安徽省亳州市利辛县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

利辛县2023—2024学年度第二学期八年级期中考试数学试卷2024.4注意事项：1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1．下列方程中是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（

）A．1，， B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，153．若二次根式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．4．关于的一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定5．下列各式计算正确的是（）A． B．C． D．6．如图，在中，，，则的长为（）A． B． C． D．7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车1月份的售价为20万元，3月份的售价为万元，设该款汽车这两个月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（

）A． B．C． D．8．若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则化简可得（

）A． B． C． D．19．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接，若，，则的长为（

）A． B． C．3 D．10．如果关于x的方程有正数解，且关于x的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和是（

）A． B．0 C．3 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．化简：．12．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是．13．在中，已知，，，所对的边分别为a，b，c．若，，则的面积为．14．对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下：（1）若，，则；（2）若，则实数x的值为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：．16．解方程：．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．18．阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题：(1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解）(2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知关于x的一元二次方程．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围．20．已知，（1）求的值；（2）若的小数部分为m，的小数部分为n，求的值．六、（本题满分12分）21．如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为．(1)当t为何值时，四边形的面积为？(2)当t为何值时，线段的长为？七、（本题满分12分）22．【阅读理解】爱思考的小铭在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：∵，即，∴，∴，∴，∴．请你根据小铭的分析过程，解决下列问题：(1)计算：______；(2)计算：；(3)若，求的值．八、（本题满分14分）23．某电商在某短视频平台上直播带货，已知该电商销售的生活用品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商承诺直播间价格不高于110元件．根据之前的市场调研，商家发现当售价为110元件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．(1)当日销售量为30件时，该生活用品的售价为______元/件；(2)求出该生活用品日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数表达式；(3)若要尽可能多的让利于顾客，同时销售该生活用品每天获利1200元，则该生活用品每件售价应定为多少元？

参考答案与解析

1．A【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【详解】解：A．是一元二次方程，故本选项符合题意；B．含有2个未知数，故本选项不合题意；C．未知数的最高次数是1，故本选项不合题意；D．是分式方程，故本选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．2．B【分析】本题考查了勾股定理逆定理，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．据此逐个判断即可．【详解】解：A、∵，∴A能组成直角三角形，不符合题意；B、∵，∴B不能组成直角三角形，符合题意；C、∵，∴C能组成直角三角形，不符合题意；D、∵，∴D能组成直角三角形，不符合题意；故选：B．3．B【分析】此题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．【详解】解：∵有意义，∴，解得：，故选B．4．A【分析】根据方程的根的判别式判断即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】整理为一般式为，，方程有两个不等实根.故选A.5．C【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项排查即可；掌握二次根式的相关运算法则是解答本题的关键．【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误；B.，故选项B错误；C.，故选项C正确；D.，故选项D错误．故选：C．6．B【分析】本题考查了勾股定理，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可，根据勾股定理得出方程是解题的关键．【详解】解：设，则，，，在和中，由勾股定理得：，即，解得：，即的长为，故选：B．7．C【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用；首先根据1月份售价为20万元，月平均降价率是可得出2月份的售价为万元，3月份的售价为万元，据此根据3月份售价为16.2万元可列出方程，进而可得出答案．【详解】解：根据题意得：．故选：C．8．D【分析】本题主要考查一次函数和图象和性质，二次根式的化简，熟记一次函数的图象和性质是解题的关键．首先根据一次函数的位置确定，然后化简二次根式．【详解】解：∵若一次函数的图象经过第一、二、三象限，∴，∴，∴，故选D．9．B【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案．【详解】解：由题意得，，∵，∴，又∵，∴垂直平分线，∴，∵，∴，故选：B．10．D【分析】本题考查的是分式方程的解及解法，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，建立方程或不等式解题是关键，根据根的判别式可得．且，再根据分式方程的正数解可得，且，再进一步可得答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴．且．解得．且．解关于x的方程，去分母，得，解得．∵关于x的方程有正数解，∴且．解得，且，∴a的取值范围为．且．，∴符合条件的整数a的值是，，即符合条件的所有整数a的和为．故选D11．【分析】本题考查的是算术平方根的含义，由，从而可得答案．【详解】解：，故答案为：；12．【分析】此题主要考查了解一元二次方程，以及根的定义．先把代入原方程，求出k的值，进而再将k的值代入原方程，然后解方程即可求出方程的另一个根．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，解得：，将代入原方程得：，解得：，∴方程的另一个根为．故答案为：．13．8【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理的应用，先得到，结合，可得，求解，从而可得答案．【详解】解：如图，，，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，故答案为：14．32【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键；（1）由，再利用新定义的运算法则列式计算即可；（2）分两种情况：当时，当时，再列方程求解即可．【详解】解：（1）当，，可知，∴．（2）当时，，即．解得．（舍去）；当时，，解得（舍去），∴x的值为2．15．【分析】本题考查的是零次幂的含义，二次根式的乘法运算，先计算乘方运算，零次幂，二次根式的乘法运算，再合并即可．【详解】解：原式．16．，【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项得，再配方得，然后运用完全平方公式以及直接开平方法作答即可．【详解】解：，移项，得，配方，得．整理，得，开方，得．∴，．17．秋千绳索的长度为14.5尺．【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设尺，尺，尺，（尺，尺，在中，尺，尺，尺，根据勾股定理得：，整理得：，即，解得：，则秋千绳索的长度为14.5尺．18．(1)(2)【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练的计算与化简二次根式的解本题的关键；（1）先求解，再代入公式计算即可；（2）先求解，，，再代入公式计算即可．【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为5，6，7，即，，．∴．根据海伦公式，得该三角形的面积．（2）∵三角形的三边长分别为，，，即，，，∴，，．根据秦九韶公式，得该三角形的面积．19．(1)见解析(2)【分析】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是：（1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）解方程得到，，则，然后解不等式即可．【详解】（1）解：证明：，此方程总有两个实数根；（2），，，此方程恰有一个根小于，，解得，即的取值范围为．20．（1）13；（2）【分析】（1）利用二次根式的加法运算和乘法运算求得和，对所求式子利用完全平方公式变形，进而整体代入求出即可；（2）首先利用分母有理化法则求出a，b的值，根据，可得m，n的值，进而代入求值即可．【详解】（1），，；（2），，∵，，∴，，即，∴的整数部分是0，小数部分是，即，的整数部分是3，小数部分是，即，∴．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，根据，得出m，n的值是解题关键，注意要分母有理化．21．(1)当t为5时，四边形的面积为(2)当t为或时．线段的长为【分析】（1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可；（2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：当运动时间为时，，．由题意得，解得．答；当t为5时，四边形的面积为．（2）如图，过点Q作于点M，则，由题意知．．在中．由勾股定理得，即，解得，．经检验符合题意；答：当t为或时．线段的长为．22．(1)(2)9(3)2【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键；（1）仿照题的方法化简即可；（2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可；（3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）原式．（3）∵，∴，∴．即．∴，∴．23．(1)105(2)(3)该生活用品的每件售价应定为90元【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元二次方程的应用，确定相等关系是解