式中的有3个，有（个，，十二烷的化学式中的有12个，有（个，即十二烷的化学式为，故选：C．6．C【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】由图象开口向上可得：由于图像与轴交于负半轴，可知：根据对称轴公式：可知：，故①正确抛物线过点即：，故②正确当时，取得最小值（为任意实数），故③错误抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离根据图像可知：，故④正确．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．【详解】解：，故答案为：．8．【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．7【分析】先利用根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，，∴，故答案为：7．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．10．【分析】本题考查了概率的求解，根据题意画出树状图即可求解．【详解】解：画出树状图如下：共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①4种，∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：，故答案为：．11．12【分析】由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面积．【详解】解：如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，∴菱形ABCD的面积=；故答案为12．【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．12．或或【分析】根据题意设，点的坐标为或，根据勾股定理求解即可．【详解】如图，点D在直线BC上，BD=1，B（0，-4）．C（4，-4），点的坐标为或，设，又A（4，0），①当时，，AP⊥DP，即解得②当时，，AP⊥DP，即解得综上所述，点的坐标为或或故答案为：或或【点睛】本题考查了利用勾股定理求两点距离，掌握勾股定理是解题的关键．13．（1）6；（2）见解析【分析】（1）首先计算零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，然后计算加减；（2）首先根据中位线的性质得到，，，，然后证明出四边形是平行四边形，然后结合得到，即可证明出四边形是菱形．【详解】（1）；（2）∵D、E、F分别是、、的中点连接、，∴，，，∴四边形是平行四边形∵∴∴四边形是菱形．【点睛】此题考查了零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，三角形中位线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．14．，【分析】按照分式运算法则，先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，接着解一元二次方程，最后代入求值．【详解】解：原式解得：，原式【点睛】本题考查分式的混合运算、化简求值和二次根式分母有理化以及求解一元二次方程等知识点，熟练掌握运算法则是解题关键．15．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作直径AD，连接CD，AC，则∠ADC＝60°，∠DAC＝30°；（2）作直径BE，连接EC，AE，AC，△ACE即为所求．【详解】（1）如图1中，∠CAD即为所求；（2）如图2中，△ACE即为所求．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，等边三角形的判定等知识，掌握圆内接四边形的性质是关键．16．(1)P（奇数）(2)P（点在函数的图象上）【分析】（1）直接利用简单事件的概率公式计算可得；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与由x，y确定的点在函数的图象上的的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】（1）解：P（奇数）（2）解：列表得：xy12341234共有12种等可能的结果，其中点在函数的图象上的有2种，∴.P（点在函数的图象上）【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意区分所摸球是放回实验还是不放回实验是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．(1)2，2(2)一次函数的解析式为y=-x+1，不等式kx+b＞-的解集是x＜-1或0＜x＜2．【分析】（1）先把A（-1，m），B（n，-1）分别代入反比例函数解析式可求出m、n，于是确定A点坐标为（-1，2），B点坐标为（2，-1），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；（2）根据A、B的坐标，利用待定系数法求得一次函数的解析式，观察图象即可求得不等式的解集．【详解】（1）解：把A（-1，m），B（n，-1）分别代入y=-得m=2，-1=-，解得m=2，n=2；故答案为：2，2；（2）解：∵A（-1，2），B（2，-1），∴，解得：，∴一次函数的解析式为y=-x+1，观察图象，不等式kx+b＞-的解集是x＜-1或0＜x＜2．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．18．(1)当李老师回礼时，其头部距地面的高度约为(2)行礼时，李老师与小贤之间的距离适宜【分析】（1）过点C作于点P，构造直角三角形求出，再加上下半身即可；（2）分别求出两人行礼时的水平长度，用减去两个水平长度，与比较大小即可.【详解】（1）解：如图，过点C作于点P．

