2024年南航苏州附中高三数学4月二模检测试卷附答案解析

2024年南航苏州附中高三数学4月二模检测试卷时间120分钟满分150分2024.04一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数为（

）A． B． C． D．2．如图，已知集合，则阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．3．2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宾莅临我校，就拓宽大学与中学间的合作、深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流.交流时嘉宾席位共有一排8个空座供3位嘉宾就坐，若要求每位嘉宾的两旁都有空座，且嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，则不同的坐法有（

）A．8种 B．12种 C．16种 D．24种4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（）A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸5．已知，则（

）A．48 B．192 C．128 D．726．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（

）A．若点是圆上一点，则的最大值是B．圆关于直线对称C．若点是圆上一点，则的最小值是D．直线与圆相交10．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（

）A．B．若，则为直角三角形C．若为锐角三角形，的最小值为1D．若为锐角三角形，则的取值范围为11．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（

）

A．动点轨迹的长度为B．三棱锥体积的最小值为C．与不可能垂直D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．袋中有5个球，其中红黄蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则．13．设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为．14．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．记的内角的对边分别为，已知．(1)求角；(2)若，点为的重心，且，求的面积．16．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．17．如图，在五面体中，底面为正方形，.

(1)求证：；(2)若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分18．近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.参考数据：.19．过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．

(1)求抛物线的方程；(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；(3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：．1．B【分析】根据复数的除法运算和共轭复数定义计算即可【详解】由题知，复数．故选:B．2．B【分析】由阴影部分为以全集为A的集合A与集合B交集的补集求解.【详解】解：因为，所以，，即阴影部分表示的集合为，故选：B3．A【分析】排列问题，用插空法根据要求即可解决.【详解】共有8个座位，3个人就坐，所以还剩下5个座位；因为要求每个人左右都有空座，所以在5个座位的4个空隙中插入3个人，共有种，又嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，所以共有种，故选：A.4．C【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，所以水面半径为寸，则盆中水的体积为立方寸，所以平地降雨量等于寸.故选：C.5．B【分析】令，求导，然后令求解.【详解】解：令，则，令，得．故选：B．6．D【分析】令，，结合基本不等式可得，化简可得，转化为求关于的二次函数在区间上的最小值即可.【详解】不妨设，，则，，所以，当且仅当时取等号，即，当且仅当时取等号，所以，（）所以当时，取得最小值，故选：D．7．B【分析】根据给定的递推公式求出，再按为奇数、偶数分类求解即可得的范围.【详解】由，得，当时，，则，整理得，即，而，解得，于是，数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即，由，得，当为奇数时，，即，显然为递增数列，当时，，于是，当为偶数时，，即，显然恒有，于是，所以实数的取值范围为.故选：B8．A【分析】先利用导数研究当时，函数的图象和性质，结合对数函数的图象及绝对值的意义作出函数的大致图象，然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于的不等式，解不等式即可得到实数的取值范围．【详解】当时，，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，当趋近于时，趋近于0，结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数的图象如图所示．

令，则，数形结合可知要使有6个零点，则有两个不相等的实数根、，不妨令，有如下两种情况：若，但，故排除此种情况，若，对于二次函数开口向上，又，则，得，综上，实数的取值范围是．故选：A【点睛】关键点点睛：解决此类问题需注意以下几点：（1）会转化，即会将问题转化为方程的根的问题，然后利用函数、方程、不等式的关系进行解答；（2）会作图，即会根据基本初等函数的图象、图象的平移变换法则或函数与导数的关系画出相关函数的大致图象；（3）会观察，即会利用数形结合思想列方程（组）或不等式（组）．9．AB【分析】根据点关于直线对称可得，进而可得圆方程，根据斜率的意义，结合直线与圆相切即可求解A，根据圆心在直线上即可求解B，根据点到直线的距离公式即可求解CD.【详解】设圆的圆心为．因为圆关于直线对称的圆的方程为，圆的圆心为，半径为2，所以圆的半径为2，两圆的圆心关于直线对称，则解得所以，故圆的方程为．对于A，的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率，如图，过原点作圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，所以圆心到直线的距离，解得，故由图可知的最大值是，故A正确；

对于B，圆心在直线上，则圆关于直线对称，故B正确；对于C，表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离为，所以的最小值是，故C错误；对于D，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故D错误．故选:AB．10．ABD【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确.【详解】对于中，由正弦定理得，由，得，即，由，则，故，所以或，即或（舍去），即，A正确；对于B，若，结合和正弦定理知，又，所以可得，B正确；对于，在锐角中，，即.故，C错误；对于，在锐角中，由，，令，则，易知函数单调递增，所以可得，D正确；故选：ABD.11．ABD【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可.【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接，又正方体中，为棱的中点，可得,，平面,平面,又，且平面，平面平面,又平面，且平面，平面，又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，，即的轨迹为线段.由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确；对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，此时,所以体积最小值为，故选项B正确；对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为,，而，,故选项C不正确；对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心，,,,所以底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为,由,,可得外接球半径，外接球的表面积为，故选项D正确.故选：ABD.

12．【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】依题意，事件甲、乙只有一人摸到红球，则，而，所以.故答案为：13．【分析】建立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，设的坐标，分别求出向量，的坐标，结合三角函数性质即可求解．【详解】以A为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，，与的夹角为，，由于，故，所以，因为为的中点，，所以在以为圆心，半径为1的圆上，设，则，，得，所以当，即时，最大，最大值为，此时，则．故答案为：．

14．【分析】先判断为不等式的解，再当时，根据题意令，求导后结合已知条件可得在上递增，且为偶函数，由，得，则将转化为，再利用的奇偶性和单调性可求得结果.【详解】当时，由，得，则，所以成立，所以符合，当时，令，则，因为，当时，，所以在上递增，因为定义在上的偶函数，所以，所以，所以为偶函数，因为，定义在上的偶函数，所以，所以由，得，所以，所以，因为在上递增，所以，且，得，且，综上，，即不等式的解集是，故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数奇偶性和单调性的应用，解题的关键是根据题意构造函数，求导后判断函数的单调性，再结合函数的奇偶性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.15．(1)(2)【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解;（2）根据重心的性质可得，进而根据余弦定理可得，由面积公式即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得．又因为，所以．（2）设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点，又因为，所以．在中，由和，可得．在和中，有，由余弦定理可得故，所以，所以的面积为．16．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论即可．（2）由（1）知，从而，即证明，再构造新函数，利用导数得证．【详解】（1），当在上恒成立，故在上单调递增；当时，令得；令得，故在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：由（1）知，当时，，所以．令，则．令，则．因为，所以，所以在上单调递增．又，所以，所以在上单调递减．因为，所以，所以，即当时，．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明平面，再利用线面平行的性质证明；（2）选①②：证明平面，建立以M为原点的空间坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式求解【详解】（1）证明：底面为正方形,则，又平面，平面，则平面，又平面平面，平面，故.（2）选①，取中点G,连接，因为，所以，易知为梯形的中位线，则，又平面，故平面，平面，则平面，且必相交，故平面，延长GM交BC于P,则P为中点，易得，故为矩形.以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标系如图：则，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面所成角为.

选②：取中点G,连接，易知为梯形的中位线，，则，由题，，则，故又平面，故平面，延长GM交BC于P,则P为中点，易得，故为矩形.以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标系如图：则，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面所成角为..18．(1)(2)(3)30【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行计算；（2）设出事件，利用全概率公式进行求解；（3）设抽取次数为，求出的分布列和数学期望，利用错位相减法求出，