2023-2024学年哈尔滨市九中高二数学下学期4月份考试卷附答案解析

2023-2024学年哈尔滨市九中高二数学下学期4月份考试卷(试卷满分150分,考试时间120分钟)2024.04一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的导数是（

）A．B．C．D．2．如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（）A．B．C．D．3．若函数的单调递减区间为，则（

）A． B． C．16 D．274．已知是递增数列，则的通项公式可能为（

）A．B．C． D．5．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）A． B． C．e D．6．已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（

）A． B． C．7 D．87．已知，若恰好有3个零点，则实数的取值范围为（

）A．B．C． D．8．当时，恒成立，则的取值范围为（

）A．B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知等差数列的前项和是，且，则（

）A． B． C． D．的最小值为10．已知函数的定义域是，其导函数是，且满足，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．11．已知函数有两个极值点，，则下列选项正确的有（

）A． B．函数有两个零点C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数，则．13．已知是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相交于两点，的平分线交于点，且，则椭圆的离心率为.14．若数列满足：，则定义数列为函数的“切线——零点数列”．已知，数列为函数的“切线——零底数列”，，若数列满足，则数列的前n项和．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知各项均为正数的等比数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.16．已知．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若时，求函数的单调区间；(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围．17．在平面直角坐标系中，已知点，，，记的轨迹为．(1)求的方程；(2)过点的直线与交于，两点，，，设直线，，的斜率分别为，，．证明：为定值．18．设函数．(1)若在处取得极小值，求的单调区间；(2)若恰有三个零点，求的取值范围．19．已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为.①求的值；②是坐标原点，过曲线上一点作垂直轴于点，求的最大值；（2）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.答案解析1．C【分析】根据求导法则和基本函数求导公式即可求解.【详解】，所以，故选：C2．A【详解】试题分析：的单调变化情况为先增后减、再增再减因此的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，故选A.考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.3．A【分析】根据导数分析单调性，结合二次不等式的解集与系数关系求解即可.【详解】由题意，且的解集为，故，解得，故.故选：A4．C【分析】举反例可判断A，B；将化简为，判断增减性，判断C；判断的增减性，判断D.【详解】对于A，，，A不合题意；对于B，，则，即，B不合题意；对于C，，当n增大时，减小，则增大，符合题意，C正确；对于D，随着n的增大而减小，不合题意，D错误，故选：C5．A【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案.【详解】由题意得在上恒成立，，故，即，令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，故，故a的最小值为.故选：A6．A【分析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.【详解】由题设知，，，，圆的半径由点为双曲线右支上的动点知，∴∴.故选：A7．B【分析】根据给定条件，利用零点的意义转化为直线与函数的图象有3个公共点，数形结合求解即得.【详解】由，得，依题意，直线与函数的图象有3个公共点，直线是过定点，斜率为的直线系，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数的图象最多有两个公共点，不符合题意，则，即，设直线与函数的图象相切的切点为，由，求导得，因此，解得，显然直线与函数的图象有两个公共点，直线的斜率，当直线过点时，该直线与函数的图象有3个公共点，直线的斜率，由图象知，当时，直线与函数的图象有3个公共点，于是，解得，所以实数的取值范围为.故选：B【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.8．D【分析】根据题意，化简得到在上恒成立，令，求得，得到在上单调递增，转化为在上恒成立，令，利用求得函数的单调性和最大值，得到，即可求解.【详解】由题意，当时，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，所以在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9．BD【分析】根据等差数列的性质得当时，；当时，；对选项逐一判断.【详解】由，所以，即，所以当，时，；当，时，；所以，故A错；，故B对；，故C错；的最小值为，故D对.故选：BD10．AC【分析】根据题意，构造，由题意，得到单调递增，进而利用的单调性，得到，再整理即可求解【详解】设，可得，单调递增，又因为，，，且，，得，，整理得，AC正确；故选：AC11．ACD【分析】问题化为在上有两个变号零点，讨论参数a研究的单调性，结合零点存在性定理判断区间零点情况，进而求出a的范围，再研究的单调性，结合零点存在性定理判断零点个数，且可得，最后应用对数均值不等式判断C、D.【详解】由题设，在上有两个变号零点，令，则，若，则，即递增，此时不可能存在两个零点；所以，则时，递增；时，递减；故，而，要存在零点，则，可得，则，此时x趋向于正无穷时趋于负无穷，则在各有一个零点，满足题设，A正确；由上，不妨设，在上，递减；在上，递增，且，所以x趋向于时趋于0，，，故上无零点，上不一定存在零点，B错误；由对数均值不等式，证明如下：令，要证，即证，若，则，故在上递减，所以，即，故得证；令要证，即证，若，则，故在上递增，所以，即，故得证；综上，，故，C正确；，，即恒成立，，又因为C选项，所以，故，D正确.故选：ACD.【点睛】注意将问题化为在上有两个变号零点求参数范围问题，由此得到的的单调性和零点情况判断的单调性和零点，根据零点得到，利用对数均值不等式求证不等式.12．【分析】对求导，再代入，从而求得，进而得到，由此计算可得.【详解】因为，所以，则，解得：，所以，则.故答案为：.13．##【分析】根据椭圆的对称性，角平分线性质可得，结合椭圆定义可求，利用余弦定理列出关于的方程，由此可求离心率.【详解】