由题意可知，，∴，∵李老师身高，上半身身高，∴下半身身高，∴．答：当李老师回礼时，其头部距地面的高度约为．（2）解：如图，过点H作于点Q．

由题意可知，小贤身高，上半身身高，∴，∵，，∴，∴．∵，，∴行礼时，李老师与小贤之间的距离适宜．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，辅助线构造直角三角形是解题关键．19．(1)两次共购进这种太阳伞600把(2)太阳伞每把降价20元时，才能使商场每天的销售额最大，商场每天的最大销售额是1800元【分析】本题考查的是分式方程的应用，二次函数的应用，理解题意，确定相等关系建立方程与函数关系式是解本题的关键；（1）设第一次购进x把这种太阳伞，则第二次购进把这种太阳伞．利用所购数量是第一批的2倍，但单价贵了4元，再建立方程求解即可；（2）设商场每天的销售额为y元，太阳伞每把降价x元．由总利润等于每件利润乘以销售量建立函数关系式，再利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】（1）解：设第一次购进x把这种太阳伞，则第二次购进把这种太阳伞．由题意得，，解得，经检验是原方程的解，则，答：两次共购进这种太阳伞600把；（2）设商场每天的销售额为y元，太阳伞每把降价x元．由题意得，化简得：，当时y有最大值，y最大值，答：太阳伞每把降价20元时，才能使商场每天的销售额最大，商场每天的最大销售额是1800元．20．（1）a=40，b=93，c=96；（2）八年级掌握得更好，见解析；（3）780名【分析】（1）先根据扇形统计图求解组的学生人数，结合组人数，求解组人数，可得的值，再根据八年级学生成绩的中位数落在组，可得的值，由七年级学生成绩中分有个，出现的次数最多，可得的值；（2）因为两个年级的平均数与中位数相同，所以从众数与方差两个分面分析可得结论；（3）分别统计出七年级、八年级成绩大于或等于分的人数，利用样本的百分率估计总体即可得到答案．【详解】解：（1）因为八年级组有人，组有人，组有人，所以组有人，所以：即因为八年级学生成绩的分布：组有人，组有人，组有人，组有人，且成绩是按照从小到大的顺序排列的，所以八年级学生成绩的中位数落在组，而C组中的数据是：94，90，92，按从小到大排列为：所以第个，第个数据为：所以中位数为：分，因为七年级学生成绩中分有个，出现的次数最多，所以众数分，故答案为：a=40，b=93，c=96．（2）八年级掌握得更好．因为七八年级的平均数、中位数相同，而八年级的众数比七年级高，说明八年级高分的同学更多；八年级方差比七年级小，说明八年级两极分化差距小．（3）由题意得：七年级成绩大于或等于分的有人，八年级成绩大于或等于分的有人（人）答：参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为780人．【点睛】本题考查的是扇形统计图，频数分布，平均数，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键．21．（1），；（2）见详解；（3）见详解【分析】（1）根据直径所对的圆周角是以及四边形内角和为进行作答即可；（2）以图2为例证明，连接，，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍以及四边形内角和为进行作答；或者以图3为例证明，连接，，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍以及四边形内角和为进行作答即可；（3）连接，，根据等边对等角，即，又，得，，，再结合四边形是圆内接四边形，得，，进而知道，又因为是线段的中点，即可求证是的切线．【详解】解：（1）∵四边形为的内接四边形，为直径，∴，那么，故答案为：90，180；（2）证明：以图2为例证明，连接，，如图所示：

∵弧弧，∴，，∵∴，∴，在四边形，，即圆内接四边形的对角互补；或者以图3为例证明，连接，，如图所示：

∵弧弧，∴，，∵,∴，∴，在四边形，，即圆内接四边形的对角互补；（3）证明：连接，，如图所示：

∵，∴，∵，∴，则，∴，∵四边形是圆内接四边形，∴，∵，∴，则，∴，∵是线段的中点，∴，则，∵是圆的半径，∴是圆的切线．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆内接四边形对角互补以及圆的基本性质、切线的判定、平行线的判定与性质等知识点内容，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．22．(1)③④(2)；(3)存在实数m，使得，m的值为【分析】（1）根据二次函数的图象和性质逐项进行判断即可；（2）当时，，即可得到抛物线的顶点坐标为；由翻折得到抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，求出．代入得，则．即可得到抛物线的解析式．（3）抛物线的顶点坐标为，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线的顶点P的坐标为，求出点A的坐标为，过点A作轴于点B