连接、，根据椭圆的对称性可知四边形为平行四边形，所以，根据角平分线定理得：，所以，又，又，又在中，由余弦定理得：，所以.故答案为：.14．【分析】由已知得，则有，可得数列为等比数列，求和即可.【详解】，则，依题意可知，所以，故，即，且，所以（常数），故是以为首项，以2为公比的等比数列，所以．故答案为：【点睛】关键点点睛：利用导数求出数列的递推公式后，关键点是由，研究数列的性质，从而得到数列的性质.15．（1）；（2）【解析】（1）由已知条件求出等比数列的公比，再求通项即可；（2）先由等差数列通项公式的求法求出数列的通项，然后由分组求和法及公式法求数列的前n项和即可.【详解】解：（1）因为是正数等比数列，且所以，即分解得，又因为，所以，所以数列的通项公式为；（2）因为是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以，所以.【点睛】本题考查了等比数列及等差数列的通项公式的求法，重点考查了利用分组求和法及公式法求数列的前n项和，属中档题.16．(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）代入，求导得切线斜率，由点斜式方程写出并整理得切线方程；（2）将函数求导得到含参数的导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性即得；（3）将导函数代入不等式，利用参变分离法化简即得：，故将问题转化为求函数，通过求导求其最大值，即得的取值范围.【详解】（1）当时，，则，因则曲线在点处的切线方程是，即.（2）当时，，由可得或；由可得.即，当时，的单调增区间为：和，单调递减区间为：.（3）由，，等价于，即（*），设，，则当时，，在单调递增，当时，，在单调递减.则时，，由（*）可知，，即.17．(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的定义可判断曲线是椭圆，即可求出其方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理和斜率公式求出的值，利用斜率公式求出，利用点在椭圆上，消元即可求出，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以曲线为以为焦点的椭圆，其中，故，所以椭圆方程：．（2）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，,，,，由，得，则，则，，，所以，，所以为定值．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.18．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为和(2)a的取值范围是【分析】（1）求导，对导函数因式分解，得到或，分，和三种情况，结合函数单调性得到时满足要求，从而得到函数的单调区间；（2）转化为有两个不为2的实数根，构造函数，求导得到其单调性和值域情况，从而得到，且，求出答案.【详解】（1），令，得或，①当，即时，令，得；令，得或，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增，所以在处取得极小值，此时符合题意；②当，即时，，所以在区间R上单调递增，所以在处不取极值，此时不符合题意；③当，即时，令，得；令，得或，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增，所以在处取得极大值，此时不符合题意．综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为和．（2）因为，所以是的一个零点．因为恰有三个零点，所以方程有两个不为2的实数根，即方程有两个不为2的实数根．令，所以，令，得；令，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，的值域为；当时，的值域为．所以且，所以且，所以a的取值范围是．【点睛】方法点睛，求解参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.19．（1）①；②；（2）存在，且的最小值为.【分析】（1）①由已知条件得出，即可求得实数的值；②计算得出，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出的最大值；（2）由已知可得，利用导数求出的取值范围，由此可得出整数的最小值.【详解】（1）①，.由于曲线在点处的切线方程